吉林省延边州安图县高三(上)期中数学试卷(理科)课件

2021-2021

学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（包括

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）11．（5分）∫(푒푥

+푥)푑푥的值为（）-

1111212A．e

-

푒B．e

+

푒C．e

+D．e

-2．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走

378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了

6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里휋3．（5分）若将函数

y＝2sin3x

的图象向左平移

个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）12휋휋푘휋A．x

=+2푘휋(푘

∈

푍)B．x

=+

3

(푘

∈

푍)12125휋휋푘휋C．x

=

36

+2푘휋(푘

∈

푍)D．x

=+

3

(푘

∈

푍)364．（5分）已知全集

U＝R，集合A

=

{푥|푦

=

1‒

푥

}，集合

B＝{y|y＝2x}，则

A∩∁

B

为（）2UA．[﹣1，0]

D．[0，1]B．[﹣1，0）C．（0，1]5．（5分）若复数

z

满足（1+2i）z

=5，i

为虚数单位，则

z

的虚部为（）A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i6．（5分）已知等差数列{a

}的前

n

项和为

S

，若

a

+a

+a

＝9，是

S

的值为（）nn67813A．117B．28C．39D．567．（5分）有下列结论：12021-2021学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学1（1）命题

p：∀x∈R，x

＞

总成立，则命题20¬p

∀x∈R

x2：，

≤0总成立．푥2（2）设

p：＞0，푞：푥

+x﹣2＞0，则

p

是

q

的充分不必要条件．푥

+2（3）命题：若

ab＝0，则

a＝0或

b＝0，其否命题是真命题．→→→→→→→→→（4）非零向量a和b满足|a|=|푏|=|푎

‒

푏|，则a与a

+

푏的夹角为

30°．其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2x

-

y

-

2

≥

03푥

+푦

‒

8≤

0푥

+2푦

‒

1≥

0푦

+2{8．（5分）点

P（x，y）为不等式组所表示的平面区域上的动点，则푥

+1最小值为（）4314A．B．C．1D．09．（5分）在△ABC

中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC=3，则△ABC

的外接圆直径为（）2326B．

3128393393A．C．D．310．（5分）已知三个互不重合的平面

α，β，γ，且

α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若

a⊥b，a⊥c，则

b⊥c；②若

a∩b＝P，则

a∩c＝P；③若

a⊥b，a⊥c，则

α⊥γ；④若

a∥b，则

a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为

2，则该几何体的表面积为2（1）命题p：∀x∈R，x＞总成立，则命题20¬p∀220（）A．46B．52﹣πC．52+3πD．46+2π12．（5分）设函数

f（x）在

R

上存在导数

f'（x），∀x∈R

有

f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上

f'（x）＜x，若

f（2﹣m）﹣f（m）≥2﹣2m，则实数

m

的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[﹣1，1]D．[1，+∞）二、填空题（包括

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）→→→→1．（5分）已知a

=(1，1，푥)，푏

=(1，2，1)若a

⊥

푏，则

x＝

．121312．（5分）用数学归纳法证明1

+是

．++⋯

+＜푛（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证的不等式2푛

‒

13．（5分）已知函数

f（x）＝|lgx|，若

m＜n，有

f（m）＝f（n），则

10m+n

的取值范围是

．4．（5分）已知三棱锥

A﹣BCD

内接于半径为

5的球

O

中，AB＝CD＝4，则三棱锥

A﹣BCD

的体积的最大值为

．三、解答题（包括

6

小题，共

70

分）421．（10分）已知集合A

=

{x|푥

＜4}，퐵

={푥|1＜}．푥

+3（1）求集合

A∩B；（2）若不等式

2x2+ax+b＜

的解集为

，求

，

的值．0Aab320（）A．46B．52﹣πC．52+3πD．46+2π3휋2．（12分）已知函数f(x)

=

Asin(ωx

+

φ)(퐴＞0，|휑|＜

)的部分图象如图所示．2（1）求函数

f（x）的解析式；퐴（2）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别是

a，b，c，若asin2B

=

3푏푠푖푛퐴，求f(4)的取值范围．高考3．（12分）已知矩形

ABCD

与正三角形

AED

所在的平面互相垂直，M，N

分别为棱

BE，AD

的中点，AB＝1，AD＝2．（1）证明：直线

AM

平行平面

NEC；（2）求异面直线

AM

与

CN

的成角余弦值．4．（12分）已知数列{a

}满足

a

＝2a+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且

a

＝5．1nnn﹣1（1）求

a

，a

的值；23푎푛

+휆（2）若数列{}为等差数列，请求出实数

λ；2푛（3）求数列{a

}的通项公式及前

n

项和为

S

．nn5．（12分）如图，四面体

ABCD

中，△ABC

是正三角形，△ACD

是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．4휋2．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+4（1）证明：平面

