概率论与数理统计的及其的应用课后答案详解第二版浙大版4-7章的

实用标准文档第4章 正态分布1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z1.24}，Z2.37}，2.37Z1.24}；P{1.24P{（2）设Z~N(0,1)，且P{Za}0.9147，P{Zb}0.0526，求a,b。解：（1）P{Z1.24}(1.24)0.8925，P{1.24Z2.37}P{Z2.37}P{Z1.24}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P{2.37Z1.24}(1.24)(2.37)[1(1.24)][1(2.37)]0.0986（2）P{Za}0.9147(1.37)，所以a1.37；P{Zb}0.05261P{Zb}，所以P{Zb}0.9474(1.62)，即b1.62。2，设X~N(3,16)，求P{4X8}，P{0X5}。解：因为X~N(3,16)，所以X3~N(0,1)。4P{4X8}P{43X383}(1.25)(0.25)0.89440.59870.2957444P{0X5}(53)(03)0.6915(10.7734)0.4649。443，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X25C}0.9544。（2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{XC}0.95。解：（1）因为P{X25C}P{CX25C}(C)(C)2(C)1666所以得到(C)0.9772,即C2.0，C12.0。66（2）因为X3~N(0,1)，所以P{XC}1(C3)0.95，即22(C3)0.05,或者(3C)0.95，从而3C1.645，C0.29。222精彩文案实用标准文档4，已知美国新生儿的体重（以g计）X~N(3315,5752)。（1）求P{2587.75X4390.25}；（2）在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求P{Y4}。解：根据题意可得X3315~N(0,1)。5754390.2533152587.753315)（1）P{2587.75X4390.25}()(575575(1.87)(1.2648)0.9693(10.8962)0.8655（或0.8673）（2）P{X2719}(27193315)1(1.04)0.1492，575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以4C25k0.1492k0.850825k0.6664。P{Y4}k05，设洗衣机的寿命（以年计） X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了 5年，求其寿命至少为 8年的条件概率。解：所要求的概率为186.4)P{X8}(2.31(1.06)10.8554P{X8|X5}5}56.41(0.92)0.1761P{X1)0.8212(2.36，一电路要求装两只设计值为 12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为 11.9欧，标准差为 0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在 11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于 12.4欧的概率（设两电阻器精彩文案实用标准文档的电阻值相互独立）解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量 X,Y,则X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)（1）P{11.7X12.3,11.7Y12.3}P{11.7X12.3}P{11.7Y12.3}(12.311.9)2(11.711.9)(2)(1)20.818520.6699；0.20.2（2）至少有一只电阻器大于 12.4欧的概率为21P{X12.4,Y12.4}1P{X12.4}P{Y12.4}1(12.411.9)0.210.993820.0124。7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值160，均方差为的正态分布，若要求P{120X200}0.80，允许最大为多少？解：根据题意，X160~N(0,1)。所以有P{120X200}(200160)(120160)2(40)10.80，即，(40)0.9(1.28)，从而401.28,31.25。故允许 最大不超过31.25。8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在dC，液体的温度X（以C计）是一个随机变量，且X~N(d,0.52)，（1）若d90，求X小于89的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 0.99，问d至精彩文案实用标准文档少为多少？解：因为X~(,0.52)，所以Xd~N(0,1)。Nd0.5(8990)（1）P{X89}(2)1(2)0.0228；0.5（2）若要求P{X80}0.99，那么就有P{X80}1(80d)0.99，0.5即(80d)0.01或者(d80)0.99(2.326)，从而d802.326，0.50.50.5最后得到d81.163，即d至少应为81.163。9，设X,Y相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为100，方差为16的正态分布。（1）求W1XY，W22XY，W3(XY)/2的分布；（2）求P{XY242.6}，P{(XY)/21255}。解：根据题意X~N(150,9),Y~N(100,16)。（1）根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到W1~N(250,25)，W2~N(200,52)，W3~N(125,25)42）因为W1~N(250,25)，W3~N(125,25)，所以4XY250~N(0,1)，XY/2125~N(0,1)。55/2因此P{XY242.6}(242.6250)1(1.48)0.0694，5P{(XY)/21255}1P{5(XY)/21255}1(5)(5)2.52.52(2)0.0456精彩文案实用标准文档10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）X~N(10,0.22)，垫圈直径（以 mm计）Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,2)，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。解：（1）根据题意可得XY~N(0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率为P{XY}P{XY0}0(0.5)(1.77)0.9616。0.08（2）XY~N(0.5,0.042)，所以若要控制P{XY}P{XY0(0.5)(1.282)，0}0.900.042即要求0.51.282，计算可得0.3348。表明至多为0.33480.042才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。