继电保护算法分析报告

. . . .继电保护算法分析引言根据继电保护的原理可知 ，微机保护系统的核心内容即是如何采用适当而有效的保护算法提取出表征电气设备故障的信号特征分量 。图1是目前在微机保护中通常采用的提取故障信号特征量的信号处理过程 。故障信号变换低通滤波故障信号器(CT)A/D转换保护算法特征量器(ALF)图1 故障信号特征的提取过程Fig.1 Characterextractionprocessoffaultsignal从图中可以看出，自故障信号输入至 A/D 输出的诸环节由硬件实现 ，在此过程中故障信号经过了预处理（如由ALF滤除信号中高于5次的谐波分量），然后通过保护算法从中提取出故障的特征分量 （如基波分量）。很明显，只有准确且可靠地提取出故障的特征量，才能通过故障判据判断出是否发生了故障 ，是何种性质的故障，进而输出相应的保护动作 。因此计算精度是正确作出保护反应的重要条件 。就硬件部分而言，为了减少量化误差，通常采用12位甚至16位A/D转换芯片；而就保护算法而言，提高精度除了与算法本身的性能有关 ，还与采样频率、数据窗长度和运算字长有关 。目前针对故障特征的提取有许多不同类型的保护算法 ，本课题研究的是电动机和变压器的保护，根据相应的保护原理 ，主要涉及基于正弦量的算法和基于序分量过滤器的算法。本章将对其中几种较典型的算法作简要介绍和分析 。基于正弦量的特征提取算法分析.下载可编辑.2.1 两点乘积算法设被采样信号为纯正弦量 ，即假设信号中的直流分量和高次谐波分量均已被理想带通滤波器滤除。这时电流和电压可分别表示为 ：i2Isin(ti0)和u2sin(tu0)U表示成离散形式为：iki(kTS)2Isin(kTSi0)（1）uk u(kTS) 2Usin(k TS u0)（2）式中， 为角频率，I、U为电流和电压的有效值 ，TS为采样频率， i0和 u0为电流和电压的初相角 。设i1和i2分别为两个相隔 的采样点n1和n2处的采样值（图2）,2即：n2 TS n1TS由式（1）：

2i1 i(n1TS) 2Isin(n1TS i0) 2Isin i13）i2i(n2TS)2Isin(n2TSi0)2Isin(n1TSi0)2Icosi124）式中 i1 n1 TS i0为第n1个采样时刻电流的相位角。i(k)i1i20 n1TS n2TS

kTS. . . .图2 两点乘积算法的采样Fig.2 Samplingoftwo-pointproductalgorithm将式（3）和式（4）平方后相加可得：2I2 i12 i22由此可求得电流的有效值为 ：i12i22I2将式（3）和式（4）相除可求得n1TS时刻的电流相位为：i1arctgi1i2同理，由式（2）可得：u1 2Usin u15）u2 2Ucosu16）类似于电流的情况，由式（5）和式（6）可得：U

u1 u22.下载可编辑.u1 arctgu1u2式（3）～（6）表明，若输入量为纯正弦函数 ，只要得到任意两个相隔 的瞬时2值，就可以计算出其有效值和相位 。为了避免涉及三角函数 ，在计算测量阻抗时可采用复数法，即把电流和电压表示为：IcosUUcos

