伯乐教育-第二册第一章立体几何初步

纸上得来终觉浅绝知此事要躬行第一章：立体几何初步【考纲要求】1．柱、锥、台、球以及简单组合体的结构特征是基础，以它们为载体考查线面位置关系是重点．2．柱、锥、台、球的表面积、体积的考查常以选择题和填空题的形式出现．3．对三视图的考查呈逐年增强的趋势，既有选择题、填空题又有解答题，应引起高度重视．4．近年来，高考命题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖，灵活性强，立体几何试题经常是以简单几何体为载体，考查线面位置关系，以中档题为主．【基础知识梳理】一、空间几何体（一）空间几何体的类型1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。图1-1棱柱图1-1棱柱棱柱底面是四边形四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正底面是四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱长都相等性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式（是底周长，是高） 2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2.2正棱锥的结构特征ABCDPOABCDPOHⅡ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）体积：（为底面积，为高）正四面体：对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。对棱间的距离为（正方体的边长）正四面体的高（）正四面体的体积为（）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）3、棱台的结构特征3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4圆柱的面积和体积公式(为底面半径，为圆柱的高)5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5圆锥图1-5圆锥5.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6、圆台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6.3圆台的面积和体积公式(无需记忆)(r、R为上下底面半径)(h为圆台的高)7球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7-2球的结构特征球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：★7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7-4球的面积和体积公式(为球半径)（三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：圆锥的表面积：圆台的表面积：球的表面积：扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径，表示弧度）空间几何体的体积柱体的体积：锥体的体积：台体的体积：（无需记忆）球体的体积：（四）空间几何体的三视图和直观图正（主）视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。侧（左）视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。★画三视图的原则：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于轴的线长度变半，平行于，轴的线长度不变；（3）画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图【精益求精】第一类：几何体的结构特征1.柱中（）A、只有两个面平行 B、所有的棱都相等C、所有的面都是平行四边形 D、两底面平行，且各侧棱也平行2.下列命题中，正确的是（）A、有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C、有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D、底面是正多边形的棱柱是直棱柱3.棱柱是正四棱柱的条件是（）A、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面B、每个侧面都是全等的矩形C、底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、底面是正方形，有两个侧面是矩形4.三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。（2）底面是矩形的平行六面体是长方体。（3）直四棱柱是直平行六面体。以上命题中正确的序号为。5.四个命题：

（1）各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

（2）三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

（3）底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；

（4）顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的三棱锥必是正三棱锥．

其中，正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.题中的真命题是（）（A）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（B）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；（C）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；（D）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.7.给出四个命题：其中正确命题的个数是（）①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱。A.0 B.1 C.2 D.38.下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有________个A.1 B.2 C.3 D.49.列命题中，假命题是。（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（3）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体10.个命题中，正确的有（）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11．下列命题中正确的有________.①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点的截面是等腰三角形；④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；⑤圆锥的顶点和底面的圆周上一点的连线是圆锥的母线。12.用平面去截正方体，所得的截面不可能是（）.A.六边形B.菱形C.梯形D.直角三角形第二类：几何体的结构特征13.正四棱锥的高为，侧棱的长为，则侧面上的斜高为多少？14.正三棱台的高为3cm上、下底面边长分别为2cm和4cm。求这棱台的侧棱长和斜高。15.如图，正四棱台AC＇的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.第三类：投影问题16.如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是。①①②③④17.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的（要求：把可能的图的序号都18.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的正投影不可能是（）第四类：最值问题19．如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1A．8 B．10C．12 D．1620.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。21.如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为。22.已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为。第五类：斜二测画法23.是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。24.如图所示，梯形是一平面图形的直观图.若，，，.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.25.利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是.第六类：三视图26.画三视图①画出有一条侧棱正对着你的正三棱柱，其中底面边长为2cm，侧棱长为2cm.②画出有一条侧棱正对着你的正四面体，其棱长为2cm.③画出有一个侧面正对着你的正四棱锥，所有棱长均为2cm27.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。28.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）.A．B.C.D.29.如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）. A．1B．C．D．30.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是31.三视图如下图的几何体是（）A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台32.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()第七类：表面积与体积33．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。34.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）A. B. C. D.35.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A. B. C. D.36.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A.B.C.D._A_B__A_B_D_C_E_FA、B、5C、6D、38.一个棱台的上、下底面积之比为4：9，若棱台的高是4cm，求截得这个棱台的棱锥的高。39.两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积()A.B.C.D.40.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.41．如图，在三棱柱中，若、分别为、的中点，平面将三棱柱分成体积为、的两部分，那么＝________.第八类：球中问题42.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）A、 B、 C、 D、43.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25、144，则这两个平面间的距离是_______________．44.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积（）A、B、C、D、都不对45.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（）A. B. C. D.46.已知半径为R的球面上有三点A、B、C且AC=8，BC=6,AB=10球心到平面ABC的距离是12，则