可能性的大小教学实录与评析(《新世纪小学数学》2006第2期)

追问:向青草更青处漫溯_____________“可能性的大小”教学实录及思考张红（海淀教师进修学校）执教张丹（北京教育学院）评析缘起研究这节课的起因是我看到一篇“可能性的大小”的教学实录。教师首先引导学生由浅入深地研究如何用数表示可能性的大小，接着讨论如何设计活动方案。从课始到最后，教师的关注点一直放在如何用数表示上。我当时的直觉就是这样的教学适合研究确定性现象，研究不确定现象好象缺少了什么。我一直在问自己:用数表示可能性的大小和用数表示其它事物的大小“味道”有什么不同?这节课的“魂”到底在哪里?在问题的趋动下，我开始了这节课的设计。在设计的过程中，我发现磕磕绊绊的地方比较多，解决这个磕磕绊绊的过程就是一个认识不断提高的过程。一个环节下来，我会不断有新的问题来问自己，这些问题就成了这节课的问题链。在不断追问反思的过程中，这节课的线索也逐渐明晰:学习用数表示可能性大小的必要性是什么?为什么实验的结果和推理的结果不一致?既然我们预先不能知道确切结果，只知道可能性的大小有什么用?如何用数表示可能性的大小?如何应用与拓展?由此，我确定了这节课的学习路径:让学生经历猜测、推理、实验验证、反思、应用、拓展的学习历程，培养学生不断追问求证的学习态度。我在想，为什么会有这么多的曲曲折折，也许是因为我们已经习惯了不变，不习惯在变化中学习、交流、选择和判断吧。教学实录片段在与学生轻松地谈论他们生活中的抽奖活动后，我引入了下面的情境：片段1：探讨如何用数表示可能性的大小，体会用数表示的必要性师：假如两个活动奖品一样，只让你参加其中一个，你会选择哪一个？为什么？（学生商量了一会儿）生1：老师，我选摸球的那个。师(微笑着指指全体同学)：不要说老师我选什么，请面对我们大家说，好吗？生1(侧过身子，眼光不仅面对老师，也注意和更多的同学交流)：我选摸球的那个，因为摸球的中奖率会稍微大一些。师：（指摸球活动图）你认为这种中奖率会稍微大一点，问问大家同意你的意见吗？（有4个同学举起手）师：有这些支持者，其他同学有什么意见？生2：我选转盘，因为那个只有4个选项，中奖率高一些。师：你统计一下，支持你的有多少人？（绝大多数同学举手）师：同学们有两种不同意见，这样吧，我就当一次记者，现场采访一下。请问：为什么说转盘的中奖率高？生1：因为转盘是4个选出一个来，中奖率就比那个摸球的高一些。摸球那个里面有好几个黄球，只有一个白球。也就是中奖率不是那么大。师：不是那么大是多大？能说服大家吗?生2：转盘的中奖率是25%，摸球的中奖率是14%，25%大于14%，所以转盘的中奖率高。师：25%怎么来的呀？生2：100除以4，如果把转盘看成100的话，它就占，就用100除以4。师（笑）：同意吗?(有学生摇头)100除以4竟然能得到25%？生：100%除以4。师：好。接着看，想，如果我把转盘转一下，停下来，指针可能会停到什么地方？谁来说说？可能会停在哪呢？生1：可能会停在恭喜中奖那里。生2：根据地球引力，指针会停在下面那里，就是恭喜中奖（笑声）。师：我告诉大家，地球确实有吸引力，但是这个影响不大，可以忽略不计。我们不考虑地球引力了，再想。生3：都有可能，因为每个都占25%。师（指图）：也就是说可能停在这，也可能停在其他的地方，是吧？所以说：会有几种可能？生：4种。师：指针可能会停在什么地方我们能事先确定吗？生：不能。师：停在这四个地方的机会一样大吗？生：一样。师：你怎么看出来的？生：因为每一种在圆盘里面占的面积都是一样的。师：哦，每个区域大小都是一样的，是这样吗？生：是。师：这样的话，指针停到每一个区域的可能性都是相等的。（板书：可能性相等）师：那转盘中奖的可能性就是————生：1/4。(板书)师：咱们再研究研究这个，摸球中奖的可能性是多少？你是怎么想的？……师：现在我再统计一下，还有没有选择摸奖的？（有一个同学举手）师：还有一个孩子，为什么你想摸球？生：因为中奖率还是挺大的吧？师：他觉得中奖率还挺大。