2022-2023学年人教版初中数学专题《锐角三角函数中的同角三角函数关系》含答案解析

专题锐角三角函数经典基础题五：同角三角函数关系一、单选题1．（2022·四川眉山·九年级期末）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果；②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论；③由①求证即可得出结论；④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；【详解】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点，∴，∴，∵CG∥AE，∴，∴，∴，即△CGF为直角三角形，∵CG∥AE，∴△BHE也是直角三角形，∴．故①正确；由①得，∴，∴，故②正确；由①得，∴BH=CG，而不是BH=FG，故③错误；∵，∴，即，同理可得：，可得，∴，∴④正确；综上所述，正确的有①②④．故答案选D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键．二、填空题2．（2022·重庆南岸·九年级期末）若∠A是锐角，且cosA＝，则sinA＝_____．【答案】##0.8【分析】根据cosA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．【详解】解：如图，在中，cosA＝=，设，则故答案为：．【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．三、解答题3．（2022·上海青浦·九年级期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．【答案】(1)；(2)【分析】(1)过点A作AH⊥BD，垂足为点H．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据,求出AH,利用勾股定理即可求出AB；(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，根据即可求出答案．【详解】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB=AD，∴BH=HD=BD=2．

∵点D是BC的中点，∴BD=CD．∵BD=4，∴CD=4．∴HC=HD+CD=6．

∵，∴，∴．

∵，∴．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．

∵，

∴．

∴．∴点C到直线AB的距离为【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键．4．（2022·福建福州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．(1)直接写出点B的坐标；(2)求y＝（x＞0）的函数表达式．【答案】(1)（﹣1，0）(2)y＝【分析】（1）根据已知条件得到OD=1，根据角平分线的定义得到∠BAO=∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD=90°，根据余角的性质得到∠DCH=∠CBH，根据三角函数的定义得到＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO＝∠DAO，∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（ASA），∴OB＝OD＝1，∴点B坐标为（﹣1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，∵∠ADO＝∠CDH，∴∠DCH＝∠DAO，∴∠DCH＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，∴＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，∴x＝，∴OH＝，CH＝，∴C（，），∴k＝×＝，∴y＝（x＞0）的函数表达式为y＝．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．5．（2022·安徽亳州·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．(1)求的值；(2)填空：当为锐角时，______；(3)利用上述规律，求下列式子的值：．【答案】(1)1(2)1(3)【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；（2）由（1）得出的结论解答即可；（3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可；(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．又∵，∴；(2)当为锐角时，，故答案为1；(3)==（44个1相加）=【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．6．（2022·山东烟台·九年级期末）如图所示，在2021年1月10日14时，山东五彩龙投资有限公司笏山金矿发生爆炸事故，造成井下22名工人被困失联．救援队在接到救援通知后，第一时间赶到事故现场，运用生命探测仪探测到A处东偏南60°方向上传来生命体征信号，接着在A处的正东方向100m的B处东偏南75°方向上再次传来生命体征信号，准确定位了井下失踪工人的具体位置C，于是确定了打通生命救援通道的钻井点，开展争分抢秒的救授工作，1月24日上午11时13分至下午3时18分，先后有11名被困矿工安全升井．请你画出救援队确定打通生命救援通道的钻井点，并求出生命通道的最短距离．（结果精确到0.1m，参考数据：，sin75°＝0.9659，cos75°＝0.2588）．【答案】画图见解析，约为322.6米【分析】过点C作CD⊥AB于点D，点D即为打通生命救援通道的钻井点，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形，即可求得生命所在点C的深度．【详解】解：如图：过点C作CD⊥AB于点D，点D即为打通生命救援通道的钻井点，设CD＝x，在Rt△ADC中，，∴，在Rt△