ACD⊥平面

ABC；（2）过

AC

的平面交

BD

于点

E，若平面

AEC

把四面体

ABCD

分成体积相等的两部分，求二面角

D﹣AE﹣C

的余弦值．高考푎6．（12分）已知函数

f（x）＝exlnx

-

푥

，函数

f（x）在

x＝1处的切线与

y

轴垂直．22（1）求实数

a

的值；푏（2）设

g（x）＝f'（x）﹣f（x），h（x）

=-

푥

‒

lnx，若对任意的

x

，x

∈（0，+∞），都有

g（x

）≥121h（x

）成立，求实数

b

的取值范围．25（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平52021-2021

学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（包括

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）1．（5分）（2021秋•安图县期中）∫1(푒푥

+푥)푑푥的值为（）-

111112A．e

-

푒B．e

+

푒C．e

+D．e

-2【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．11-

푒1【解答】解：∫(푒푥

+푥)푑푥

=（e

+

x2）|x1

=e‒

1，-

12故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．2．（5分）（2021•乌鲁木齐模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走

378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】8B：数列的应用．【专题】33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．1【分析】由题意可知此人每天走的步数构成

为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．262021-2021学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学61【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成

为公比的等比数列，2162푎

[1‒

(

)

]由题意和等比数列的求和公式可得1=378，11‒21解得

a

＝192，∴第此人二天走

192

×

2=96步1故选：C．【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．휋3．（5分）（2021秋•安图县期中）若将函数

y＝2sin3x

的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）휋휋푘휋A．x

=+2푘휋(푘

∈

푍)B．x

=D．x

=+

3

(푘

∈

푍)12125휋휋푘휋C．x

=

36

+2푘휋(푘

∈

푍)+

3

(푘

∈

푍)36【考点】HJ：函数

y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】38：对应思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．휋【分析】求出

y＝sin3x

的对称轴，再向左平移12个单位即可．휋휋푘휋【解答】解：令

3x

=

2

+kπ

得：x

=

6

+

3

，k∈Z，휋푘휋∴y＝sin3x

的对称轴为

x

=

6

+

3

，k∈Z，휋∴函数

y＝2sin3x

的图象向左平移12个单位长度后，휋푘휋휋휋푘휋所得函数图象对称轴为

x

=

6

+

3‒=+

3

，k∈Z．12

12故选：B．7121푎[1‒()]1=378，11‒21解得7【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．4．（5分）（2021秋•安图县期中）已知全集

U＝R，集合A

=

{푥|푦

=

1‒

푥

}，集合

B＝{y|y＝2x}，则

A∩2∁UB

为（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，0）C．（0，1]D．[0，1]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合

A

和集合

B，从而得到∁

B，由此能求出

A∩∁

B．UU2【解答】解：∵全集

U＝R，集合A

=

{푥|푦

=

1‒

푥

}={x|﹣1≤x≤1}，集合

B＝{y|y＝2

＝{y|y＞0}x}，∴∁

B＝{y|y≤0}，U∴A∩∁

B＝{x|﹣1≤x≤0}＝[﹣1，0]．U故选：A．【点评】本题考查交集、补集求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用．5．（5分）（2021秋•安图县期中）若复数

z

满足（1+2i）z

=5，i

为虚数单位，则

z

的虚部为（）A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）z

=5，8【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．4．（5855(1‒

2푖)=1‒

2푖，1+2푖

(1+2푖)(1

‒

2푖)得z

==∴z＝1+2i．∴z

的虚部为

2．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．（5分）（2021秋•安图县期中）已知等差数列{a

