专题六 第1讲 概率(Word教参)-高考数学二轮专题复习

专题六概率与统计第1讲概率命题角度素养清单真题示例典例回顾求古典概型的概率数学运算直观想象2021·全国甲，102020·全国Ⅰ，42019·全国Ⅱ，41.(2021·全国甲)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8求几何概型的概率数学运算直观想象2021·全国乙，72.(2021·全国乙)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))随机取1个数，则取到的数小于eq\f(1,3)的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)1.C解析将3个1和2个0随机排成一行，所有的排列方法为00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种，其中2个0不相邻的排列方法为01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种，故2个0不相邻的概率为eq\f(6,10)＝0.6.故选C项．2．B解析设事件Ω为“在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))随机取1个数”，事件A为“取到的数小于eq\f(1,3)”，由题意可知，事件Ω对应的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))，事件A对应的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,3)))，所以P(A)＝eq\f(lA,lΩ)＝eq\f(\f(1,3)－0,\f(1,2)－0)＝eq\f(2,3).故选B项．题型一随机事件的概率1．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.2．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件．1．某校高三(1)班50名学生参加1500m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是()A．0.14 B．0.20C．0.40 D．0.60A解析由于23人成绩为A，故抽得C的概率为1－eq\f(23,50)－0.4＝0.14.故选A项．2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．454石B解析由题意可知这批米内夹谷约为1534×eq\f(28,254)≈169(石)．故选B项．3．(2019·北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如表所示．支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解析(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．题型二古典概型1．古典概型的概率公式为P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这就需要正确列出基本事件，表示基本事件的常用方法有列举法、列表法和树状图法．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．2．求古典概型概率的步骤(1)反复读题，收集题中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．(2020·全国Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)A解析从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故选A项．5．(2020·江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．解析列表如下.第一次和第二次123456123456723456783456789456789105678910116789101112点数的和共有36种等可能情形，其中和为5的共有4种情形，由古典概型的概率公式可得点数和为5的概率P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案eq\f(1,9)6．(2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表所示，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解析(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).题型三几何概型几何概型的概率公式为P(A)＝eq\f(构成事件A的区域,试验的全部结果所构成的区域).当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)B解析设午觉醒来时距下一个整点x分钟，则0≤x≤60，他等待的时间不多于15分钟时0≤x≤15，根据几何概型可知等待的时间不多于15分钟的概率P＝eq\f(15,60)＝eq\f(1,4).故选B项．8．(2021·甘肃民乐一中月考)“黄金螺旋线”是利用黄金比例作出的一条曲线，“黄金螺旋线”符合人类潜意识里的审美观．如图，名画《蒙娜丽莎》整个画面的主体位置就在“黄金螺旋线”的中心，使其更具有视觉美感．现图中有边长为1个单位的小正方形方格，“黄金螺旋线”之内包含的区域面积约为45平方单位，现从矩形范围中随机取一质点，则该质点取自“黄金螺旋线”包含的区域内的概率约为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)B解析由题意可知该矩形的面积为6×10＝60(平方单位)，所以P＝eq\f(45,60)＝eq\f(3,4).故选B项．9．如图，在以AE＝2为直径的半圆周上，B，C，D分别为弧AE的四等分点．在弧AE上随机取一点P，则满足eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影大于eq\f(\r(2),2)的概率为________.解析由题意可知|eq\o(OP,\s\up6(→))|cos∠AOP>eq\f(\r(2),2)，则0≤∠AOP<eq\f(π,4)，所以使得eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影大于eq\f(\r(2),2)的概率P＝eq\f(\f(π,4),π)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)1．从甲、乙、丙、丁4名员工中随机抽取2人出席公司会议，则甲被抽中的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)C解析依题意，从4人中随机抽取2人，所有的情况为(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6种，其中满足条件的情况为(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，共3种，故所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故选C项．2．箱子里有大小相同且编号为1,2,3,4,5的五个球，随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)B解析“从编号为1,2,3,4,5的五个球中，随机取出两个球”包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个基本事件，其中满足“这两个球编号之差的绝对值为3”的基本事件有(1,4)，(2,5)，共2个基本事件，所以“这两个球编号之差的绝对值为3”的概率是eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故选B项．3．星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1,10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)D解析由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选D项．4．中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫，取意后天八卦中的九星方位图．现有一张中国象棋棋盘如图所示．若在该棋盘矩形区域内(其中楚河—汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，该点取自九宫内的概率是________.解析设每个小正方形的边长为1，则棋盘的总面积为72，两个九宫的面积为8，所以若在棋盘内随机取一点，该点取自九宫内的概率P＝eq\f(8,72)＝eq\f(1,9).答案eq\f(1,9)5．在某区2021年教师招聘考试中，参加A，B，C，D四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到