19河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)-word版含答案

最新高中数学奥数竞赛竞赛试卷 (高三年级组)(时间：8月30日上午8:30-11:30)一、填空题 22 1.1、已知函数f(x)ln«1axax)1(a0),则f(lna)f(In-)a2、A,B两点分别在抛物线 y8、将10个小球(5个黑球和5个白球)排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为.二、解答题9.(本小题满分148、将10个小球(5个黑球和5个白球)排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为.二、解答题9.(本小题满分14分)在4ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,向量psinAsinC,sinB,向量q(ac,ba),且满足pq.(I)求△ABC的内角C的值；(n)若c=2,2sin2A+sin(2B+C尸sinC,求MBC的面积.3、若tan3tan00 —,则 的最大值为 ^2 4、已知4ABC等腰直角三角形，其中/C为直角，AC=BC=1,过点B作平面ABC的垂线DB,使得DB=1,在DA、DC上分别取点E、F,则△BEF周长的最小值为.5、已知函数f(x)x10.(本小题满分14分)已知数列 an满足：a1 2,an 1 10.(本小题满分14分)已知数列 an满足：a1 2,an 1 an 2an.(1)求证：数列lg(an1)是等比数列，并求 an的通项公式； 1 1 一 ，…一，八， 八(2)若bn- ，且数列bn的前n项和为Sn,求证：Sn1.anan211.(本小题满分14分)设f(x)exaxa.(e是自然对数的底数)(I)若f(x)0对一切x1恒成立，求a的取值范围;实契x的取值范围为.f—， fff , —fr-fc- -f -9-—h............_._ _*..,...6、已知向量a,b,c满足|a|:|b|:|c|2:k:3(kN),且ba2(cb),若为a,c的夹角，则cos的值为.(n)求证:(2015)100820167、现有一个能容纳 (n)求证:(2015)1008201612.(本小题满分14分)已知：如图，两圆交于A、分别为C12.(本小题满分14分)已知：如图，两圆交于A、分别为C、D.过A任意做一条直线分别交两圆于求证：PB平分/EBF.B两点，CD为他们的一条外公切线，切点E、F,EC交FD于P.最大值.3yy,求使x12入21恒成立的实数 的14.(本小题满分2x15分)已知椭圆C:―即即mx8 2x2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)答案1.【解析】f(x)f(x)ln(1a2x2ax)ln(.1a2x2ax)2ln(1a22 22xax)22.2.【解析】由于AB则只需要考虑AC的范围.AC2(x2)2y(x2)26xx2x4(x1)23,又x0,故4 2,故AB的取值范围为1,3.【解析】tanatantantantan2tan13tan2—―3tantantan—6TtOC一,24.【解析】由题意可知,CDB—,且/BDA与/CDA之4和为.2如图，将侧面BDA和侧面CDB分别折起至面B1DA和B2DC,且与侧面ADC位于同一个平面上.则4BEF周长的最小值即面AB1DB2c上两点B,B2之间的线段长.由前面的分析可知，. . 兀兀 3兀B1DB2 B1DA ADC CDB2 一一 一，24 4由余弦定理可得,BB2、,B1D2B2D22BDB2DcosB1DB21 2 一112 —— 2 2.2所以，^BEF周长的最小值为42显.5.【解析】f(x)x33x为奇函数且为增函数f(mx8)f(2x)0等价于f(mx8) f(2x)f(2x)即mx2x80对任意的m2,2成立即2x2 80,所以2x2x802r,即0vx<246.【解析】由ba2（cb）得bc所以b3—ac,9161664r * … …[—,—]，又kN，所以k=2,所以994024又|a|：|b|：|c|2:k:3,所以k2 cos9 9cosa的值为一.6.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是个，第2层3个，第3层6个，即每一条4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面3,正四面体的高和棱所成角3,正四面体的高和棱所成角的余弦值为—,故容器棱长的最小值为 423—42.6.3 3.