混合正态分布的ARMA

混合正态分布的ARMA-GARCH模型及其VaR度量内容摘要：本文从收益的波动性与分布两方面出发，组建起混合正态分布下的ARMA-GARCH-VaR模型。同时，文章对我国深圳证券综合指数进行实证研究计算其VaR值并进一步对该模型的预测效果进行分析。关键词：VaRARMA-GARCH模型混合正态分布VaR的计算方法主要有蒙特卡洛模拟法、历史模拟法、方差-协方差法等，其中比较常用的是利用参数方法计算VaR的方差-协方差法。而这种方法的关键在于收益率分布形式的假定，通常人们假设金融资产价格服从正态分布，但是，大量的文献资料和研究表明，金融收益数据呈现出“尖峰厚尾”特性，不能采用传统的正态分布假定；同时，资产收益序列具有自相关性，波动的集聚性。由于波动具有时变的条件异方差性，用具有条件异方差的广义自回归条件异方差模型（GARCH模型）取代无条件方差来估计VaR，能改进VaR的估计精度。在该模型中，通常假定收益率残差服从条件正态分布，但这并不能刻画收益分布的厚尾特征，而采用混合正态分布刻画厚尾特征，一方面能尽量减少传统的正态分布低估风险价值的误差，另一方面又保持正态分布比较方便的特性。VaR模型VaR是在一定的置信水平下和一定的目标期间内，某金融工具或投资组合可能出现的最大损失（或最坏情况下的损失）。即对于选定的置信水平a，VaR可以表示为：其中AP为资产或资产组合在持有期At内的损失，VaR为置信水平a下处于风险中的价值。根据定义，如果用r表示资产的日收益率，并假定其分布密度为f（t），VaR的计算公式可以写作：由此，要计算VaR关键是找到日收益率的分布密度函数f（r）。然而对于日收益率经常出现的异方差特性和集聚性，又不好直接假定它为混合正态分布函数，于是我们通过GARCH模型来解决这一现象，并通过假定并估计该模型的残差序列st（一个均值为0，方差为1的独立同分布的随机变量序列）的混合正态分布函数的方法计算出st的VaR值，再由rt和st在模型中的关系来计算rt的VaR值。GARCH模型GARCH模型实际上是条件异方差模型（ARCH）的推广形式，标准的GARCH（m，s，）形式为：其中rt为对数收益率；90为常数，at是白噪声序列，它们构成的第一个方程叫均值方程，实际上是一个ARMA模型。at为条件方差，£t是一个均值为0,方差为1的独立同分布的随机变量a它0,陀0,（at+pt）m,ai=0对j>s,°j=0），对ai+pi的限制条件保证的无条件方差是有限的，同时它的条件方差a2t是随时间变化的，通常假定st服从标准正态分布或标准化的学生-t分布。但是实际数据估计的残差序列淇的分布是尖峰厚尾的并不是正态分布，针对这一现象本文假定st服从混合正态分布。混合正态分布混合正态分布的概率密度函数是若十个正态分布函数的线性组合，假设st服从混合正态分布，即其中fi（st，成，at）是均值为山，标准差为ai的正态分布的密度函数，权重pi满足pi=1，并假定k个正态分布之间是独立的。几个不同的正态分布通常有着不同的均值和方差，它们按各自的权值叠加在一起的密度函数所代表的分布函数通常具有比正态分布更丰富的表达性，并且由于混合正态分布能够很好地刻画尖峰性和厚尾性，所以它在金融领域的信息的获得和处理方面作用很大。实证分析本文选取深圳证券综合指数2009年1月7日到2011年6月15日共591个交易日收盘指数数据作为样本来分析混合正态分布下的GARCH模型在计算风险价值VaR方面的合理性，并估计风险价值。（一）数据的基本特征首先根据选取数据的收盘价计算各交易日的对数收益率，计算方法为rt=100*（lnpt-lnpt-1）。其中pt（t=12...）为各交易日的收盘价。日收益率序列的容量为590，均值为0.109888%，标准差为1.829245%，偏度系数为-0.6957，表明日收益率序列rt是向左偏斜，峰度系数为4.4681，这说明日收益率序列有明显的尖峰厚尾性。J-B统计量99.2541，5%显著水平下的临界值为5.9915，表明日收益率序列rt不服从正态分布。