物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧一、总论1、动态平衡问题的产生一一三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动......2、动态平衡问题的解法一解析法、图解法解析法一一画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法一一画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。3、动态平衡问题的分一动态三角形、相似三角形、圆与三角形(2类)、其他特殊类型二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为％］，球对木板的压力大小为％2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中TOC\o"1-5"\h\zFN］始终减小，FN2始终增大汉FN］始终减小，FN2始终减小|fn1先增大后减小，fN2始终减小冬!FN］先增大后减小，FN2先减小后增大卯解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出fN］、fN2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；【解析】小球受力如图，由平衡条件，有Fsin0-mg=0Fcos讨论；【解析】小球受力如图，由平衡条件，有Fsin0-mg=0Fcos0一F=0联立，解得:fn2=mg

sinoF=N1mgtan0木板在顺时针放平过程中，0角一直在增大，可知fN］＞fN2都一直在减FN]选B。解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和fN］的方向，然后按FN2方向变化规律转动fN2,即可看出结果。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形.F成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，FN］的方向始终水平向右，mg］if「-NLff而fN2的方向逐渐变得竖直。―、FN］则由右图可知fN］、fN2都一直在减小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为《(0＜«＜］)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平地面的夹角为0，如图所示，在0从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则，".A.F先减小后增大B.F一直增大诙一C.F一直减小D.F先增大后减小:"L解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出F随夹角0变化的函数，然后由函数讨论;【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有F+Fsin9一mg=0F=pFfNPmg解得：F=—cos9+psin9PmgN

其中联立，Fcos9-Ff=0由数学知识可知F=、1+p2cos(9—a)1其中tana=—P当9=a=arctan—时，f最小，则e从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大。选Ao解法二：图解法一一可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。【解析】小球受力如图，将支持力Fn和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合，由Ff=—F可知，tanP=—。由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F合的方向始终与竖直方向成&角。则由右图可知，当e从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大。2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行一相似三角形【例2】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力Fn和绳对小球的拉力Ft的大小变化的情况是A、Fn变大，「变小C、Fn变小，Ft先变小后变大解法一：解析法丁(略)B、Fn变小，「变大D、Fn不变，%变小解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与成OO'的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形AAOOr相似。则有。mgFF

=-^=-^

R+hRL其中，mg、R、h均不变，2逐渐减小，则由上式可知，FN不变，F变小。3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定圆与三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置。，这时两绳套AO,BO的夹角小于90°，现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角变小，那么要使结点仍在位置。，就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及P角，则下列调整方法中可行的是A、增大B的拉力，增大&角C、增大B的拉力，减小&角解法一：解析法（略）解法二：图解法一一画受力分析图B、D、增大B的拉力，&角不变B的拉力大小不变，增大&角构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”——保持长度不变FA将FA绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，FB的一个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。，广一’一「【解析】如右图，BO的夹角小于90°,fa、fb的顶角为钝角fa、fb的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。由图可知，这个过程中fb一直增大，但&角先减小，再增大。故选ABC。由于两绳套AO、在力的三角形中，当顺时针转动时，4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变——圆与三角形（正弦定理）【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角e=120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90。，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1，CB绳的拉力fT2的大小变化情况是A、FT1先变小后变大B、FT1先变大后变小C、FT2一直变小D、FT2最终变为零解法一：解析法1——让整个装置顺时针转过一个角度a,画受力分析图平竖直分解，由平衡条件列方程，解出FTi、FT2随a变化的关系式，然后根据的变化求解。【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC绳与竖直方向夹角为a，则由平衡条件，有Fcos以+Fcos（0—以）-mg=0Fsin以一Fsin（0—以）=0联立，解得F_mgsin（0—以）tisin0，a从90°逐渐减小为0。，mgsin以Ft2sin0则由上式可知：fT1先变大后变小，fT2一直变小。解法二：解析法2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FTi、FT2的夹角（180°—e）保持不变，设另外两个夹角分别为a、&,写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据a、&的变化规律得到FT1、FT2的变化规律。【解析】如图，由正弦定理有mgFF

=——T^=——T2-

sin（『0）sin以sinPFmgeFT2整个装置顺时针缓慢转动90°过程的中e角和mg保持不FT1变，a角从30°增大，&角从90°减小，易知FT1先变大后变小，FT2一直变小。解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角（180。一e）保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按ft1、fT2的方向变化规律滑动，即可看出结果。■,【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的fT2为直径的圆周，易'知fT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，fT2一直变小。mgmg'T5、其他类型【例5】如图所示.用钢筋弯成的支架，水平虚线MN的上端是半圆形，MN的下端笔直竖立.一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从。点处沿支架缓慢地向最高点B靠近（。点与A点等高），则绳中拉力MA.先变大后不变B.先不变后变大C.先不变后变小D.保持不变解法一：解析法一一分两个阶段画受力分析图，绳端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知这个夹角保持不变，则易看出结果;在NB段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。（解析略）解法二：图解法——画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的变化规律。【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形。由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选C。BNACGFiFt=G、/三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力FN的变化情况是（）A.F增大，Fn减小C.F减小，Fn减小B.F增大，Fn增大【解析】小球受力如图，由平衡条件可知其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而Fn的方向逐渐变得水平。则由上图可知F、Fn都一直在增大。故D正确2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（）A.BC绳中的拉力Ft越来越大C.AC杆中的支撑力Fn越来越大将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，B.BC绳中的拉力Ft越来越小D.AC杆中的支撑力Fn越来越小/■N【解析】C点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与AABC的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形AABC相似。则有。GFF=―=―TABACBC其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，Fn不变，Ft变小。D正确3、质量为M、倾角为9的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（）A.小木块受到斜面的最大摩擦力为yF2+（mgsin0）2小木块受到斜面的最大摩擦力为F-mgsin9斜面体受到地面的最大摩擦力为FD.斜面体受到地面的最大摩擦力为Fcos9【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分量mgsin0始终不变，其与F和Ff构成一个封闭的三角形，当F方向变化时可知当F与mgsin0方向相反时Ff最大，其值为F+mgsin9。对于C,D选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力F水平向左时摩擦力最大值为F。故D正确。4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，。为圆心.对圆弧面的压力最小的是A.a球B.b球C.c球D.d球【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同，fn1方向始终指向圆心，fN2方向始终垂直于FN1，这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从a位置到d位置FN1与竖直方向夹角在变小，做出里的动态三角形，易得a球对圆弧面的压力最小。A正确。5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材.如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点.由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，B.但两悬挂点仍等高.座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（）【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到则绳中张力F1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力F始终为零。选A。6、如图所示，在倾角为。的固定粗糙斜面上，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为任，且《<B.但两悬挂点仍等高.座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（）【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到则绳中张力F1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力F始终为零。选A。6、如图所示，在倾角为。的固定粗糙斜面上，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为任，且《<tan0，求力F的取值范围。【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力Ff和弹力Fn合成为一个力F合，则F合的方向允许在Fn两侧最大偏角为a的范围内其中tana=^。将这三个力按顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为F合的方向允许的变化范围。由图可知：mgtan（0一以）<F<mgtan（0+以）sin0-日cos0厂sin0+日cos0即：n汗mg<F<mgcos0+日sin0cos0+日sin07、如