幂函数的定义

关于幂函数的定义第一页，共十一页，2022年，8月28日预备知识幂的概念的推广正比例函数的概念及其性质反比例函数的概念及其性质二次函数y＝ax2的概念及其性质重点幂函数的概念、定义域和值域几个特殊指数的幂函数的图象及性质难点幂函数的定义域、值域幂函数的图象及性质学习要求了解幂函数的概念会求幂函数的定义域和值域理解几个特殊指数的幂函数的图象及性质能根据幂函数的性质比较同底幂的大小第二页，共十一页，2022年，8月28日

设当年人口为12亿，如果人口的年净增率是5.3‰，那么到

25年后，人口总数y为

y=12(1+0.0053)25=121.005325，(1)现在想知道，不同的年净增率对25年后总人口数y大小的影响，年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，不妨用p来表示它．不同的p，计算y的公式是y=12(1+p)25．以x表示量1+p，上式成为

y=12x25．(2)我们知道x25是x的25次幂，只是现在(2)中的x不是常数，而是一个变量，那么它是什么呢？引入：第三页，共十一页，2022年，8月28日1．幂函数的定义对每一个x1，x25是一个幂；随着x的变化，幂的大小也发生变化。对每一个确定的x，x25有唯一确定的值与之对应，因此x与x25之间具有函数关系．这种类型的函数关系，叫做幂函数．

幂函数的一般形式是y=x，其中x是自变量，叫做幂指数(0)，幂指数是常量．幂指数仅有一个限制：0，即可以取任意不等于零的确定的实数值．第四页，共十一页，2022年，8月28日2.幂函数的定义域和值域我们先来考察几个具体幂函数的例子．例1

求下列幂函数的定义域和值域：

(1)y=；(2)y=；(3)y=分析根据有理指数幂的定义当>0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表:第五页，共十一页，2022年，8月28日qpa允许取值范围ap值值的范围

＞0奇数偶数(-,+)[0,+)[0,+)奇数(-,+)(-,+)偶数

奇数[0,+)[0,+)[0,+)解(1)因为指数>0，且指数的分母、分子均为奇数，对照上表，即知其定义域为(-,+)，值域为(-,+)；第六页，共十一页，2022年，8月28日(2)因为指数>0，且指数的分母为奇数，分子为偶数，对照上表，即知其定义域(-,+)，值域为[0,+)；(3)因为指数>0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对照上表，即知其定义域[0,+)，值域为[0,+)．当<0时，只要把上表中把a允许取值范围及去掉0，其余不变．值的范围例2

求下列幂函数的定义域和值域：(1)y=；(2)y=x

-2；(3)y=．第七页，共十一页，2022年，8月28日分析根据有理指数幂的定义，当＜0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表：qpa允许取值范围ap值值的范围

＜0奇数偶数(-,0)(0,+)(0,+)(0,+)奇数(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)偶数奇数(0,+)(0,+)(0,+)第八页，共十一页，2022年，8月28日解

(1)因为指数-<0，且指数的分母、分子为奇数，对照上表知其定义域为(-,0)(0,+)，值域为(-,0)(0,+)；(2)因为指数-2<0，且指数的分母为奇数(分母为1，作为奇数)，分子为偶数，对照上表并注意去掉0，即知其定义域为(-,0)(0,+)，值域为(0,+)；(3)因为指数-＜0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对照上表知其定义域为(0,+)，值域为(0,+)．对其它的幂函数y=x，当为有理数来确定它的定义域和值域．时，可仿例1、例2第九页，共十一页，2022年，8月28日课内练习11.确定下列幂函数的定义域和值域.(1)y=x3；(2)y=x-2；(3)y=x3/4；