11,设某地区女子的身高（以m计）W~N(1.63,0.0252)，男子身高（以m计）M~N(1.73,0.052)。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率； （2）在这一地区随机选5名女子，求至少有 4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选 50名女子，求这50名女子的平均身高达于 1.60的概率。解：（1）因为M W~N(0.1, 0.003125)，所以精彩文案实用标准文档00.1；P{WM}P{MW0}()(1.79)10.96330.03670.003125（2）随机选择的女子身高达于 1.60的概率为P{W1.60}11.601.63)(1.2)0.8849，(0.025随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布B(5,0.8849)，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为C540.88494(10.8849)C550.884950.8955（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W1,W50，W150Wi。则W150Wi~N(1.63,0.0252)，所以这50名女子的平50i150i150均身高达于1.60的概率为P{W1.60}1(1.601.63)(8.49)10.025/5012，（1）设随机变量X~N(,2)，已知P{X16}0.20，P{X20}0.90，求和；（2）相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X2Y6Z7}。X,Y,Z解：（1）由P{X16}(16)0.20(0.84)，得到160.84；P{X20}(20)0.90(1.282)，得到201.282；联立160.84和201.282，计算得到17.5834,1.8850。（2）由X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到3X 2Y 6Z~N(0,49)。故所以精彩文案实用标准文档7 0P{3X 2Y6Z7}P{3X2Y6Z7}()1(1)0.1587713，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为 30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到 m(g)时结束。以Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为 X~N(0,7.52)，X以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）1）写出Z,X,m的关系式；2）求Z的分布；3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。解：（1）根据题意Z,X,m有关系式mZ30X或者Zm30X；（2）因为X~N(0,7.52)，所以Z~N(m30,7.52)；（3）要使得P{Z450}0.95，即要P{Z450}450(m30)0.95，17.5所以要求m4800.95(1.645)，即m4801.645，m492.3375。7.57.5所以，要使容器中所装饮料至少为 450g的概率不小于 0.95，m至少为492.4g。14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y~N(30,9)，设X,Y相互独立。1）求Z的分布；2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。精彩文案实用标准文档解：（1）此时ZmYX，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得Z~N(m30,65.25)。（2）P{Z450}1450(m30)m4800.90(1.282)，65.2565.25可得m4801.282，即m490.36。65.2515，某种电子元件的寿命 X（以年计）服从数学期望为 2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,X100，11000.04。根据独立同分布的中心极XXi。则E(X)2，D(X)100i1限定理可得100X21.821.82P{Xi180}}1(1)0.8413P{X1.8}P{0.2()i10.20.216，以X1,X100记100袋额定重量为（）的袋装肥料的真实的25kg净重，E(Xi)25(kg),D(Xi)1,i1,2,100.X1,X100服从同一分布，且相互独立。1100X25.25}的近似值。XXi，求P{24.75100i1解：根据题意可得E(X)25(kg),D(X)1。由独立同分布的中心100极限定理可得P{24.75X25.25}P{24.7525X2525.25250.10.1}(2.5)(2.5)0.1精彩文案实用标准文档2 (2.5) 1 0.987617，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为 10-7。设舍入误差相互独立，且在区间(0.5107,0.5 107)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于0.5106的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）解：以X1,X400记这400个数据的舍入误差，X1400Xi。则400i1E(X)0,1014D(X)。利用独立同分布的中心极限定理可得4800400106}108108}P{Xi0.5P{0.125X0.125i1P{0.125108X0.125108}101410141014480048004800(0.2512)(0.2512)2(0.866)10.615618，据调查某一地区的居民有 20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为 X，求P{170 X 185}，P{X 190}，P{X 180}；（2）问至少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于 50部的概率大于0.95。解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X) 200,D(X) 160。由DeMoivre-Laplace 定理，计算得精彩文案实用标准文档P{170X185}(1850.5200)(1700.5200)160160(1.15)(2.41)(10.8749)(10.9920)0.1171；P{X190}11900.5200)1(0.83)0.7967；(160P{X180}(1800.5200)(1.54)10.93820.0618。160（2）设要安装n部电话。则要使得P{X50}1(500.50.2n)1(49.50.2n)0.950.16n0.16n就要求(0.2n49.5)0.95(1.645)，即0.2n49.51.645，从而0.16n0.16n0.04n220.232964n2450.250，解出n304.95或者n201（舍去）。所以最少要安装 305部电话。19，一射手射击一次的得分 X是一个随机变量，具有分布律X 8 9 100.01 0.29pk0.701）求独立射击10次总得分小于等于96的概率。2）求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。