空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用一、基础知识1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于冋一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b(bHO),a〃bo存在久wR,使a=Ab共面向量定理若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面o存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理及定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存推论在唯一的有序实数组｛x,y,z｝使得p=xa+yb+zC.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的二个有序实数x,y,乙使—F=xOA+y—B+zOC且x+y+z=12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a•b=|a||b|cos〈a,b〉；②a丄boab=O(a,b为非零向量)；③设a=(x,y,z),则|a|2=a2，|a|=px2+y2+z2.(2)空间向量的坐标运算：a=(Q],a2,a3),b=(b],b2，b3)向量和a+b=(a1+b1，a2+b2,a3+b3)向量差a—b=(a1—b1，a2—b2，a3~b3)数量积a•b=a1b1+a2b2+a3b3共线a〃bna1=%b],°2=久方2,°3=久方3(久wR,bHO)垂直a_Lboa]b]+a』?+。3方3=0夹角公式cos〈a,b).aibi+a2b;+a3b3丫°2+。2+。3冷何+方2+方23．直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或或共线,则称此向量a为直线l的方向向量.平面的法向量：直线l丄a取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.4．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2n1ln2on1=kn2(keR)A丄‘2n1丄0『n2=0直线l的方向向量为n,平面a的法向量为ml〃an丄mon・m=0l丄an〃mon=km(keR)平面a,B的法向量分别为n,mallBn〃mon=km(keR)a丄Bn丄mon・m=0．空间向量基本定理的3点注意空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．有关向量的数量积的2点提醒若a,b,c(bMO)为实数，则ab=bc=a=c;但对于向量就不正确，即a・b=b・C a=C.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a•b)c不一定等于a(b・c).这是由于(a•b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而C与a不一定共线．3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论

证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:⑴前=APBUWR)；⑵对空间任一点O,OP=OA+tAB(t^R)；对空间任一点O，OP=xOA+yOB(x+y=1).证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：MtP=xMA+yMS；⑵对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB；PM^AB(或PA〃褊或PB//AM).确定平面的法向量的方法直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量.待定系数法：取平面内的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由n・a=O,n・b=0.解方程组求得.考点一空间向量的线性运算[1•如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若Ap=a,AD=b,AA1=c，贝9下列向量中与丽相等的是()A一^a+^b+c B.^a+^b+cA.2222C.-C.-ia-!b+cd.H+c解析：选AbM=bM+b1M=aa1+2(ad—ab)=c+|(b-a)=-|a+2b+c.2•如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AAA=a,AAB=b,AAD=c,M,N,P分别是AA1，BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量:存;⑵―;(3}MP+NCV解：(1)TP是C1D1的中点，MP=——p+AD]+—p=a+AD+2D]C]=a+c+2—P=a+2b+c・⑵•:N是BC的中点，TOC\o"1-5"\h\z^D .1A^N=AA+AB+BN=—a+b+2BC1P 1=—a+b+2ad=—a+b+2c,VM是AA1的中点，・•・MMp=MA+AAp= 判断MA,MB,MF三个向量是否共面; 判断点M是否在平面ABC内.解：(1)由已知OAA＋OAB＋O 判断MA,MB,MF三个向量是否共面; 判断点M是否在平面ABC内.解：(1)由已知OAA＋OAB＋OAC=3OAM,P P P 1 P P 1 P P 1又NC]=NC+CC]=2BC+AA]=jAD+AA]=a+2c^mmp+ND=da+1b+c)+(a+2c)=|a+1b+|c.考点二共线、共面向量定理的应用若A(—1,2,3),B(2,l,4),C(m,n,1)三点共线，则m+n= .解析：TAB=(3,—1,1),AC=(m+1,n—2,—2),且A,B,C三点共线，.•.存在实数九使得AC=AAB.即(m+1,n—2,—2)=A(3,—1,1)=(3久，一久，久)，m+1=32,n—2=—A, 解得2=—2,m=—7,n=4.、一2=2,.m＋n=—3.答案：—3已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足OOM=j(OOA+

