数量积-向量积-混合积课件

sF解:

由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是第二节数量积向量积混合积一、两向量的数量积(ScalarProduct)例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义数量积是一个实数。数量积也记作或称为“点积”、“内积”.1.数量积的定义结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向关于数量积的说明：证证关于数量积的说明：证证(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;2.数量积的运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当利用向量证明三角形的余弦定理例1证利用向量证明三角形的余弦定理例1证3.数量积的坐标表达式设在直角坐标系下，3.数量积的坐标表达式设在直角坐标系下，4.两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为4.两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件

解已知

例2,求;(2)(1)与的夹角.解已知例2,求;(2)(1)与的夹角.二、两向量的向量积(VectorProduct)先研究物体转动时产生的力矩M的方向:垂直于OP与F所在的平面,指向使OP、F与M满足右手规则.二、两向量的向量积(VectorProduct)先研究物定义向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积是一个向量1.向量积的定义定义向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积是一个向量1.向

（1）两向量的向量积的几何意义:(i)表示以和为邻边的平行四边形的面积.其中

(ii)ab的方向与一切既平行于a

又平行于b

的平面相垂直.（1）两向量的向量积的几何意义:(i)证证毕两个非零向量共线它们的向量积＝0证证毕两个非零向量共线它们的向量积＝0向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：例32.向量积的运算规律向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数例4设向量不共线，若向量与求k的值.共线，解:,即由于,所以,故由于例4设向量不共线，若向量与求k的值.共线，解:,即由于,例5证明:并由此证明关于三角形面积的海伦(Heron)公式：其中a,b,c是三角形的三边长，s是周长的一半，S表示面积.例5证明:并由此证明关于三角形面积的海伦(Heron)公式：3.向量积的坐标表示式设在空间直角坐标系下3.向量积的坐标表示式设在空间直角坐标系下向量积还可用三阶行列式表示3.向量积的坐标表示式向量积还可用三阶行列式表示3.向量积的坐标表示式例6解例6解三角形ABC的面积为例7解三角形ABC的面积为例7解三、向量的混合积定义或混合积是一个实数设已知三个向量，先作向量的向量积，把所得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三向量的混合积.记作1.混合积的定义三、向量的混合积定义或混合积是一个实数设已知三个向量2.向量混合积的几何意义为棱作平行六面体,高故平行六面体体积为则其底面积混合积表示以平行六面体的有向体积.为棱的2.向量混合积的几何意义为棱作平行六面体,高故平行六面体体设3.向量混合积的坐标表达式在空间直角坐标系下设3.向量混合积的坐标表达式在空间直角坐标系下混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式4.混合积的性质(可用三阶行列式推出)4.混合积的性质(可用三阶行列式推出)三个向量共面的判定定理证明共面，则当若时，//，显然当不平行于时，垂直于所在的平面，因而，有若，逆推也成立.三个向量共面的判定定理证明共面，则当若时，//，显然当不平行解例6解例6例7解例7解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:向量的线性运算内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:向量的混合积:2.向量关系:混合积:2.向量关系:sF解:

由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是第二节数量积向量积混合积一、两向量的数量积(ScalarProduct)例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义数量积是一个实数。数量积也记作或称为“点积”、“内积”.1.数量积的定义结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向关于数量积的说明：证证关于数量积的说明：证证(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;2.数量积的运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当利用向量证明三角形的余弦定理例1证利用向量证明三角形的余弦定理例1证3.数量积的坐标表达式设在直角坐标系下，3.数量积的坐标表达式设在直角坐标系下，4.两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为4.两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件

解已知

例2,求;(2)(1)与的夹角.解已知例2,求;(2)(1)与的夹角.二、两向量的向量积(VectorProduct)先研究物体转动时产生的力矩M的方向:垂直于OP与F所在的平面,指向使OP、F与M满足右手规则.二、两向量的向量积(VectorProduct)先研究物定义向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积是一个向量1.向量积的定义定义向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积是一个向量1.向

（1）两向量的向量积的几何意义:(i)表示以和为邻边的平行四边形的面积.其中

(ii)ab的方向与一切既平行于a

又平行于b

的平面相垂直.（1）两向量的向量积的几何意义:(i)证证毕两个非零向量共线它们的向量积＝0证证毕两个非零向量共线它们的向量积＝0向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：例32.向量积的运算规律向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数例4设向量不共线，若向量与求k的值.共线，解:,即由于,所以,故由于例4设向量不共线，若向量与求k的值.共线，解:,即由于,例5证明:并由此证明关于三角形面积的海伦(Heron)公式：其中a,b,c是三角形的三边长，s是周长的一半，S表示面积.例5证明:并由此证明关于三角形面积的海伦(Heron)公式：3.向量积的坐标表示式设在空间直角坐标系下3.向量积的坐标表示式设在空间直角坐标系下向量积还可用三阶行列式表示3.向量积的坐标表示式向量积还可用三阶行列式表示3.向量积的坐标表示式例6解例6解三角形ABC的面积为例7解三角形ABC的面积为例7解三、向量的混合积定义或混合积是一个实数设已知三个向量，先作向量的向量积，把所得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三向量的混合积.记作1.混合积的定义三、向量的混合积定义或混合积是一个实数设已知三个向量2.向量混合积的几何意义为棱作平行六面体,高故平行六面体体积为则其底面积混合积表示以平行六面体的有向体积.为棱的2.向量混合积的几何意义为棱作平行六面体,高故平行六面体体设3.向量混合积的坐标表达式在空间直角坐标系下设3.向量混合积的坐标表达式在空间直角坐标系下混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式4.混合积的性质(可用三阶行列式推出)4.混合积的性质(可用三阶行列式推出)三个向量共面的判定定理证明共面，则当若时，//，显然当不平行于时，垂直于所在的平面，因