2-5-向量范数与矩阵范数解析

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(10学时)1234其次章内积空间与赋范线性空间欧氏空间与酉空间

标准正交基与向量的正交化正交子空间酉(正交)变换与正交投影

5向量范数与矩阵范数6向量范数与矩阵范数的相容性教学内容和基本要求2,理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；3,理解正交子空间及其正交补的概念，驾驭正交投影的

概念；理解正交变换的概念，娴熟驾驭正交矩阵的性质；1，娴熟驾驭内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，理解内积空间的概念；5,理解谱半径的概念，驾驭谱半径的相关性质；重点：施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；正交投影；酉变换；算子范数；相容性难点：正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与向量范数的相容性教学内容和基本要求4,理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义及其性质；理解矩阵范数的概念，驾驭算子范数，会求常用的算子范数，并驾驭矩阵范数与向量范数的相容性；从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的问题。范数集中描述了向量空间的中大小和距离的度量。设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函数称为向量范数，是指对于任意

x，y∈V，满足下列性质：空间V称为赋范线性空间，是V中向量x的范数，简称向量范数。 正定性，且齐次性三角形不等式定义1向量范数与矩阵范数§向量范数的概念与性质向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，它具有如下的性质：证明(4)：另一方面，综上有，两个重要不等式设2（Minkowski不等式）：其中实数。其中且1（Hőlder不等式）：p=2，

Cauchy-Schwarz不等式向量空间中常用的范数证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式例1：设向量，对任意的数

为向量的范数。称:设(1)正定性明显。(2)对任意的常数,由实值函数的定义:(3)由Minkowski不等式知p≧1，可知在同一个线性空间中，可以定义不同的向量范数。例2设C[a,b]是由[a,b]上全部连续函数f(x)所构成的集合,依据通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如下三种映射是该空间中常用的三种范数1-范数p-范数∞-范数利用线性空间中已知的范数构造新的范数(1)是上的范数.(2)是上的范数.3设是线性空间上的两个向量范数,则对于任意的,有:例证明(1)：当时，由，可知即正定性成立。对随意的常数k∈C，及随意的x∈V，有即齐次性成立。即三角不等式成立。对随意的y∈V，有(1)是上的范数.例4

设是向量空间Cn上的任一向量，定义，试证，是Cn上的一个向量范数。解答：正定性明显成立。对随意的常数k∈C，及随意的x∈Cn，有对随意的x，y∈Cn，有该范数被称为1-范数。即向量的长度只是沿各坐标方向的直线度量。2.5.2Cn上常用范数及性质例5

设是向量空间Cn上的任一向量，定义，试证，是Cn上的一个向量范数。解答：正定性明显成立。对随意的常数k∈C，及随意的x∈Cn，有对随意的x，y∈Cn，有该范数被称为∞-范数。例6

设是向量空间Cn上的任一向量，定义，试证，是Cn上的一个向量范数。解答：简洁证得正定性及齐次性。下仅证三角不等式对随意的x，y∈Cn，有该范数被称为2-范数(Euclid范数)。最常用的向量范数。而是关于其分量的实值函数,记则对任意的可以表示成:设是中的向量的向量范数,则必为的连续函数于是有: 定理1

证明:设Cn中的一组基为又由于是固定向量的范数,所以,它与是无关的,所以,当时,有:所以必为的连续函数

设是n维线性空间V中定义的两种向量范数，则一定存在两个与x无关的正常数m，M，使得对V中所有向量x有定理2

则称在n维线性空间V中等价。证明:当x=0时,结论明显成立；当x≠0时，空间中的范数是其重量的连续函数，因此定义函数由于S是有限闭集，且f(x)在S上的点均不为0，因此，f(x)在S上连续。依据多元函数的性质，在S上可取得最大值M与最小值m，即则f(x)也是的连续函数.考虑线性空间中的单位球面留意到对随意的向量x∈V，且x≠0，则在n维线性空间V中等价。例7

中的和两两等价.证明:(1)设,则有所以等价(2)所以,即等价设Fn×n是数域F(R或C)上所有n×n矩阵全体构成的线性空间。实值函数称为矩阵范数，是指对于任意矩阵A，B∈Fn×n满足下列性质(1)正定性:当且仅当:(2)齐次性：(4)相容性：(3)三角不等式：定义2称实数||A||是矩阵A

的范数。2.5.3矩阵范数的概念及性质定理3

设A,B∈Cn×n(或Rn×n)，则(4)Rn×n(或Cn×n)上任意两个范数等价，即若两范数等价，是指存在两个正数d1,d2，使得(3)||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。例8

设是线性空间Cn×n上的两个矩阵范数,

证明也是Cn×n上的矩阵范数。证明非负性，齐次性和三角不等式的成立是显然的，下面只要证明相容性成立刻可。例9

设S∈Cn×n可逆，||||α为给定的Cn×n中的矩阵范数，对于任意的A∈Cn×n，定义函数，证明||A||也是C

n×n中的矩阵范数。证明当A≠0时，由于S可逆，则S-1AS≠0，从而对随意的k∈C，有对随意的B∈Cn×n，有因此，||A||也是Cn×n中的矩阵范数。例10设Fn×n是数域F（R或C）上全部n×n矩阵全体构成的的线性空间。对随意A∈Fn×n，验证都是Fn×n上的矩阵范数。m1-范数m2-范数m∞-范数2.5.4Cn上常用的范数及性质证明(1)

对进行验证。满足正定性当且仅当A为零矩阵时，||A||=0。满足齐次性满足三角不等式满足相容性是定义在Fn×n上的矩阵范数。证明(2)

对进行验证。依据范数的定义，明显正定性和齐次性成立。下证三角不等式和相容性。满足三角不等式利用Minkowski不等式

满足相容性是定义在Fn×n上的矩阵范数。利用Hōlder不等式

证明(3)

对进行验证。正定性，齐次性和三角不等式简洁证明，下面只证明相容性。满足相容性m2-范数又被