七年级数学试题第三讲绝对值总结

唯思达教育初一数学精讲班第三讲绝对值教师版第11页共11页内容概述第三讲绝对值内容概述绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a（a＞0）|a|=0（a=0）（代数意义）-a(a＜0)若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；|a|=|a|=a；|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|

[例1]绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=bB.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC.若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a=(-b)设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。选择D。根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固]绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。[巩固]有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）A.a＞bB.a=bC.a<bD.无法确定分析：选择D。[巩固]若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固[巩固]若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）A.a＜0B.a＞0C.b＜0D.b＞0分析：选择C[巩固]设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，=（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。==-1n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1小知识点汇总：（本源|a|≥0b≥0）若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0简单的绝对值方程简单的绝对值方程【例3】已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？分析：（1）4，-4（2）2，-2，（3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2；当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】解方程：（1）（2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=±，进而可得：x=-，-；（2）4x+8=±12，x=1，x=-5（3）此方程无解（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。=当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；综上可得=4化简绝对式化简绝对式【例6】已知a=-，b=-，求的值若|a|=b，求|a+b|的值化简：|a-b|分析：（1）原式=（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b（3）分类讨论。当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。【巩固】化简：（1）|3.14-π|（2）|8-x|（x≥8）分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CCB0A分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|aa0cb分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||aa0b分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a<-b且，a<0,b<0,a+b<0,ab>0|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由x<0<z,xy>0可得：y<0<z,又|y|>|z|>|x|,可得：y<x<z;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0<m<10并且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a<0，试化简分析：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x（2）===-【例10】若abc≠0，则的所有可能值分析：从整体考虑：（1）a，b，c全正，则=3；（2）a，b，c两正一负，则=1；（3）a，b，c一正两负，则=-1；（4）a，b，c全负，则=-3【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值分析：有知abcd<0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则=2；若含有3个负数，则=-2【例11】化简|x+5|+|2x-3|分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段x<,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；x=，2x-1=0，|2x-1|=0x>，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。当m<0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1当m≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3绝对值几何意义的应用绝对值几何意义的应用|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？AABCDE分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”题后小结论：求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值：当n为奇数时，把a、a、…a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。当n为偶数时，把a、a、…a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义分析：|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析：当a=3，b=2时，|a-b|=1；当a=3，b=-2时，|a-b|=5；当a=3，b=0时，|a-b|=3；当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a<a<a<a<a,求|x-a|+|x-a|+|x-a|+|x-a|+|x-a|的最小值分析：当x=a时有最小值，a+a-a-a【例14】设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值分析：根据几何意义可以得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c+d-a-b附加习题附加习题若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿分析：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿分析：因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为：(a+b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-对于|m-1|，下列结论正确的是（）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C.|m-1|≥|m|-1D.|m-1|≤|m|-1分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为C。设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析：|a|+a=0，|a|=-a，a≤0；|ab|=ab，ab≥0；|c|-c=0，|c|=c，c≥0。所以可以得到a≤0，b≤0，c≥0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b化简：||x-1|-2|+|x+1|分析：先找零点。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。x≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=2x-2；1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4；-1≤x≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0,||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2已知有理数a，b，c满足，求的值分析：对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必是两正一负，则abc<0，=-1若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|分析：从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a，b的距离都是1，且三者不相等，那么在数轴上就有：aacb(b)(a)因为|d-b|=1，且a，b，c，d为互不相等的有理数，则有：aacb(b)(a)d显然易得|a-d|=3练习三练习三1、|m+3|+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值分析：绝对值为非负数，|m+3|+|n-|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-=0，2p-1=0，即得m=-3，n=，p=，所以p+2m+3n=-6+3×=52、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=8分析：（1）x=±2，y=±3，