2021年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷(优秀中学生暑期学堂)-学生用卷

第第5页，共5页2021年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（堂）学生用卷一、综合题（本大题共20小题）1、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第1题函数𝑓(𝑥)=3𝑥ln𝑥+𝑥3−𝑎𝑥+5在(0,+∞)上非负，则𝑎的最大值为 ．2、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第2题平面内有定𝐶和动Γ，动Γ与定𝐶内切且恒𝐶内不为圆心的一定点，Γ的圆心轨为 ．3、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第3题2𝑥−5𝑦⩽−6已知

9𝑥+𝑦的最大值为 ．3𝑥+6𝑦⩽25，则4、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第4题已知0<𝑥<𝑦<𝜋，且满足sin(cos𝑥)=𝑥，cos(sin𝑦)=𝑦，则有序数对(𝑥,𝑦)的组数2为 ．5、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第5已𝑥2+4𝑦2=1，(𝑥+2𝑦)(𝑥−𝑦)的最小值为 ．6、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第6若4𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2−2𝑎𝑥−𝑎𝑦+2⩾0𝑥𝑦∈𝑎的最大值为 ．7、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第7题已知复数𝑥1，𝑥2，⋯，𝑥2021是方程𝑥2021=1的2021个相异根，则2021∑𝑗=1

1 = ．ixj8、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第8题𝑖=1在数{𝑎𝑛}中，已===且𝑛⩾时，𝑎𝑛1 =∏𝑛 𝑎𝑖−=𝑖=1𝑛 𝑎2−∏𝑛

𝑎𝑖，𝑆 的值为 ．𝑖=1 𝑖

𝑖=1

20219、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第9题和91的计算结果最后三位数字为 ．i=110、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第10题实50×(7 4√3)2021的十进制小数表示中个位数字与十位数字之为 ．11、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第11题设𝑝∈𝐑，方𝑧3 𝑝𝑧 8i=的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，则该等边角形的面积为 ．12、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第12题已知(2𝑥1)4042

=1𝑎𝑥

1 2020

𝑗对任意的实数𝑥均成立，则(𝑥1)2021

𝑖=0

𝑖

(𝑥1)

∑ 2021 𝑗=0𝑎2020= ．13、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第13𝑥，𝑦，𝑧，𝑤满足方程(1 √2 √3 √6)(𝑥 √2𝑦 √3𝑧 √6𝑤)=则有理数(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)的对数为 ．14、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第14题我们[𝑥]表示实𝑥的整数部分，{𝑥}表示实𝑥的小数部分，则关𝑛的不等1−[√𝑛2+1+𝑛]⋅{√𝑛2−1+𝑛}<10−6的最小整数解为 ．215、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第15题已𝑎，𝑏，𝑐为三角形三边长，则𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎的取值范围为 2(𝑎+𝑏+𝑐)16、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第16题设12021

𝑚种方式分3个正整数的倒数之和，𝑛种方式分3个正奇数的倒数之和，则（ ）．A.𝑚=𝑛=1B.𝑚⩽⩾1C.𝑚=3，𝑛=1D.以上均不正确17、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第17𝛼，𝛽∈(0,𝜋)，𝛼+𝛽+𝛾=sin𝛼=𝛼sin𝛽𝛽与𝛾的大小关系2为 ．18、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第18方√𝑥+√𝑦=2+√𝑥+𝑦的整数解的组数为 ．19、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第19𝑥，𝑦(4𝑥3−3𝑥)2+(4𝑦3−3𝑦)2=1𝑥+𝑦的最大值为 ．20、【来源】2021年北京海淀区北京大学自主招生（优秀中学生暑期学堂）第20题集{1,2,⋯,2021}的非空子集中元素和3的倍数的集合个数为 ．6;;86