解：根据题意，E(X)9.69，D(X)94.139.6920.2339。（1）以X1, X10分别记10次射击的得分，则精彩文案实用标准文档1010Xi96.996.9}(9696.9)P{Xi96}P{i196(0.59)0.2776i12.3392.3392.339（2）设在900次射击中得分为 8分的射击次数为随机变量 Y，则Y~B(900,0.01)。由DeMoivre-Laplace定理，计算得P{Y6}1(60.59000.01)1(1.17)0.8790。9000.010.99第四章解答完毕第5章 样本及抽样分布1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，X1,X2,X3,X4是来自总体的容量为4的样本，求（1）X1,X2,X3,X4的联合概率密度；（2）P{0.5X11,0.7X21.2}；（3）E(X),D(X)；（4）E(X1X2)，E[X1(X20.5)2]；（5）D(X1X2)。解：因为X的概率密度为f(x)2e2x，x0，所以（1）联合概率密度为g(x,x,x,x)f(x)f(x)f(x)f(x)1234123416e2(x1x2x3x4)，（X1,X2,X3,X40）（2）X1,X2的联合概率密度为2e2(x1x2)，所以精彩文案实用标准文档11.211.2P{0.5X11,0.7X21.2}4e2x12x2dx1dx22e2x1dx12e2x2dx20.50.70.50.7(e1e2)(e1.4e2.4)3）4）

14142E(X)E(Xi)1,D(X)D(Xi)111；4i1216i14216E(X1X2)E(X1)E(X2)1，（由独立性）4E[X1(X20.5)2]E(X1)E[(X20.5)2]1E[X22X21]1[E(X22)E(X2)1]24241[D(X2)E2(X2)11]1[1121]1；2242424812（5）D(X1X2)E[(X1X2)2]E2(X1X2)E(X12)E(X22)4[D(X1)E2(X1)][D(X2)E2(X2)]1(11)(11)13。16444416162，设总体X~N(75,100)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求（1）P{max(X1,X2,X3)85}，（2）P{(60X180)(75X390)}，（3）E(X12X22X32)，（4）D(X1X2X3)，D(2X13X2X3)，（5）P{X1X2148}。解：（1）PX1,X2,X3)85}PX185,X285,X385}{max({3P{X185}P{X285}P{X385}P{X185}3P{X1758575}1010[(1)]30.841330.5955；{(60X180)(75X390)}P(60X180)P(75X390)（2）PP{60X180}P{75X390}6075X1758075P{7575X3759075P{1010}1010}1010精彩文案实用标准文档P{60753759075101010}P{1010}10[(0.5)(0.5)][(1.5)(0)][(0.5)(0.5)][(1.5)(0)][2(0.5)1][0.93320.5][2(0.5)1][0.93320.5]0.3830.43320.3830.43320.6503（本题与答案不符）（3）E(X12X22X32)E(X12)E(X22)E(X32)[D(X1)E2(X1)]3[100752]31.8764 1011；（4）D(X1X2X3)E[(X1X2X3)2]E2(X1X2X3)1.87641011E6(X1)1.876410117569.662109；D(2X13X2X3)4D(X1)9D(X2)D(X3)1400；（5）因为X1X2~N(150,200)，所以P{X1X2148}(148150)1(2)10.55570.4443。200103，设总体X~ (5)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求（1）P{X1 1,X2 2,X3 3}；（2）P{X1 X2 1}。解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以P{X11,X22,X33}P{X11}P{X22}P{X33}5e525e5125e52615625e-150.000398；12{X21}{0,X21}{1,X20}（2）PX1pX1pX1e55e55e5e510e10。4，（1）设总体X~N(52,6.32)，X1,X2, ,X36是来自X的容量为36的样精彩文案实用标准文档本，求P{50.8 X 53.8}；（2）设总体X~N(12,4)，X1,X2, ,X5是来自X的容量为 5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1的概率。解：（1）根据题意得X~N(52,6.32/36)，所以P{50.8X53.8}P{50.852X5253.852}(53.852)(50.852)6.3/66.3/66.3/66.3/66.3/6(1.7143)(1.143)0.9564(10.8729)0.8293；（2）因为X~N(12,4/5)，P{X121}P{11X13}1112X141312}(1.118)(1.118)0.8686(10.8686)0.7372P{0.80.40.8所以P{X121}1P{X121}10.73720.2628。5，求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X和Y，则X~N(20,0.3)，Y~N(20,0.2)，所以XY~N(0,0.5)，P{XY0.3}1P{XY0.3}1P{0.3XY0.3}1[(0.30.3)()]0.50.522(0.42)0.6744。6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。精彩文案实用标准文档50xi74.92，s21502解：易得x1i1(xix)201.5037，s14.1952，i1n处理数据得到以下表格组限频数fi频率fi/n35.5~45.520.0445.5~55.530.0655.5~65.560.1265.5~75.5140.2875.5~85.5110.2285.5~95.5120.2495.5~105.520.04根据以上数据，画出直方图（略）7，设总体X~N(76.4,383)，X1,X2,,X4是来自X的容量为4的样本，s2是样本方差。（1）问U4(Xi76.4)2，W4(XiX)2分别服从什i1383i1383么分布，并求D(s2)。（2）求P{0.711U7.779}，P{0.352W6.251}解：（1）因为X76.4~N(0,1)，3834(Xi76.4)24Xi76.42所以，U~2(4)i1383i13834X)2而根据定理2，W4(XiX)2i1(Xi3s2~2(3)i1383383383因为D(W)D(3s2)6，所以D(s2)63832/9293378/3。383精彩文案实用标准文档（2）P{0.711 U 7.779} P{U 7.779} P{U 0.711} (1 0.1) (1 0.95)=0.85（第二步查表）P{0.352 W 6.251} P{W 6.251} P{W 0.352} (1 0.1) (1 0.95) 0.858，已知X~t(n)，求证X2~F(1,n)。证明：因为X~t(n)，所以存在随机变量Y~N(0,1),Z~2(n)使得XY，也即X2Y2，Z/nZ/n而根据定义Y2~2(1),所以X2Y2/1~F(1,n)，证毕。Z/n（第5章习题解答完毕）第6章参数估计1，设总体X~U(0,b),B 0未知，X1,X2, ,X9是来自X的样本。求b的矩估计量。今测得一个样本值 0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估计值。解：因为总体X~U(0,b)，所以总体矩E(X)b/2。根据容量为9的样19Xi。令总体矩等于相应的样本矩：E(X)X，本得到的样本矩X9i1?2X。得到b的矩估计量为b?1.69。把样本值代入得到b的矩估计值为b精彩文案实用标准文档2，设总体X具有概率密度fX(x)22(x)0x，参数未知，0其他X1,X2,,Xn是来自X的样本，求的矩估计量。解：总体X的数学期望为E(X)2x2(x)dx，令E(X)X可得的03矩估计量为 ? 3X。3，设总体X~B(m,p),参数m,p(0p1)未知，X1,X2,,Xn是来自X的样本，求m,p的矩估计量（对于具体样本值，若求得的m?不是整数，?则取与m最接近的整数作为m的估计值）。解：总体X的数学期望为 E(X) mp，D(X) mp(1 p)，二阶原点矩为令总体矩等于相应的样本矩：