i1jIsini1i1jUsini1利用式（3）～（6）得：Uu2ju1Zi2ji1I7）由式（7）可求得测量阻抗的电阻分量和电抗分量为 ：Ri1u1i2u2i12i228）i2u1i1u2Xi22i129）式（8）和式（9）中用到了两个采样点的乘积 ，故称为两点乘积算法。该算法使用了两个相隔 的采样值，即算法本身所需的数据窗长度为 1周期，在2 4工频场合该长度为 5mS，这即是算法的响应时间 。文献表明，用正弦量任何两点相邻的采样值都可以计算出有效值和相位角 ，亦即理论上两点乘积算法本身所需的数据窗可以是很短的一个采样间隔 ，但事实上由于此时的算法公式将比前者复杂得多 ，实际应用中由于实现算法所需的运算时间加长反而抵消了采样间隔的缩短 。此外，由于算法所针对的是纯正弦量 ，实际的故障信号很难满足这一要求 ，可见算法的精度严重依. . . .赖于信号波形的正弦度 。因此，尽管算法本身没有理论误差 ，但为了使信号尽可能接近于正弦，必须通过数字滤波的方法先滤除信号中的高频分量 ，这将额外地增加很大的运算工作量，使实际的算法响应时间大大超过理论值 。2.2 导数算法设电流和电压分别为：i2Isin(ti0)u2Usin(tu0)则t1时刻的电流和电压分别为 ：i1 2Isin(t1 i0) 2Isin i110）u1 2Usin( t1 u0) 2Usin u111）式中 i1 t1 i0， u1 t1 u0。而t1时刻电流和电压的导数分别为 ：i12Icosi1或i12Icosi112）u12Ucosu1或u12Ucu1os13）由式（10）～（13）可得：2基波有效值I1i12i1214）2U 1 u12 u12.下载可编辑.15）i1 u1u1i1阻抗 分量 R 2i12 i116）u1i1 i1u1X 2i12 i117）可见，只要获得了电流电压在某一时刻的采样值和在该时刻的导数 ，就可以计算出相应的电流电压基波有效值 、相位和阻抗。在微机的离散系统中 ，无法通过采样直接得到该点的导数，为此，可取t1为两个相邻采样时刻 k和k+1的中间时刻，用差分近似表示该时刻的导数（图3）。即：i11(ikik1)TS（18）u11(ukuk1)TS（19）这实际上是用直线 ab的斜率近似表示直线 mn的斜率，当TS足够小时，这种近似将会有足够的精度。从图3可以看到，t1并不在采样点上，为了使采样值与导数尽可能在同一点上 ，对相邻两点采样值求平均值 ：1i1 (ik ik1)2. . . .20）1u1 (uk uk1)221）显然，当TS足够小时，t1与导数点将足够接近。i(k) nbm a0kTSkt1k+1图3 差分近似求导原理Fig,3 Approximatederivativecalculationbydifferencemethod虽然与两点乘积算法相似 ，导数算法也使用了两个相邻的采样值 ，但其采样间隔很小，因此算法的响应速度很快 。由于算法在求导数时是用差分近似微分 ，即算法的精度与采样频率有关 ，所以采样频率越高则精度越高 。此外，由于算法中采用了差分方法，对信号中的直流分量具有一定的滤除能力 ，但对高次谐波则具有放大作用 ，因此类似于两点乘积算法 ，该算法也需要通过数字滤波器滤除高次谐波 ，因而算法的实际响应速度主要取决于算法本身和数字滤波器的运算时间 。2.3 半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法的原理是依据一个正弦量在任意半个周期内绝对值积分为一常数S，且积分值S与积分起始点的初相位 无关，如图4中两个从不同起始点算起的.下载可编辑.半周内的两部分面积是相等的 。即：T22IsintdtS2Isin(t)dtt2Isin tdt 2 2I022）由式（22）可求得基波分量的有效值为 ：I S2 223）式（23）的离散形式可以用梯形法或矩形法推出 。如采用梯形法，可以设若干个小梯形面积之和为S（图5），则有：i0i1i1i2iN1iN22S22TS21N12i0iNkikTS22124）式中：i0，i1， ，iN为半周内的采样值 ，N为一周内的采样点数 ，TS为采样间隔2（周期）。式（24）是式（22）的近似，其精度与采样频率有关 。当采样频率足够高（TS足够小）时，误差也可以足够小，即S与S足够接近。i(t) i(t)02t+t02. . . .图4 半周积分算法原理Fig.4 Principleofhalf-cycleintegralalgorithmi(t)i1i2iNi02t0 0 1 2 N2图5 梯形法面积计算原理Fig.5 Principleofacreagecalculationwithtrapeziamethod半周积分算法需要的数据窗长度为 10mS，较两点乘积算法和导数算法长 。但由于这种算法只有加法运算，算法的工作量很小，可以用低端MCU实现。此外，算法本身具有一定的滤除高频分量的能力 ，因为叠加在基波分量上的高频分量 （通常幅度不大）在半周积分中其对称的正负半周互相抵消 ，剩余的未被抵消部分所占的比重减小，极端情况（正负半周刚好相等 ）时，可以完全抵消。但该算法不能滤除直流分量，因此对于一些要求不高的保护场合可以采用该算法 ，必要时可以在前级配以简单的差分滤波器来滤除直流分量 。2.4 付立叶算法（付氏算法） 付氏算法的基本原理.下载可编辑.付氏算法的基本思想来自付立叶级数 ，它假定被采样信号是一个周期时间函数 ，除了基波分量，还含有不衰减直流分量和高次谐波分量 ，可以表示为：x(t) X0 Xksin( t k) X0 (aksink t bkcoskt)k1 k125）式中：X0为直流分量，Xk为k次谐波分量的幅值 ， k为k次谐波分量的初相位 ，为基波角频率，akXkcosk为k次谐波的正弦分量系数，bkXksink为k次谐波的余弦分量系数。由付氏级数原理可求得系数ak和bk分别为：ak2Tx(t)sinktdtT0bk2Tx(t)cosktdtT0式中T为xt的周期。由此可计算出各次谐波分量的幅值和初相位。继电保护中通常对()基波分量感兴趣，此时基波（k=1）的正弦和余弦分量系数为 ：a12Tx(t)sintdtT0（26）b12Tx(t)costdtT0（27）基波分量的幅值和初相位分别为：22b1X1a1b11arctga1根据数据窗的长度，在微机上实现式（26）和式（27）时可分为全波付氏算法和半波付氏算法。 全波付氏算法. . . .微机实现时需对式 （26）和式（27）离散化，分为矩形法和梯形法 。设每周期采样点数为N，则矩形法：2TSx(1)sinTSx(2)sin2TSx(N)sinNTSa1T2Nx(k)sink2Tk1N（28）b12TSx(1)cosTSx(2)cos2TSx(N)cosNTST2Nx(k)cosk2Tk1N（29）式中TS为采样周期。当采样频率为fS，基频为f时，NfS。f梯形法：a12x(0)sin0x(1)sinTSx(1)sinTSx(2)sin2TSTS22Tx(N1)sin(N1)TSx(N)sinNTS22N12Tkx(k)sink1N（30）b12TSx(0)cos0x(1)cosTSx(1)cosTSx(2)cos2TST22x(N1)cos(N1)TSx(N)cosNTS2x(0)T2