}的前

n

项和为

S

，若

a

+a

+a

＝9，是

S

的值为nn67813（）A．117B．28C．39D．56【考点】85：等差数列的前

n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．13【分析】利用等差数列通项公式求出

a

＝3，再由

S13=(푎

+푎

)=13a

，能求出结果．711372【解答】解：∵等差数列{a

}的前

n

项和为

S

，a

+a

+a

＝9，nn678∴a

+a

+a

＝3a

＝9，解得

a

＝3，67877132∴S13=(푎

+푎

)=13a

＝13×3＝39．1

13

7故选：C．【点评】本题考查等差数列的前

13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．7．（5分）（2021秋•安图县期中）有下列结论：（1）命题

p：∀x∈R，x

＞

总成立，则命题20¬p

∀x∈R

x2：，

≤0总成立．푥2（2）设

p：＞0，푞：푥

+x﹣2＞0，则

p

是

q

的充分不必要条件．푥

+2955(1‒2푖)得z==∴z＝1+2i．∴z的虚部为9（3）命题：若

ab＝0，则

a＝0或

b＝0，其否命题是真命题．→→→→→→→→→（4）非零向量a和b满足|a|=|푏|=|푎

‒

푏|，则a与a

+

푏的夹角为

30°．其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；48：分析法；5L：简易逻辑．【分析】由全称命题的否定法则，可以判断（1）的真假，利用分式不等式解法，分别求出两个不等式的解集，再利用充要条件的定义，可以判断（2）真假；根据四种命题的定义，我们不定期也（3）中原命题的否命题，进而可以分析出（3）的真假；根据向量加减法的平行四边形法则，可以判断（4）的真假．进而得到答案．【解答】解：对于（1）命题

p：∀x∈R，x

＞

总成立，则命题20¬p

∃x∈R

x2：，

≤0总成立．故（

）1错；푥对于（2）＞

⇒x＞0或

x＜﹣2，x2+x﹣

＞020⇒x＞

或

＜﹣

，则

p

是

q

的必要不充分条件，故1x2푥

+2（2）错误；对于（3）命题：若

ab＝0，则

a＝0或

b＝0，的否命题是，若

ab≠0，则

a≠0且

b≠0，为真命题，故（3）正确；→→→→→→→→→→→→→→→→对于（4）非零向量a和b满足|a|=|푏|=|푎

‒

푏|，如图OA

=

푎，푂퐵

=

푏，퐵퐴

=

푎

‒

푏，OC

=

푎

+

푏，由→→→向量加减法的平行四边形法则可得则a与a

+

푏的夹角为

30°．故（4）正确；10（3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是10故选：B．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握命题的否定、充要条件的定义、四种命题等基本概念是解答本题的关键．2x

-

y

-

2

≥

03푥

+푦

‒

8≤

0푥

+2푦

‒

1≥

0{8．（5分）（2021秋•安图县期中）点

P（x，y）为不等式组所表示的平面区域上的动푦

+2点，则푥

+1最小值为（）4314A．B．C．1D．0【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用

z

的几何意义即可得到结论．2x

-

y

-

2

≥

03푥

+푦

‒

8≤

0푥

+2푦

‒

1≥

0{【解答】解：不等式组作出可行域如图：푦

+2z

=

푥

+1的几何意义是动点

P（x，y）到

Q（﹣1，﹣2）的斜率，由图象可知

QA

的斜率最小，{x

+

2y

-

1

=

03푥

+푦

‒

8=0由，解得

A（3，﹣1），푦

+2‒

1+21则

z

=

푥

+1的最小值为

3+1

=

，4故选：B．11故选：B．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其11202高考【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）（2015春•大连校级期末）在△ABC

中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC=3，则△ABC

的外接圆直径为（）2326B．

31283393393A．C．D．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由

A

的度数求出

sinA

的值，再由

b

及已知的面积求出

c

的值，利用余弦定理求出

a

的值，根据正弦定理即可求出三角形

ABC

外接圆的直径．【解答】解：∵∠A＝60°，b＝1，S△ABC=3，123∴S△ABC∴c＝4，=bcsinA，即

4

c

=

3，根据余弦定理得：a

＝b2+c2﹣2bccosA＝17﹣

＝13，24∴a

=

13，푎1323则根据正弦定理得：2R

=

푠푖푛퐴==39．3212202高考【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的12故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．10．（5分）（2013•许昌三模）已知三个互不重合的平面

α，β，γ，且

α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若

a⊥b，a⊥c，则

b⊥c；②若

a∩b＝P，则

a∩c＝P；③若

a⊥b，a⊥c，则

α⊥γ；④若

a∥b，则

a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若

a⊥b，a⊥c，则

b，c

夹角不确定，若

a⊥b，a⊥c，则

a⊥γ，又

a⊂α，得到

α⊥γ，得到结论．【解答】解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若

a⊥b，a⊥c，则

b，c

夹角不确定，故①不正确，若

a⊥b，a⊥c，则

a⊥γ，又

a⊂α，得到

α⊥γ，故③正确，综上可知三个命题正确，故选：C．【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系．13故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式1302111．（5分）（2021•尖山区校级四模）已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为