【解析】法1:如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为1;如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为 1;如果1 一」1 一」只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为 一；以此类推，可知4.无论数将10个小球（5个黑子^和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为.无论数法2:直接从10个小球入手分类讨论9.【解析】（I）由题意q,所以,acsinAsinCbasinB0.由正弦定理,可得ab0.整理得a2c2b2ab由余弦定理可得,cosC2 -2ab2ab0,(n9.【解析】（I）由题意q,所以,acsinAsinCbasinB0.由正弦定理,可得ab0.整理得a2c2b2ab由余弦定理可得,cosC2 -2ab2ab0,(n)由2sin2Asin2BsinC可得，4sinAcosAsinB冗Asin整理得，4sinAcosAsinsinBA2sinBcosA..一 n当cosA0时，A—,此时，b2花2cot—32-33 1所以4ABC的面积为SAabc -bc210分当cosA0时，上式即为sinB2sinA,有正弦定理可得b=2a,又a2b2ab4,解之得，a空，当cosA0时，上式即为sinB2sinA,有正弦定理可得b=2a,又a2b2ab4,解之得，a空，b小3 3…，一_ 1,- 2.3,所以Z\ABC的面积为Saabc—absinC2 3一 . 1 23综上所述，4ABC的面积为S^abc—absinC2 314分10•【解析】(1)由已知得an1a22an,an11 an12,因为a1 2,所以烝11,两边取对数得lg1%12lg1an，即JgJ_anJ_2,lg1an故lgan1为以lg3为首项，2为公比的等比数歹U,n1即lgan1 2n11g3,即an 32 1.1 1 1(2)法1：由an1 an 2an两边取倒数仔 ——an1 2an1an 2~ 1所以1an21 2 1 11——J,即bn21——L,10分an an1an an114分TOC\o"1-5"\h\z一1 114分故Sn 2-下一，故Sn 1.2 32 12n11 1 232 1 1 1 1江)% 3 1(佑2-bn _2"_ _2口_ _2“_ 2(2门1一2" ))则Sn2——例— 1.3 13 1 3 1 3 13 1 232 1x--一・，、一 e，11.【解析】(I)f(x)0x1aea x1,x1x x令h(x)-e：，则h(x) xe ,x1 (x1)x由h(x) -^e-20得x>0.(x1)所以h(x)在0, 上单调递增，h(x)在(-1,0)单调递减.所以h(x)h(0)1x1,由此得：a1所以，实数的最大值为所以，实数的最大值为2 22. 15分又x=-1时，xex即为0此时a取任意值都成立.综上得：a1.（。需0081e2201520161c2016e1-L-201612016由（I）知,当a=1时f（x）0对一切x1恒成立,即1（x=0时取等号）._ 1取x ,得12016120161c2016e即证得：（20竺）1008201614分12.【证明】如图，连接BA,BC,BD.由A,B,E,C共圆有/1=/CBA,同理/2=/DBA;又/1+Z2+ZEPF=180°,所以/CBD+/CPD=/1+/2+/EPF=180°,故P,C,B,D四点共圆.贝U/CBP=/3=/4=/DBF(弦切角等于圆周角).10分同理/所以/此即为CBE=Z5=ZDBP.EBP=/EBC+/PBC=/DBP+ZFBD=ZFBP,PB平分/EBF.14分DEP313.【解析】由正数x,y满足x不等式2入y1等价于等价于等价于等价于因为f(t)等号仅当3y2yyxy10分t2t1(t1)221(t1)t114.【解析】(1)设A(xi,y1)，B(x2,y2),Q(Xo,y°),则QA:国2X2XQB:—2y〔yy2y故直线AB:运2血比1x2 2 。故Q的轨迹方程为1过Q,有X2X0y0yV。1过点X1X0yy。 1；……①y2y0 1， ②i1、P(1,2),则有X+y=2.(2)对直线AB,当斜率不存在时，即为x=1,此时A(1,母，B(1,",。)SAABQ — 22斜率存在时，设直线AB:y1k(X21)ykX1k