(X2)(X)()2(1)。EDEXmpmppE(X)X，E(X2)A21nXi2ni1A22X?。p1X2，mXXXA24，（1）设总体X~ (), 0未知， X1,X2, ,Xn是来自X的样本，x1,x2, ,xn是相应的样本值。求 的矩估计量，求 的最大似然估计值。（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数 X~ ( )，下面是X的一个样本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求 的最大似然估计值。精彩文案实用标准文档解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为?X。nnxiexien似然函数为L(i1)n，相应的对数似然函数为xi!i1xi!i1nnlnL()lnxinlnxi!。i1i1令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为?1nx。nixi1（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为?x7.2。5，（1）设X服从参数为p(0p1)的几何分布，其分布律为PXx(1px1px1,2,。参数p未知。设x,x,,x是一个样本值，{}),12n求p的最大似然估计值。（2）一个运动员，投篮的命中率为 p(0 p 1,未知)，以X表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮 5次得到X的观察值为51749求p的最大似然估计值。n解：（1）似然函数为L(p)nxin(1p)xi1p(1p)i1pn，相应的对数i1似然函数为nlnL(p) xi nln(1 p) nlnp。i 1令对数似然函数对 p的一阶导数为零，得到 p的最大似然估计值为精彩文案实用标准文档?n1。pnxxii1（2）根据（1）中结论，p的最大似然估计值为?15。px266，（1）设总体X~N(, 2)，参数 2已知， ( )未知，x1,x2, ,xn是来自X一个样本值。求 的最大似然估计值。（2）设总体X~N(, 2)，参数 已知， 2（ 2>0）未知，x1,x2, ,xn为一相应的样本值。求 2的最大似然估计值。nn解：（1）似然函数为 L( )i1的对数似然函数为

(x)2(xi)2i11i12e2，相应e2n222n)2(xini1lnL()ln2。22令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为2）似然函数为对数似然函数为

nxi?i1x。nn(x)2(xi)2in11i1L(2)e22ne22，相应的i12222n2lnL(2)(xi)2。i12nln222令对数似然函数对 2的一阶导数为零，得到 2的最大似然估计值为?21n(xi)2。ni1精彩文案实用标准文档7，设X1,X2,,Xn是总体X的一个样本，x1,x2,,xn为一相应的样本值。（1）总体X的概率密度函数为f(x)xex/x02，0，0其他求参数的最大似然估计量和估计值。x2x/x0（2）总体X的概率密度函数为f(x)23e，0，其他0求参数的最大似然估计值。（3）设X~B(m,p),m已知，0p1未知，求p的最大似然估计值。nni1xi解：（1）似然函数为L()nxiex/eixi/，相应的对数似i12i2n1然函数为lnL()nlnxi2nlnn/。xii1i1令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为?1nx。xi2ni12相应的最大似然估计量为?X。2n2nxi/（2）似然函数为nxi2exi/xiL()3i13nei1，相应的对数似然i122函数为nnlnL()2lnxi3nln(2)xi/。i1i1令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为精彩文案实用标准文档?1nxix。3ni13（3）因为X~B(m,p),其分布律为P{Xx}Cmxpx(1p)mx,x0,1,2,mnnnp)mxinximnxi所以，似然函数为L(p)Cmxipxi(1Cmxipi1(1p)i1，i1i1相应的对数似然函数为nnnlnCmxi。L(p)lnpximnxiln(1p)i1i1i1令对数似然函数对 p的一阶导数为零，得到 p的最大似然估计值为?1nx。xipmmni18，设总体X具有分布律X123pk22(1)(1)2其中参数(01)未知。已知取得样本值x11,x22,x31，试求的最大似然估计值。解：根据题意，可写出似然函数为32225(1)，L()P{Xxi}2(1)i1相应的对数似然函数为lnL() ln2 5ln ln(1 )。令对数似然函数对 的一阶导数为零，得到 的最大似然估计值为? 5/6。精彩文案实用标准文档9，设总体X~N(,2)，Y~N(,2)，,未知，2已知，X1,X2,,Xn和Y1,Y2,,Yn分别是总体X和Y的样本，设两样本独立。试求,最大似然估计量。解：根据题意，写出对应于总体 X和Y的似然函数分别为nL( )i 1

n(X)2(Xi)2i1i1122e22，en22nnL( )i1

(Y)2(Yi)2i1i1122e22，en22相应的对数似然函数为n)2(XinlnL()i1ln2，22n)2(Yin，lnL()i1ln222令对数似然函数分别对 和 的一阶导数为零，得到X，Y算出,最大似然估计量分别为?XY，?XY。2210，（1）验证均匀分布U(0,)中的未知参数 的矩估计量是无偏估计量。（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数 Y~ ()，设Y1,Y2, ,Yn是来自总体Y的样本。①验证 Y是 的无偏估计量。②设一星期中故障维修费用为Z 3Y Y2，求E(Z)。精彩文案实用标准文档（3）验证U3Y1nYi2是E(Z)的无偏估计量。ni1解：（1）均匀分布U(0,)中的未知参数的矩估计量为?2X。由于E(?)2E(X)22，所以?2X是的无偏估计量。（2）①因为E(Y)1nE(Yi)1n，所以Y是的无偏估计量。nin1②E(Z)3E(Y)E(Y2)3(2)42。（3）因为E(U)3E(Y)1nE(Yi2)31n(2)42E(Z)，ni1n所以，U是E(Z)的无偏估计量。11，已知X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。设有估计量T11(X1X2)1(X3X4)，63T2(X12X23X34X4)/5，T3(X1X2X3X4)/4。