2，则该考复几何体的表面积为（）A．46B．52﹣πC．52+3πD．46+2π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】几何体为长方体中挖去一个半圆柱．共含有

1个曲面和

7个平面．【解答】解：由三视图可知几何体为一个长方体挖去一个半圆柱，长方体的长宽高分别是

4，3，2．半圆柱的底面半径为

1．12∴几何体的前后面面积为

2×（2×4

-

휋

×1

）＝16﹣π，几何体的左右面面积为

2×3×2＝12．2几何体的底面积为

3×4＝12．几何体的上表面面积为

2×3×1+π×1×3＝6+3π．∴几何体的表面积

S＝16﹣π+12+12+6+3π＝46+2π．故选：D．【点评】本题考查了常见几何体的三视图，结构特征和面积计算，属于基础题．12．（5分）（2021秋•安图县期中）设函数

f（x）在

R

上存在导数

f'（x），∀x∈R

有

f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上

f'（x）＜x，若

f（2﹣m）﹣f（m）≥2﹣2m，则实数

m

的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[﹣1，1]D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．1402111．（5分）（2021•尖山区校级四模）已知某几何14【专题】4M：构造法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．1【分析】f（﹣x）+f（x）＝x

，可得

（

）﹣2fxx2+f（﹣

）＝

，构造

（

）＝

（

）

-

x2．可得函数x0gxfx2g（x）为奇函数．x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，可得函数

g（x）在（0，+∞）上是减函数，因此函数

g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，即可得出．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x

，∴

（

）﹣2fxx2+f（﹣

）＝0，x1设

g（x）＝f（x）

-

x2．2∵g（﹣x）+g（x）＝f（x）﹣x2+f（﹣

）＝

，x0∴函数

g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，故函数

g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数

g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由

f（0）＝0，可得

g（x）在

R

上是减函数．(2‒

푚)2푚22

，f（2﹣m）﹣f（m）≥2﹣2m

等价于

f（2﹣m）

-≥

f（m）

-2即

g（2﹣m）≥g（m），∴2﹣m≤m，解得

m≥1．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（包括

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）→→→→1．（5分）（2021秋•安图县期中）已知a

=(1，1，푥)，푏

=(1，2，1)若a

⊥

푏，则

x＝﹣3

．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．15【专题】4M：构造法；53：导数的综合应用；59：不等式的解15【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的定义直接求解．→→→→【解答】解：∵a

=(1，1，푥)，푏

=(1，2，1)，a

⊥

푏，→→∴a

⋅

푏

=1+2+x＝0，解得

x＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质的合理运用．11312．（5分）（2021春•徐州期中）用数学归纳法证明1

+

2++⋯

+＜푛（n∈N*，n＞1）时，第一步2푛

‒

111应验证的不等式是

1

+

+

＜2

．23【考点】RG：数学归纳法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4F：归纳法；55：点列、递归数列与数学归纳法．1【分析】直接利用数学归纳法写出

n＝2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从

1加到

2，不2

‒

1要漏掉项．12131【解答】解：用数学归纳法证明1

+++⋯

+＜푛（n∈N

，n＞1）时，+2푛

‒

11213第一步应验证不等式为：1

++＜2；1213故答案为：1

++＜2【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证

n＝n

时结论是否成立，此时一定要分析不等0式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．16【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平163．（5分）（2021秋•安图县期中）已知函数

f（x）＝|lgx|，若

m＜n，有

f（m）＝f（n），则

10m+n

的取值范围是

[2

10，+∞）．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据对数函数的性质可得

mn＝1，再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：函数

f（x）＝|lgx|，若

m＜n，有

f（m）＝f（n），∴﹣lgm＝lgn，1∴=n，푚即

mn＝1，1

，n

=

10时取等号，∴10m+n≥2

10mn

=2

10，当且仅当

m

=10故

10m+n

的取值范围为[2

10，+∞），故答案为：[2

10，+∞）【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．4．（5分）（2021秋•安图县期中）已知三棱锥

