高等数学A课件：21－第21讲 不定积分及其计算

1高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十一讲不定积分及其计算2第六章函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.

熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.

了解利用建立递推关系式求积分的方法.

理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.

熟悉牛顿—莱布尼兹公式.

理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.

能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。3回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,

如何求它的导数.”积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分.

先研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.4第六章函数的积分第三节不定积分5问题:

若已知某一函数

的导数为ƒ(x),求这个函数.则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.一.原函数的定义定义设ƒ(x)定义在区间I上,若存在函数F(x),使得对有例因为，所以因为所以6定理1

若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数.

(证明略)原函数存在性定理:定理设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证因为问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.7定理设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则

F(x)–G(x)≡C(常数)证由拉格朗日定理知由此可见:

若F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的所有原函数。8定义一.不定积分的概念9任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量10每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.11不定积分的几何意义而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是:

(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){|c|12oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.

13例已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点，求此曲线方程.解设所求曲线为y=ƒ(x),则故所求曲线为y=ln|x|+214二.不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法部分分式法151.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.16性质117性质218基本积分表19以上积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！20例1解21例2解绝对值22例3解利用加一项、减一项的方法.23例4解?利用加一项、减一项的方法.24例5解部分分式法25例6解26例6解27例7解想想它是谁的导数？怎么做？利用平方差公式28例8解29例9解30能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分法(第一类换元法)例

计算分析：此不定积分在积分表中查不到.换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面学习一些有效的积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.

(u是x的函数)31注:

这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为32定理33证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.注1.定理中,若u为自变量时,当然有当u换为(x)时,就有成立.——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.

凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即成立.34(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把

dx凑成d(x).如

(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:以下常见的凑微分公式！35363738