所以OA—OM=(OM-OB)+(OM-OC),即祝J=BM^CM=-MB-MC,所以M所以M7,MMB,MC共面.（2）由（1）（2）由（1）知Ma,所以M,A,B,3•如图所示，已知斜三棱柱ABCABC,点M,N分别在AC1Mb,Mc共面且过同一点m.C四点共面，从而点M在平面ABC内.和BC上，且满足AM=kACB1,BN=kBC（0<k<1）.判断向量MN是否与向量AAB,AAC共面.fi—^B解：•/AM=kAC1,BN=kBC,11C1)+^A , —^A —^A—^A —^AAB=kB1A―+^A , —^A —^A—^A —^AAB=kB1A―+AB=AB—kAB1=AB—k(AA1+AB)=(1—k)AB-kAA1,・•.由共面向量定理知向量顽与向量AAB,AAC共面.考点三空间向量数量积及应用［典例精析］如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点，计算：(1)EF•BA；(2)EG•BD.E［解］设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=l,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.—AB)=1c—a，欣=—a,所以EF•BA=(^2c—2a/(—a)=2a2—2a^c=1^C —^AEG•BN=(EA+AG)•(AD-AB)=L2AB+2AC+2AD丿(AD-AB)=(-2a+11b+2c)(c—a)=-1,1,1—1,1—1=1—4十2十4 4十2 4_2.［题组训练］如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面［题组训练］如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,ZA1AB=ZA1AD=120°.求线段AC】的长；求异面直线AC］与A1D所成角的余弦值；求证：AA］丄BD.解：(1)设AB=a,AD=b,AA1=C,则|a|=|b|=l,|c|=2,a・b=O,c・a=c・b=2Xixcos120°=—1.•・•AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,|—C1|=|a+b+c|= (a+b+c)2=\.,■11a|2+1b|2+1c|2+2(a•b+b•c+c•a)=\'12+12+22+2x(0—1—1)=V2.・•・线段AC1的长为冷2.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为8,则Cos8=|Cos〈疋,――D>|=―i—c>Q*.*—C1=a+b+c,—]D=b—c,.*.—C1]D=(a+b+c)・(b—c)=a・b—a・c+b2—C2=o+1+12—22=—2,A―S|=\J(b—c)2=\：'|b|2—2b•c+|c|2=\'12—2X(—1)+22=77.・.cos8=|応•—―5||—C?||—―D||—2|=岛\'2X;7=7故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为岁.证明：忑=c,BD=b—a,—^D —^D—^DAA1•BD=C・(b—a)=C・b—C£=(—1)—(—1)=0,.AA1丄BD，即AA[丄BD.考点四利用向量证明平行与垂直问题［典例精析］如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD［典例精析］如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，过点E作EF丄PB于点F.求证：PA〃平面EDB；PB丄平面EFD.［证明］以D为坐标原点，射线DA,DC,DP分别为x轴、尹轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.彳殳DC=a.⑴连接AC交BD于点G,连接EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),El0,因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点(aa、故点G的坐标为百，20丿,—^^ (a a所以PA=(a,0,—a),EG=总，0,_2则叵T=2EG，故PA//EG.而EGU平面EDB,PAG平面EDB,所以PA〃平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0)，所以—T=(a,a,—a).又貳=(0,2，2)，故？•DE=0+022—022=0,所以PB丄DE,所以PB丄DE.由题可知EF丄PB,且EFHDE=E,所以PB丄平面EFD.［解题技法］利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系.所以BM=BA+A?=所以BM=BA+A?=(—4,5，5丿,则AP•BM=(0,3,4)(—4,1612>—M，M丿=°，根据运算结果解释相关问题.［提醒］运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理•如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外.［题组训练］如图，在三棱锥PABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO丄平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.证明：APIBC；若点M是线段AP上一点，且AM=3.试证明平面AMC丄平面BMC.证明：⑴以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(o,—3,0),B(4,2,0),C(—4,2,0),P(0,0,4).于是乔=(0,3,4),BBC=(—8,0,0),所以乔•BC=(0,3,4)・(一8,0,0)=0,所以BT丄B?，即AP丄BC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且点M在线段AP上,所以AM=5AP=(0,5,切，又B?=(—4,—5,0),所以AP丄前，即AP丄BM,又根据(1)的结论知AP丄BC,且BCHBM=B,所以AP丄平面BMC,于是AM丄平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC丄平面BMC.［课时跟踪检测］已知a=(2,l,-3)，b=(—1,2,3),c=(7,6,久)，若a，b，c三向量共面，则2=( )A.9

解析：选B由题意知c=xa+yb,即(7,6,久)=x(2,l,—3)+y(—1,2,3),2x_y=7,<x+2y=6, 解得X=—9.、一3x+3y=A,2•若平面a“的法向量分别为小=(2,—3,5),n2=(-3,1,-4)，贝％ )A.allB B.a丄〃C.a,B相交但不垂直 D.以上均不正确解析：选C*.*n『n2=2X(—3)+(—3)x1+5X(—4)=_29^0,An1与n2不垂直，又n,n2不共线，:、a与B相交但不垂直.3.在空间四边形ABCD中，AB-CD+AC-DBB+AD-BC=( )A.—1 B.0C.1 D.不确定解析：选B如图，令乔=a,AC=b,AD=c,则AB•CD+AC•DB+AD•BC=a・(c—b)+b・(a—c)+c・(b—a)=a・c—a・b+b・a—b・c+c・b—c・a=0.4•如图，已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2,现用基向量OA,OB,OC表示向量OA，设OA=xOA+yOB+zOCC，则x,y,z的值分别是（）A.=1=1=1x3,yA.=1=1=1x3,y3,z311B.x=3,y=3,1z=6C.11y=6，1z=3D.11x=6，y=3，1z=3cc解析:选D设OA=a,OB=b,OCC=c,•・•点G分MN所成的比为2,MGG=|MS,・•・OB=OM+MG=OM+j(ON—OM)=1a+彳少—知=1a+1b+1c—|a=6a+ib+ic，即xW，y=3,z=|.5•如图，在大小为45。的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边

