惠州市2016届高三模拟考试(理数)

PAGEPAGE14惠州市2016届高三模拟考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合,,则（）（A） （B）（C） （D）2．已知复数，则的共轭复数是（）（A）（B）（C）（D）3．已知函数是偶函数，当时，，则在区间上，下列函数中与的单调性相同的是()（A）（B）（C）（D）4．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）

5．下列四个结论：①若是真命题，则可能是真命题；②命题“”的否定是“”；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确结论的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个6．过点的直线与圆相切于点，则（）（A）（B）（C）（D）7．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）1961972002032041367（A）（B）（C）（D）8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）（A） （B）1（C） （D）9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）（A）14（B）15（C）16（D）1710．率为（）（A）（B）（C）（D）

11．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）12．已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．若随机变量，且，则=．14．在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是．（请用数字作答）15．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数．16．已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的最小项是第几项，并求出该项的值。18．(本小题满分12分)2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望。（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由。参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

19．(本小题满分12分)如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，分别为椭圆：的左、右焦点,为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数(其中,且为常数)．（Ⅰ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的方程为．（Ⅰ）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若点的直角坐标为，圆与直线交于两点，求的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）证明：．数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案ABCABCDCCACD1.【解析】由=，=，得=．故选A．2.【解析】由已知，则的共轭复数是，选．3.【解析】由已知得在上单调递减函数，所以答案为．4.【解析】由图知，，且，则周期，所以．因为，则，从而．所以，故，选A．5.【解析】①若是真命题，则和同时为真命题，必定是假命题；②命题“”的否定是“”；③“且”是“”的充分不必要条件；④，当时，，所以在区间上单调递减.选B．6.【解析】由圆得，半径．∵过点的直线与圆相切于点，∴∴，所以选C．另：本题可以数形结合运用向量投影的方法可求得结果。7.【解析】，由回归直线经过样本中心，．故选D．8．【解析】由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积×1×1×2××1×1×2=．故选C．9.【解析】由程序框图可知，从到得到，因此将输出.10.【解析】约束条件为一个三角形及其内部，其中，要使函数在点处取得最大值，需满足，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对，其中满足有6+6+5+5+4+4=30对,所以所求概率为选A．11.【解析】将四棱锥补形成三棱柱，设球心,底面重心，则为直角三角形，,,∴，∴多面体的外接球的表面积为．故选C．12.【解析】设，由抛物线的离心率为1，知，故，所以，另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故有两个分别属于和的零点，故有且，即且，运用线性规划知识可求得．故选．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．0.84214．15．16．13．【解析】∵随机变量，∴正态曲线关于对称，∵，∴．14．【解析】因为二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即，展开式通项为，令，得；则展开式中含项的系数是.15．【解析】因为抛物线的准线为，则有，得，所以,又双曲线的左顶点坐标为，则有，解得.16.【解析】设AC=,在中由余弦定理有同理，在中，由余弦定理有：，即①，又平面四边形面积为，即②.①②平方相加得，当时，取最大值.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设公差为，则有，……2分即或（舍），………4分…………6分（Ⅱ），……7分，…………9分当且仅当即时取号.……………10分数列的最小项是第4项，.……12分18.(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为，并且～，………1分所以…………2分其分布列如下0123（每算对一个结果给1分）所以，.…………7分（Ⅱ）………9分………11分所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”。…12分19．(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：∵长方形中，，，为的中点，∴，∴.………1分∵平面⊥平面，平面∩平面=，⊂平面∴⊥平面………………3分∵⊂平面∴⊥；………5分（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则平面的一个法向量，…………6分设，，设平面的一个法向量为取，得所以，………9分因为，求得，……11分所以为的中点．………12分20.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由已知，设，即∴即………………1分∴得：①………2分又的周长为，∴②………3分又①②得：∴∴所求椭圆的方程为：………5分（Ⅱ）设点,直线的方程为………………6分由消去，得：设，中点为则∴∴即………8分∵是以为顶点的等腰三角形∴即∴………10分设点到直线距离为，则∴即点到直线距离的取值范围是。………………12分另解：∴法2：∵是以为顶点的等腰三角形∴∵∴又∴∴∴以下同解法一。21.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）………………1分当时,对于恒成立,在上单调递增,此时命题成立;……………3分当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,有.这与题设矛盾.故的取值范围是……………………5分（Ⅱ）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或;……………7分当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点;……………9分当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,,所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.……………11分综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根.………12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。22.（本小题满分10分）（I）证明：连结，由题意知为直角三角形.………1分因为，，∽，………2分所以，…………3分即.……………………4分又，所以.………………5分（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，………6分又，所以，………………7分因为，又，所以∽.………8分所以，得………9分……………10分23.（本小题满分10分）（I）消去参数得直线的普通方程为，………2分由得圆的直角坐标方程………5分