那它俩比谁大？生：转盘。师：你选摸球，选择什么是你的自由，你喜欢也可以。也有的孩子说摸球比较刺激，我喜欢这样做，可以的。师：还有没有问题？生：我觉得转盘中奖的可能性是1/5，因为也有可能转到中间的那条白线上。（听课老师笑）师：这个孩子真善于观察，他看到那条线了。我把那条线给调出来（师返回原来的画面），如果指针转到这条线上，你们觉得用1/5表示合理吗？为什么？生1：不合理，因为它有四条线。(听课老师笑)生2：因为线的面积和中奖的面积不一样大。师：是不一样大。假如转到线上了，我们怎么来裁判？（生思考）张老师建议我们做个补充规定，转到这道线上就再转一次，行吗？生：行!师：现在意见一致了，如果只考虑能不能中奖，就选中奖可能性大的进行活动。今天我们一起研究可能性的大小。（板书课题：可能性的大小）（在得到中奖的概率后，我们进入了实验验证的活动）片段2：实验验证、反思，体会用数表示可能性大小的合理性师：如果摸球的话，摸到白球的可能性是——（生：1/8）。好，现在我往这个盒子里面放球，注意看呀（师放球7黄1白，生数着2个、4个、6个、8个），现在我问大家，假如摸24次，按照刚才的推理，会摸到几个白球？（一两个学生说摸到3个，有的说不一定，有的说肯定能摸到白球）师：按照刚才的推理，应该摸到3个白球才对呀，怎么有同学说不一定呢？生1：因为摸球的时候很难按照1、2、3、4、5、6、7、8这个顺序来摸，可能你摸到的是6号球，放进去再拿出来还是6号球，这样摸到白球的可能性就小了。师：刚才她说了一大段话，实际上告诉我们球是任意放的，摸到哪个球结果太不确定了。是这样的吗？(学生点头称是)师：那摸到白球的次数是否一定是总次数的1∕8呢?大家意见不一致了，怎么办？看来需要实验验证一下。在做实验之前，大家先看看实验要求。生：摸球实验要求1、轮流摸球，摸球前先将盒子摇一摇，每人每次只摸一个球，再放回盒中。2、每组共摸球24次，统计摸到白球次数，并写出摸到白球次数占总次数的几分之几。师：什么叫摸球？看不看？生：不看。师：哦，不看。我这叫看不看？有人这样，你看（教师做偷看的动作），最后得出的结果和实实在在摸出的结果不一样；还有的小组合作，一个人摸的时候由其他人指挥着，往这摸，往那摸，这样好不好？(生摇头说不好)师：这就不真实了，是吧？实验一定要做到真实、科学。我们待会还要考察哪一组合作得好，实验的速度快！结果出来之后，把它写在黑板的角上。注意：各组小组长一会上来领盒子，速度快的小组，试验完了，小组长上来放盒子，写数据。其他同学思考：我们得到的数据跟我们刚才推理的数一样吗？这是怎么回事？好，组长来领盒子，请同学们抓紧时间。（生领盒子，进行实验，教师走到学生中间观察了解学生实验情况，学生兴致很高，有的组摸到白球，学生会兴奋地叫起来）（一个学生说时间到，最后两个小组组长写结果。黑板上出现了3/24、6/24、3/24、0/24、3/24、9/24、1/24、2/24、6/24）师：好了，看我写个词：推理。刚才我们推理得到的结果是：摸到白球次数占总次数的1/8。也就是24分之几呀？生：3/24。师：现在我们把大家实验得到的数和我们推理的结果比较一下，你有什么想法？生1：我们的推理不准确。生2：并不是推理不准确，而是这个说的是可能性的大小，不一定是1/8。生3：可能是我们比较幸运，所以摸到的白球比较多。师：刚才有的同学怀疑我们的推理不准确，有的说我们研究可能性，就不一定是1/8，还有同学用到了幸运这个词。刚才几位同学的发言，都说明大家意识到我们研究的现象是一种什么样的现象？（板书：不确定现象）。你任意摸一次，很难预料你摸到的是什么结果。对吧？那我们刚才摸了24次，这个结果怎么还是不能确定呢？我们的推理真得有问题吗？这样的困惑还真是很多，不仅摸球的时候有，抛硬币的时候也有。（师抛硬币），我任意抛了一枚硬币，大家说，正面朝上的可能性是多少？生：1/2。师：1/2是吗？但是小明实验了30次，有10次正面朝上，他一个劲地问我这是怎么回事呀？大家想不想知道是怎么回事？生：想！