形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（ ）Aa；3 B車C.1C.1解析：选D•/BD=BF+FE+ED,・・・|BD|2=|BF|2十|FE|2十|EDp+2BF-FE+FE•ED+2BF•ED=1+1+1—“叮2=3—吋2,・\|BD\=3—\：2.=OC+CC[=2(AB+6•如图所示，在长方体ABCDA1B1C=OC+CC[=2(AB+AD，洛表示疋，则—OC1= .解析：•・•OC=2AC=1(AB+AD),：・OCD,—^^11 —^^AD)+AA1=2AB+2AD+AA「答案：2乔+|ak+aa^7•已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是CD,PC的中点，并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN=解析：连接PD（图略略），•：M,N分别为CD,PC的中点，:MN=^PD,又尸(0,0,1),D(0,l,0),:.PD=\l02+(—1)2+12=、Q：.MN=^在正三棱柱ABCABC中，侧棱长为2,底面边长为1，M为BC的中点，C1N=ANC，且AB1丄MN,则久的值为 .解析：如图所示，取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,MC,MA,MP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.因为底面边长为1,侧棱长为2,所以A（0,#,°）B（—20,2）,c(|,0,0丿，C]辽，0,2丿,M(0,0,0),M(0,0,0),设10,J,所以AB]所以AB]=1—12,又因为AB、丄肋，所以丽>=0.1 4所以一4+]|丸=0，所以久=15.答案：15如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解：VZACD=90°,AAC-CD=0.同理AC-BA=0.•：AB与CD成60°角，.BA,CD>=60。或120°.■—A■—A ■—A■—A又•：BD=BA+AC+CD,・.|BD|2=|BA|2十|AC|2十|CD》+2BA•AC+2BA•CD■—A■—D .■—A■—A、+2AC•CD=3+2X1X1Xcos<BA,CD>.当〈叵t,CD>=60。时，RD2=4；当〈BA,CD>=120°时，BD2=2..•・|BD|=2或迈，即B,D间的距离为2或迈.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形,E，F，G分别是A]D],D1D，D1C1的中点.试用向量AB，AD，AAD表示AG；用向量方法证明平面EFG〃平面ABC解：(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则AG=AA】+A]D1+D]G=c+b+空DC=2a+b+c=2AB+AD+AA】.故ag=|ab+ad+aa1.(2)证明：AC=AAB+Be=a+b,EG=£^+厂]75=2»+23=2ACC,•:EG与AC无公共点，:.EG//AC,:EGQ平面ABC,ACU平面ABC,:.EG〃平面ABC.又：AB1=AB+BB1=a+c,FG=尸Dj+D]75=2c+2a=2—B1,:FG与AB1无公共点,:FG/AB1,:FGQ平面ABC,AB1U平面ABC,:.FG〃平面ABC.又:FGHEG=G,FGU平面EFG,EGU平面EFG,:.平面EFG〃平面ABC.B级1.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA十尹商+zOC(x,y,zWR)，贝y“x=2,y=-3,z=2"是“P,A,B,C四点共面”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B当x=2,y=-3,z=2时，即OC=2OC一3OC+2OC.则AP-AO=2OC-3(AB—AO)+2(AC—AO),即AP=-3AB+2AC,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面；反之，当P,A,B,C四点共面时，根据共面向量定理，设AP=mACC+CCCCCCCCC

nAC(m,n£R)，即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA)，即OP=(1—m-n)OA+mOB+nOC,即x=1_m_n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为( )A.共线 B.共面C.不共面 D.无法确定解析：选CAB=(2,0,-4),AC=(-2,-3,-5),AD=(0,—3,—4)，由不存在实数九使AB=AAC成立知，A,B,C不共线，故A,B,C,D不共线；假设A,B,C,

0=2x—2y,D共面，则可设AD=xAB+yA€(x,y为实数)，即彳一3=—3y, 由于该方程组无、一4=—4x—5y,解，故A,B,C,D不共面，故选C.3.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当Q!•Q1B取最小值时，点Q的坐标是 .解析：由题意，设O(C=AOP，则OQ=(九九2久)，即QU，九2A),则QA=(1—九2—久，3—2久)， QC=(2—久，1—久，2—2久)，.・QA•QC=(1—久)(2—2)+(2—久)(1—2)+(3( 4A 2 4 <448、—22)(2—22)=622—162+10=6”一3J2—亍，当2=3时取最小值，此时Q点坐标是百，亍，寸.4-3

4-3

43?已知四面体PABC中,/PAB=/BAC=/PAC=60°―|=1,—C|=2,—P|=3，贝^\—+AP+—\= ,解析：•・•在四面体PABC中，ZPAB=ZBAC=ZPAC=60°,—\=1,\—\=2,\——^C —^C —^C\=3,・•・AB-AC=1X2Xcos60°=1,AC-AP=2X3Xcos60°=3,AB-AP=1X3Xcos60°^^C^^C^^C^^C^^C^^C=2，・\AB+AP+AC