1k1

x(k)cosk

2 x(N)N 231）.下载可编辑.式中x(0)和x(N)分别是k=0和k=N时的采样值。观察式（28）～（31）可知它们是非递归离散系统的一般表达式 。矩形法算式比梯形法算式更为简洁 ，便于编程实现，但在相同的采样频率时，精度不如梯形法。 半波付氏算法全波付氏算法的数据窗为一个工频周期 （20mS），响应时间较长。为了缩短响应时间，可将数据窗缩短至半个周期 ，从而得到半波付氏算法 。设每周期的采样点数仍为N，则根据式（26）和式（27）可得半波付氏算法的计算公式为：矩形法：4a1N（32）

N2k1

x(k)sink2Nb1

4

N2

x(k)cosk

2N

k1

N33）4梯形法： a1N

N21k1

x(k)sink2N34）b1

4 x(0) 4

N2

2x(N2)x(k)coskN 2 T

k1

N235）从滤波效果来看 ，全波付氏算法不仅能完全滤除各次谐波分量和稳定的直流分量，而且能较好地滤除线路分布电容引起的高频分量 ，因而可以对畸变波形中的基波分量平稳和精确地作出响应 。从图6可以看出，半波付氏算法的滤波效果不如全波付氏算法，它不能滤除直流分量和偶次谐波分量 ，即它需要假设信号中的直流分量已由前置ALF滤除。此外，两者都对按指数衰减的非周期分量呈现了很宽的连续频谱 ，因. . . .此付氏算法的精度受衰减的非周期分量的影响较大。A(f)A(f)1.01.00.50.5ff0123456f10123456f1(a)全波付氏算法 (b)全波付氏算法图6 付氏算法的频谱Fig.6 FrequencyspectrumofFourieralgorithm从精度来看，由于半波付氏算法的数据窗为半周 ，在故障发生半周后即可计算出结果，但精度不如全波付氏算法 。全波付氏算法则需要在故障发生一个周期后才能计算出结果，响应速度较慢 ，但其计算精度较高 。文献表明，全波付氏算法不仅对基波，而且对所有通过防混迭滤波器的谐波都具有最小的协方差估计 ，因此是目前微机继电保护中最普遍采用的算法 。2.5 最小二乘算法最小二乘算法的原理是为被采样信号预设一个尽可能逼近的信号模型函数 ，并按最小二乘拟合原理对其进行拟合 。设被采样信号为：L Lx(t) X0 Xksin(k t k) X0 (Xsksink t Xckcosk t)k1 k1（36）式中：Xsk Xkcos k，Xck Xksin k。.下载可编辑.可以看出，式（36）是式（25）的前L11项有限和表达式。当采样间隔为TSfS时，则将N个采样值y1，y2，，yN代入式（36）可以得到N个方程，表示为矩阵形式：AXY（37）其中：X(X0,Xs1,Xc1,Xs2,Xc2,,XsL,XcL)TY(y1,y2,,yN)1sinTScosTSsinLTScosLTS1sin2TScos2TSsin2LTScos2LTSA1sinNTScosNTSsinNLTScosNLTS根据最小二乘拟合原理，当误差N22AX)T(YAX)ykx(kTS)(Yk1最小时，称AX为yk的最佳拟合函数。令J2(YAX)T(YAX)求J关于X的导数并令其等于零：J2ATAX2ATY0X即：ATAXATY由于ATA是非奇异方阵，故可得：X (ATA)1ATY38）式（37）中的矩阵 A的各元素均不含未知量，当采样频率 fS和采样点数 N确定时，求解式（38）可以预先将