师：好，注意看，想想这是怎么回事？（课件出示：同学所做的掷硬币实验的数据：小明实验了30次，有10次正面朝上；历史上的数学家所做的掷硬币实验的数据：布丰实验了4040次，德·摩根实验了4092次，费勒实验了10000次，皮尔逊第一次实验了12000次，第二次实验了24000次，罗曼诺夫斯基实验了80640次，统计结果，正面出现的次数都非常接近总次数的1/2。）(学生边看，边轻轻地感叹)师：知道这是怎么回事了吗？生：因为我们实验的次数太少了。如果多实验几次，那结果就会非常接近1/2。师：谁听明白他的话了？谁想再说一说？生：我们实验的次数太少了，如果我们实验的次数多一点，这个结果就可能会接近1/2。师：大家是不是都听清楚了？好了，我们看，他刚才说“非常接近”是不是就正好是1/2呀？生：不是。师：实验数据说明:当实验次数足够多的时候，这个值就稳定在我们推理得到的这个值左右。师：我们通过刚才的实验验证，（板书：实验验证）开始怀疑最初的推理，后来我们通过查资料，分析数据，发现什么了？生：问题是实验次数太少了。师：次数太少，我们可以再试验或者把实验的次数加一加。将来大家还会进一步研究，还有机会在计算机上做成千上万次的实验。好，现在通过反思我们知道了(板书：反思)我们可以把推理得到的值作为预测的值进行判断。但现在问题又来了，不管事情出现的可能性是大还是小，事情出现什么结果事先根本不能确定，那我知道可能性的大小有什么价值？生：就像刚上课时，我们摸彩，我们就可以知道哪种彩票中奖的可能性更大一些。师：对，摸彩的时候可以用到。其实生活中还有很多时候都能用到。比如：两个厂生产同一种产品，价格等其它条件都一样，甲厂生产的产品有10/100返修，乙厂生产的产品有1/100返修。大家想一想，你选择去哪个厂买产品？生1：我会去乙厂买，因为甲厂的产品拿回去修的机率比较高，乙厂的机率比较小。师：同意他的意见吗？(生点头)生2：现在买东西要求质量要高，乙厂是100个产品会有1个返修的，甲厂呢，100个产品会有10个返修，所以要买一个质量高的回家。师：同意他的意见吗？生：同意。师：我现在是甲厂的厂商，我给你100件产品，你说会正好有10件返修吗？生2：不是特别确定。师：不一定是吧？看来你是真正理解了。虽然不是特别确定，但是大家都会选择去乙厂买产品。师：如果天气预报降水概率10/100，你出门会带伞吗？生：不会。师：天气预报降水概率90/100，你出门会带伞吗？生：会。师：假如今天降水概率是90/100，一定会下雨吗？生：不一定。师：这样的事情太多了，生活中不确定的现象要比确定的现象多得多，所以我们应该学会用变化的眼光来看这个世界，学会根据可能性的大小去进行选择和判断。当你用变化的眼光来看这个世界的时候，你就会发现这个世界很有挑战性，很有意思。那我们要不要好好深入地研究一下？好，进一步研究。（接着，我们一起明确了可能性的大小的范围是从0—1，并运用可能性的知识设计了摸球方案。最后，我向学生呈现了一位同学的数学日记：片段3师：浙江有一个孩子，她学完“可能性”以后，回去做了一个实验，写了一篇数学日记，想不想听？生：想！师：我们边看边听，边想：这个孩子的困惑是什么，你能不能解答她的困惑？（播放学生录音：“这是怎么回事”：今天数学课上，老师说掷两粒骰子，朝上面的点数相加等于7的可能性最大。……我有点不大相信，为什么掷两粒骰子，朝上面的点数相加等于7的可能性最大，而不是6，不是8呢？难道真那么准吗？我又没试过，怎么能证明呢？中午回家我找了两粒骰子准备实验一下，但我马上想到，如果我实验的结果和老师不一样，人家还以为我胡编乱造呢，不如我把骰子拿到学校去，叫同学和我一起做，这样既省时间，又有人作证。吃过中饭，我早早来到学校，叫同学Q帮忙。我让他先在纸上写好“2～12”这11个数，我掷骰子，我掷出什么数，他就在那个数下面划‘正’字。没多久，Q就厌烦了。我和他换了一下，由他掷，我来记‘正’字，50次，100次，150次，200次，老师不是说，掷的次数越多越准确吗？