1）指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量。2）在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？解：（1）因为E(T1)1(E(X1)E(X2))1(E(X3)E(X4))1()1()6363E(T2)(E(X1)2E(X2)3E(X3)4E(X4))/52，E(T3)(E(X1)E(X2)E(X3)E(X4))/4。所以，T1,T3是 的无偏估计量。（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出精彩文案实用标准文档D(T1)1(D(X1)D(X2))1(D(X3)D(X4))1(22)1(22)52/18369369D(T3)(D(X1)D(X2)D(X3)D(X4))/162/4D(T1)，所以，T3是比T1更有效的无偏估计量。12，以 X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计） ，设X~N( ,1296)，今取得一容量为 n 27的样本，测得其样本均值为1478，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为1的置信区间为xZ/2。n（1）的置信水平为0.95的置信区间为147812961478481.96147813.581464.42,1491.58。Z0.02527（2）的置信水平为0.90的置信区间为147812961478481.645147811.401466.60,1489.40。Z0.052713，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设X~N(,4)，今取得样本（容量为n10）：55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.461）求的最大似然估计值。2）求的置信水平为0.95的置信区间。精彩文案实用标准文档解：（1）根据已知结论，正态分布均值 的最大似然估计量和矩估计量相同： ? X。所以 的最大似然估计值为 ? x 56.8。（2）的置信水平为0.95的置信区间为56.84Z0.02556.80.41.9656.81.2455.56,58.04。1014，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从 30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.115.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.415.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8设样本来自正态总体 N( , 2)， , 2均未知。1）求,2的无偏估计值。2）求的置信水平为90%的置信区间。解：（1） , 2的无偏估计值为?x14.72，s21nx)2。(xi1.9072n1i1（2）的置信水平为90%的置信区间为xst0.05(n1)14.721.380751.699114.720.42814.292,15.148n3015，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。 在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值x 66.3分，样本标准差s 9.4分。设样本来自正态总体 N(, 2)，, 2均未知。求精彩文案实用标准文档干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95的置信区间。解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。 根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95的置信区间为xst0.025(n1)66.39.42.201066.35.9760.33,72.27。n1216，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以 ppm计）如下：13.0,18.5,16.4,14.8,19.4,17.3,23.2,24.9,20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6设样本来自正态总体 N( , 2)， , 2均未知。求 的置信水平为 0.95的置信区间。解：根据题中数据，计算可得样本均值 x 19.07，样本方差s 3.245。的置信水平为0.95的置信区间为xst0.025(n1)19.073.2452.039519.071.1717.90,20.24n3217，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设X~N(, 2)，, 2均未知。下面是 X的一个容量为n 13的样本：13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0精彩文案实用标准文档1）求2的无偏估计；2）求的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据计算可得s237.75。1）方差2的无偏估计即为样本方差s237.75。2）2的置信水平为0.95的置信区间为(n1)s2(n1)s21237.751237.75，2,2(n1),19.41,102.860.025(n1)0.97523.3374.404所以的置信水平为0.95的置信区间为(n1)s2(n1)s2102.864.406,10.142。2,2(n19.41,0.025(n1)0.9751)18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩， 随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为xA81.31，方差为s2A60.76；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为xB78.61，方差为sB248.24。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差 A B的置信水平为0.95的置信区间。解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论， 均值差 A B的置信水平为0.95的置信区间为xAxBsw11t0.025(n1n22)2.7sw11t0.025(22)n1n29152.7sw11t0.025(22)2.77.266112.07399159152.76.353.65,9.05精彩文案实用标准文档19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量 （以mg计），设X~N( X, 2X)，Y~N(Y, 2Y)， X,Y, 2X,Y2均未知。下面是两个样本0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.41.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1两样本独立。求 2X/ 2Y的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据计算可得s2X，s2Y（未完）。