对日收益率序列rt进行零均值化（即ri—均值）后仍记为rt。（二）平稳性和自相关性用AugnentedDikey-Fuller方法对深证综指收益率rt进行单位根检验，深证综指t统计量为-22.43894，小于显著性水平1%的Mackinnon临界值-3.441223，因而拒绝单位根假设，即收益率序列rt是平稳的。计算收益率序列rt的自相关序列ACF和偏自相关序列PACF，收益率序列一阶相关系数的伴随概率接近显著性水平0.05,其它各阶相关系数的伴随概率均明显大于显著性水平0.05,收益率平方序列的ACF和PACF表明收益率平方序列却显示高度的自相关性。而收益率平方序列的这种自相关性正好反映的是波动率的集聚效应，所以说收益率序列可能存在ARCH效应。（三）建立ARMA-GARCH模型从收益率序列的自相关性分析可知，日收益率符合ARMA模型，即其中at是白噪声序列。对收益率序列按上面方程做最小二乘回归估计系数，得出我们检验这个方程的残差序列at是否存在ARCH效应，采用LM检验法选择残差滞后10阶得到LM统计量46.3335，相伴概率为0.0000远远小于显著水平0.01，因此认为at存在ARCH效应，接着我们对at进一步建模。采用广义条件异方差模型GARCH（m，s）来拟合该组数据可能效果更好。模型具体结构如下：能是一个均值为0，方差为1的独立同分布的随机变量序列，若假定残差£t服从标准正态分布，用极大似然估计法可估计出其中参数，并用AIC准则来判定GARCH模型的阶数，比较得知，当选用GARCH（1，1）模型时所有估计参数都极为显著且AIC也达到最小值3.907713，于是得出模型：（2）（四）拟合残差st的概率分布由模型（2）计算出残差序列st并对其进行正态性检验如图1所示。图1显示残差序列st的均值为-0.010389%，标准差为1.001352%，偏度系数为，表明残差序列st是向左偏斜，峰度系数为4.183668，这说明日收益率序列有明显的尖峰厚尾性。J-B统计量92.28394，表明残差序列st在5%显著水平下不服从正态分布。同样对残差序列和序列平方进行自相关检验，计算残差序列st的自相关序列ACF和偏自相关序列PACF（如图2），序列平方的自相关序列ACF和偏自相关序列PACF（如图3）。可以看出残差序列st不存在自相关现象，于是可以假定残差序列st是相互独立的，且残差平方s2t序列也不存在自相关现象，于是不存在ARCH效应了，这说明我们上面建立的模型是合理的，它消除了异方差效应。然而，针对st的尖峰厚尾性，我们要对它的正态分布假定进行修正，现在假设st服从混合正态分布，以三混合正态分布为例采用EM算法估计密度函数中各参数结果如表1。（五）VaR计算结果与对比分析由VaR的计算公式（1）计算st的99%和95%置信水平下的VaR值为2.3612和1.6642，根据GARCH模型（2）中的at=o也推出：由公式（3）分别计算出置信水平为99%和95%时的深证收益率风险价值VaR值如表2。为评估该模型的效果，对VaR值进行后验测试，本文采用Kupiec方法，构建似然比统计量：其中T为样本个数，N为样本失效个数，即样本值超过VaR的个数，a仍然表示置信水平。通过比较VaR的理论值与实际值（收益率），1%水平下有8个数据失效、5%水平下有23个失效数据（这相对于587个样本量来说都是很小的），于是计算出似然比统计量分别为0.7012和1.5573（均远小于3.84）；从另一方面看，若记N/T为失效率，对比显著水平1-a和对应的失效率均有N/T<1-a。这两点都足以说明该模型计算出来的VaR值在一定的置信水平下是合理的、准确的。传统正态分布假设的方差-协方差方法和历史数据模拟法计算的VaR也列在表2中。本文针对股票日收益率数据序列常出现的尖峰厚尾和异方差现象，提出更优化模型（ARMA-GARCH-VaR模型），从混合分布密度函数和ARMA-GARCH模型两个方面比通常情况下直接用正态分布函数计算VaR的模型大大提高了精确度。本文模型计算结果与历史数据模拟法计算的结果比较接近，因此，对于具有尖峰厚尾和波动集