最后得出结果果然是7，可我还是不大相信，我和另一个同学G又试了200次，这次结果是8，1比1。我决定再试一次，最后一次，如果是7，那么我就相信老师说的是正确的。我又叫同学Z帮忙，我们又掷了200次，结果是8，哪里是7呀，这是怎们回事？我不懂！我把写有经过的纸放在了老师的办公桌上……——————摘自邵建晖：《好个三局两胜制》）师：这个孩子真得是很困惑呀！你看，这是孩子交给老师的作业，（课件出示孩子的作业）师：他的整个实验过程和结果都记录在这里，非常详细。你能解答他的困惑吗？你知道这是怎么回事吗？生：我接着刚才我说的，投的越多次数离得越近。……师：由于时间关系，不可能让大家一一说了。听完这则数学日记，不知大家有什么感受？孩子们，你们回去以后一定要好好研究研究这则数学日记。请你研究一下：为什么掷两粒骰子，朝上面的点数相加等于7的可能性是最大的？对这堂课，对这个写日记的孩子，你肯定也有很多的感想，就请大家回去以后，把你研究和思考的过程写成一篇数学日记，好吗？非常感谢大家，今天的课我们就上到这里。下课！启发当得知要为张红老师的案例做点评时，我欣然答应了。一方面是由于我一直对概率教学很感兴趣，另一方面基于自己的了解，张红老师是一位非常优秀的教师。看过案例后，我深深感到这个案例是非常有价值的，自己从中获得了很多的启发，于是我把题目改成了“启发”。最大的启发是教师如何真正获得专业成长。的确，一方面，广大教师迫切希望自己能够尽快成长，另一方面，尽管教师学习了一些理念、理论、知识，却总不能与自己的教学实践相结合，很多教师感觉到自己的成长进入了“高原期”。问题的解决总是要找到切入点，教师的成长需要基于自己实践经验的挑战、思考、学习、创造。首先是挑战。这个案例所呈现的问题是非常具有挑战性的。挑战之一来自于案例的主题——概率教学。不少老师都有过这样的经历，在课程改革初期，老师们都喜欢选择概率作为研究课的主题，因为它往往需要学生动手试验，似乎非常符合新课程所倡导的东西。渐渐地，选择这个主题的人在减少，大家普遍感觉到要上好概率课其实很难，既要体现数学的味道，又要有效地组织教学，更要面对学生提出的各种各样的想法。确实，概率是新引入小学数学课程的，教师面临着从学科知识、组织教学到评价学生等很多方面的困惑，于是有些老师就采取了回避的方法。而作为已经成为特级教师的张红，却直面这一挑战，选择了这个主题，真是难能可贵。挑战之二是无论在国内，还是在国际，都缺乏对概率教学的比较成熟的经验，没有更多的现成案例可以借鉴，必须需要自己的思考。张红老师做了，而且思考得比较深入，有了一定的研究意味。这在案例的缘起中可以看到：“我当时的直觉就是这样的教学适合研究确定性现象，研究不确定现象好象缺少了什么。我一直在问自己:用数表示可能性的大小和用数表示其它事物的大小“味道”有什么不同?这节课的“魂”到底在哪里?”。正是这一思考使得课堂教学变得“深刻”起来，教师的教学一定要善于思考所教内容的数学核心，而不要马上进入到具体教学活动的设计中。是呀，什么是概率教学的“魂”呢？张红老师一下子抓住了问题的要害，我想这一定与她通过学习和实践而形成的直觉有密切相关。确实，优秀教师需要好的直觉。但她并没有停留在直觉上，而是进一步进行了学习，这一点从她课堂中引用的多个资料及我和她的多次讨论中可以印证。最终，张红老师把这节课的“魂”定位在体会不确定现象的特点和价值上，并且把这一思考落实在具体的教学中，选择了让学生经历猜测、推理、实验验证、反思、应用、拓展的学习历程。不仅如此，这一节课还有多处她自己的创造。比如围绕主题的不断地追问：“指针可能会停在什么地方我们能事先确定吗？”“他刚才说“非常接近”是不是就正好是1/2呀？”……正是在不断地追问中，学生逐步体会到不确定现象的不确定性和稳定性的特点。比如对概率价值的讨论。其实，很多人都有这样的疑问，既然是不确定的，学习概率又有什么用。对此，张老师选择了生活中的两个熟悉的问题（买产品、带伞），借助生活经验，使学生体会到概率能够帮助人们在面临不确定情境中作出比较合理