根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，2X/2Y的置信水平为0.95的置信区间为sX21sX21sX21sX24.30(0.148,2.446)。2,2F0.975(8,10)2,2sYF0.025(8,10)sYsY3.85sY20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设X~N(X,X)，Y~N(Y,2Y)，X,Y,222X,Y均未知。下面是分别来自X和Y的两个独立样本：15,23,12,18,9,28,11,1025,20,35,15,40,16,10,22,18,32求 2X/ 2Y的置信水平为 0.95的单侧置信上限，以及 X的置信水平为0.95的单侧置信上限。解：根据题中数据计算得到 sX2 6.82 46.24，sY2 9.6272 92.68。2X/ 2Y的置信水平为0.95的单侧置信上限为__________2XsX2146.24。2sY2F0.95(7,9)3.681.836Y92.68精彩文案实用标准文档2X的置信水平为 0.95的单侧置信上限为____(81)sX2746.242，X02.95(81)149.372.167所以，X的置信水平为0.95的单侧置信上限为____(81)sX2X149.3712.22。0.2(8951)21，在第17题中求鱼长度的均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限。解：根据单侧区间估计的结论，正态总体均值 的置信水平为 0.95的单侧置信下限为xst0.05(n1)14.716.1441.782311.67。___n1322，在第18题中求AB的置信水平为0.90的单侧置信上限。解：两个正态总体的均值差 A B的置信水平为 0.90的单侧置信上限为___________11ABxAxBswt0.1(22)2.77.2660.4221.32126.75。915（第6章习题解答完毕）第7章假设检验1，一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布 N( , 2)，均值为18分，标准差为4.62分。现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他的工作效率。 今测得以下数据：精彩文案实用标准文档21.01,19.32,18.76,22.42,20.49,25.89,20.11,18.97,20.90试依据这些数据（取显著性水平 0.05），检验假设：H0: 18, H1: 18。解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为Zx18。/n代入本题具体数据，得到20.874181.8665。Z4.62/9检验的临界值为Z0.051.645。因为Z1.86651.645，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设H0，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。2，《美国公共健康》杂志（ 1994年3月）描述涉及 20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是 38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于 38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为 7.5%。设样本来自正态总体 N(, 2)，, 2 均未知。试取显著性水平 0.05 检验假设：H0: 38.4, H1: 38.4。解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为tx38.4。s/n精彩文案实用标准文档代入本题具体数据，得到40.538.41.0844。t/157.5检验的临界值为 t0.025(14) 2.1448。因为t1.08442.1448，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为平均摄取量显著地为38.4%。3，自某种铜溶液测得 9个铜含量的百分比的观察值为 8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体 N(, 2)， , 2均未知。试依据这一样本取显著性水平 0.01检验假设：H0: 8.42, H1: 8.42。解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为x8.42。s/n代入本题具体数据，得到8.38.4214.4。t0.025/9检验的临界值为t0.01(8)2.8965。因为t14.42.8965（或者说t14.42.8965），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设 H0，即认为铜含量显著地小于 8.42%。4，测得某地区 16个成年男子的体重（以公斤计）为77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.2069.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47设样本来自正态总体N(,2)，,2均未知，试取0.05检验假设：H0:72.64,H1:72.64。解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，精彩文案实用标准文档检验统计量为tx72.64。s/n代入本题具体数据，得到t72.66872.640.0134。8.338/16检验的临界值为t0.025(15)2.1315。因为t0.01342.1315，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。5，一工厂的经理主张一新来的雇员在参加某项工作之前至少需要培训200小时才能成为独立工作者，为了检验这一主张的合理性，随机选取10个雇员询问他们独立工作之前所经历的培训时间（小时）记录如下208，180，232，168，212，208，254，229，230，181设样本来自正态总体N(,2)，,2均未知。试取0.05检验假设：H0:200,H1:200。解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为x200。s/n代入本题具体数据，得到t210.2200。1.182427.28/10检验的临界值为t0.05(9)1.8331。因为t 1.1824 1.8331，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原精彩文案实用标准文档假设H0，即认为培训时间不超过 200小时。6，一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000（小时2），为了检验这一主张，随机地取 26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总体。现需取0.02检验假设H0:25000,H1:25000。解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。检验统计量为2(n1)s2。5000代入本题中的具体数据得到2(261)720036。5000检验的临界值为02.01(25)44.313。因为 2 36 44.313，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H0，即认为电池寿命的方差为 5000小时2。7，某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差1.66，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136设样本来自正态总体 N( , 2)， , 2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取0.05）：H0:21.662,H1:21.662。解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。检验统计量为精彩文案实用标准文档2(n1)s2。1.662代入本题中的具体数据得到2(101)12。1.66239.193检验的临界值为2(9)19.022。0.025因为 2 39.193 19.022，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H0，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为 1.66。8，设X是一头母牛生了小牛之后的 305天产奶期内产出的白脱油磅数。又设X~N(, 2)， , 2均未知。今测得以下数据：425，710，661，664，732，714，934，761，744，653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975试取显著性水平 0.05检验假设H0: 140, H1: 140。解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设H0:21402,H1:21402这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。检验统计量为2(n1)s2。1402代入本题中的具体数据得到2(251)23827.4929.177。1402检验的临界值为02.05(24)36.415。因为 2 29.177 36.415，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H0，即认为标准差不大于 140。精彩文案实用标准文档9，由某种铁的比热的9个观察值得到样本标准差s0.0086。设样本来自正态总体N(,2)，,2均未知。试检验假设（0.05）H0:0.0100,H1:0.0100。解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设H0: 2 0.01002, H1: 2 0.01002这是一个正态总体的方差检验问题，属于左边检验。检验统计量为2(n1)s2。20.01代入本题中的具体数据得到2(91)0.00862。0.0125.9168检验的临界值为02.95(8)2.733。因为 2 5.9168 2.733，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H0，即认为标准差不小于 0.0100。10，以X表示耶路撒冷新生儿的体重（以克计），设X~N(, 2)，, 2均未知。现测得一容量为 30的样本，得样本均值为 3189，样本标准差为488。试检验假设（0.1）：1）H0:3315,H1:3315。2）H'0:525,H'1:525。解：（1）这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为精彩文案实用标准文档x3315。s/n代入本题具体数据，得到318933151.4142。t30488/检验的临界值为t0.1(29)1.3114。因为t1.41421.3114，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设H0，即认为3315。（2）题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设H'0: 2 5252, H'1: 2 5252这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。检验统计量为2(n1)s2。5252代入本题中的具体数据得到2(301)4882。525225.0564检验的临界值为02.05(29)42.557。因为 2 25.0564 42.557，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不大于 525。11，两个班级A和B，参加数学课的同一期终考试。分别在两个班级中随机地取9个，4个学生，他们的得分如下：A班 65 68 72 75 82 85 87 91 95B班 50 59 71 80设A班、B班考试成绩的总体分别为 N( 1, 2)，N(2, 2)，1, 2, 2均精彩文案实用标准文档未知，两样本独立。试取 0.05检验假设H0: 1 2, H1: 1 2。解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于右边检验。检验统计量为xA xB 0tsw

1 1n1 n2代入本题中的具体数据得到80650。t12.2111.3194检验的临界值为t0.05(11)1.7959。因为t2.211.7959，所以样本值落入了拒绝域，因此拒绝原假设，即认为A班的考试成绩显著地大于B班的成绩。12，溪流混浊是由于水中有悬浮固体，对一溪流的水观察了26天，一半是在晴天，一半是在下过中到大雨之后，分别以X,Y表示晴天和雨天水的混浊度（以NTU单位计）的总体，设X~N(1,2)，Y~N(2,2)，1,2,2均未知。今取到X和Y的样本分别为2.9,14.9,1.0,12.6,9.4,7.6,3.6,3.1,2.7,4.8,3.4,7.1,7.27.8,4.2,2.4,12.9,17.3,10.4,5.9,4.9,5.1,8.4,10.8,23.4,9.7设两样本独立。试取 0.05检验假设H0: 1 2, H1: 1 2。解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于左边检验。检验统计量为精彩文案实用标准文档xy0t11swn1n2代入本题中的具体数据得到6.1779.4770。t11.6675.047113 13检验的临界值为 t0.05(24) 1.7109。因为t 1.667 1.7105，所以样本值没有落入拒绝域，因此接收原假设，即认为雨天的混浊度不必晴天的高。13，用包装机包装产品，将产品分别装入包装机上编号为1~24的24个注入口，奇数号的注入口在机器的一边，偶数号的在机器的另一边。以X,Y分别表示自奇数号和偶数号注入口注入包装机的产品的质量（以g计）。设X~N(X,2)，Y~N(Y,2)， X,Y,2均未知。在总体X和Y中分别取到样本:X:1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,1075Y:1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075设两样本独立。试检验假设 H0:1 2, H1: 1 2( 0.10)。解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于双边检验。检验统计量为x y 0tsw

1 1n1 n2精彩文案实用标准文档代入本题中的具体数据得到1076.751072.330。115.271212检验的临界值为t0.05(22) 1.7171。因为t 2.0546 1.7171，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为产品均值有显著差异。14，测定家庭中的空气污染。令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以g/m3计）。设X~N(X,X2)，Y~N(Y,Y2)，X,Y,X2,Y2均未知。今取到总体X的容量n19的样本，算得样本均值为x=93，样本标准差为sX12.9；取到总体Y的容量为11的样本，算得样本均值为y=132，样本标准差为sY7.1，两样本独立。（1）试检验假设(0.05)：H0:X2Y2,H1:X2Y2。（2）如能接受H0，接着检验假设(0.05)：H'0:XY,H'1:XY。解：（1）这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验。检验统计量为FsX2sY2代入本题中的具体数据得到F12.923.301。7.12检验的临界值为F0.025(8,10)3.85,F0.975(8,10)1。因为0.23264.30.2326<F 3.，3所以样本值没有落入拒绝域， 因此接受原假设，即认为两总体方差相等。2）因为两总体方差相等，所以这是一个方差相等的两个正态总体的均值之差的检验问题，属于左边检验。检验统计量为精彩文案实用标准文档xy0t11swn1n2代入本题中的具体数据得到931320。1110.1119检验的临界值为t0.025(18) 2.1009。因为t 8.5929< 2.1009，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为有吸烟者的房间悬浮颗粒显著大于没有吸烟者的房间。15，分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为 n1 7,n2 10的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为s129201,s224856。设两样本独立，两总体分别为X~N(1,12)，Y~N(2,22)分布，1,2,12,22均未知。试检验假设(0.05)：H0:1222,H1:1222。解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于右边检验。检验统计量为Fs12s22代入本题中的具体数据得到F9201。1.89484856检验的临界值为F0.05(6,9)3.37。因为F1.89483.37，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个总体的方差大。16，在第13题中检验假设（取0.05）H0:X2Y2,H1:X2Y2。精彩文案实用标准文档以说明在该题中我们假设22XY是合理的。解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验。2检验统计量为 F sX2，代入第13题中的具体数据得到sYF29.2951.1163。26.242检验的临界值为F0.025(11,11)3.48,F0.975(11,11)1。因为0.28743.480.2874<F1.11633.48，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两总体方差相等。17，将双胞胎分开来抚养，一个由父母亲自带大，另一个不是由父母亲自带大。现取14对双胞胎测试他们的智商，智商测试得分如下，双胞胎序号父母亲代大非父母带大

xiyi

1 2 3 4 56 7 8 9 101112131423312518192528182528221434362231292428312715232726193028设各对数据的差DiXiYi(i1,2,14)是来自正态总体N(D,D2)的样本，D,D2均未知。问是否可以认为在两种不同的环境中长大的孩子，其智商得分是不一样的。即检验假设H0:D0,H1:D00.05）（取解：本题要求一个基于成对数据的检验，双边检验。检验统计量为D0tsD/n代入本题中的具体数据得到100.7895t144.74/检验的临界值为t0.975(13)2.1604。因为t0.78952.1604，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两种环境中长大的孩子精彩文案实用标准文档智商没有显著差异。18，医生对于慢走是否能降低血压（以 Hg-mm计）这一问题的研究感兴趣。随机地选取 8个病人慢走一个月，得到以下数据。病人序号12345678慢走前慢走后

xiyi

134122118130144125127133130120123127138121132135设各对数据的差 Di Xi Yi(i 1,2, 8)是来自正态总体 N( D,D2)的样本，D,D2均未知。问是否可以认为慢走后比慢走前血压有了降低。即检验假设H0:D0,H1:D0（取0.05）。并求D的置信水平为0.95的置信区间。解：本题要求对一组成对数据进行 t检验，且为右边检验。检验统计量为tD0。sD/n代入本题中的具体数据得到0.87500.5768t84.29/检验的临界值为t0.025(7)2.3646。因为t0.57682.3646，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为慢走对于血压的下降没有显著效果。D的置信水平为0.95的置信区间为t0.025(7)sD)(0.8752.3646(D4.29)(0.8753.587)。8819，统计了日本西部地震在一天中发生的时间段，共观察了527次地震，这些地震在一天中的四个时间段的分布如下表精彩文案实用标准文档时间段0点—6点6点—12点12点—18点18点—24点次数123135141128试取 0.05检验假设：地震在各个时间段内发生时等可能的。解：根据题意，要检验以下假设：H0:地震的发生时间在（0，24）内是均匀分布的检验统计量为24fi2n，其中pi6/240.25。npii1代入本题中的数据得到212321352141212825270.255271.417，检验的临界值为20.05(41)7.815。因为21.4177.815，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为地震在各个时间段内发生时等可能的。20，美国《教育统计文摘》1993年版给出该国 18岁或以上的人持有学士或更高学位的年龄分布如下年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上百分比52930161010在阿拉斯加州随机选择 500个18岁或以上的持有学士或更高学位的一项调查给出如下数据年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上人数30150155753555试取 0.1检验该地区年龄分布是否和全国一样。解：根据题意，要检验以下假设：精彩文案实用标准文档H0:阿拉斯加州的年龄分布律为年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上概率0.050.290.300.160.100.10检验统计量为26fi2n。所需计算列表如下：i1npiAifipinpifi2/(npi)A1300.052536A21500.29145155.172A31550.30150160.167A4750.168070.313A5350.105024.5A6550.105060.526fi2506.6525006.