A﹣BCD

内接于半径为

5的球

O

中，AB＝CD＝4，则三棱16锥

A﹣BCD

的体积的最大值为

3

．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过

CD

作平面

PCD，使

AB⊥平面

PCD，交

AB

于

P，设点

P

到

CD

的距离为

h，则当球的直径通过

AB

与

CD

的中点时，h

最大为

2，从而得到四面体

ABCD

的体积的最大值．【解答】解：过

CD

作平面

PCD，使

AB⊥平面

PCD，交

AB

与

P，1128设点

P

到

CD

的距离为

h，则三棱锥

A﹣BCD

的体积

=

3××4×ℎ

×4=

ℎ，3173．（5分）（2021秋•安图县期中）已知函数f（x）172当球的直径通过

AB

与

CD

的中点时，h

最大为

2

5

-

2

=2．8163

，则四面体

ABCD

的体积的最大值为

V

=

ℎ

=316故答案为：

3．高【点评】本题主要考查球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属中档题．三、解答题（包括

6

小题，共

70

分）421．（10分）（2021秋•安图县期中）已知集合A

=

{x|푥

＜4}，퐵

={푥|1＜}．푥

+3（1）求集合

A∩B；（2）若不等式

2x2+ax+b＜

的解集为

，求

，

的值．0Aab【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】（1）解不等式得集合

A、B，根据交集的定义写出

A∩B；（2）根据不等式

2x2+ax+b＜

的解集，利用根与系数的关系求出

、

的值．0ab【解答】解：集合

A＝{x|x

＜4}＝{x|﹣

＜

＜2}，22x4푥

‒

1푥

+3B＝{x|‒

1＞0}＝{x|＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}；푥

+3（1）集合

A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）；182当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为218（2）不等式

2x2+ax+b＜

的解集为（﹣

，

），022则﹣2和

2是方程

2x2+ax+b＝

的实数根，0푎-

2

+

2

=-{由根与系数的关系知，2，푏‒

2×2=2解得

a＝0，b＝﹣8．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．휋2．（12分）（2021秋•安图县期中）已知函数f(x)

=

Asin(ωx

+

φ)(퐴＞0，|휑|＜

)的部分图象如图所2示．练（1）求函数

f（x）的解析式；퐴（2）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别是

a，b，c，若asin2B

=

3푏푠푖푛퐴，求f(4)的取值范围．试卷【考点】H2：正弦函数的图象；HJ：函数

y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由

y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．휋【分析】（1）根据最值得出

A，根据周期得出

ω，利用

f（

）＝1得出

φ，从而得出

f（x）的解析6式；19（2）不等式2x2+ax+b＜的解集为（﹣，），0219퐴（2）利用正弦定理得出

B，从而得出

A

的范围，根据正弦函数的性质得出f(

)的取值范围．4【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为

1，最小值为﹣1，∴A＝1，5휋

휋由图象可知

f（x）的周期为

T＝（12

‒

）×4＝π，62휋∴ω

=푇

=2，휋휋휋又

f（

）＝sin（

+φ）＝1，|φ|＜

，632휋∴φ

=

6．휋∴y

=

sin(2x

+

6)．（2）∵asin2B

=

3푏푠푖푛퐴，∴2sinAsinBcosB

=

3sinBsinA，3휋，∴cosB

=

2

，即

B

=

65휋∴0＜A＜

6，퐴퐴휋∴f（

）＝sin（

+

），4265휋휋

퐴

휋

7휋∵0＜A＜

6

，∴

＜

+

＜12，6261퐴휋∴

＜sin（

+

）≤1．226퐴1∴f(

)的取值范围是：(

，1]．42【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．3．（12分）（2021秋•安图县期中）已知矩形

ABCD

与正三角形

AED

所在的平面互相垂直，M，N

分别为20퐴（2）利用正弦定理得出B，从而得出A的范围，根据正弦20棱

BE，AD

的中点，AB＝1，AD＝2．（1）证明：直线

AM

平行平面

NEC；（2）求异面直线

AM

与

CN

的成角余弦值．高考【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行．【专题】31：数形结合；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】（1）取

EC

的中点

F，连结

FM，FN，证明四边形

AMFN

为平行四边形，从而证明直线

AM∥平面

NEC；（2）由（1）知

AM∥NF，∠CNF

是异面直线

AM

与

CN

所成的角，根据空间中的垂直关系，利用余弦定理求出

cos∠CNF

的值．【解答】解：（1）证明：如图所示，取

EC

的中点

F，连结

FM，FN，11则

FM∥BC，FM

=

BC，AN∥BC，AN

=

BC，22所以

FM∥BC

且

FM＝BC，所以四边形

AMFN

为平行四边形，所以

AM∥NF；因为

AM⊄平面

NEC，NF⊂平面

NEC，所以直线

AM∥平面

NEC；21棱BE，AD的中点，AB＝1，AD＝2．高考【考点】LM21（2）由（1）知，AM∥NF，∴∠CNF

是异面直线

AM

与

CN

所成的角，平面

AED⊥平面

ABCD，NE⊥AD，∴NE⊥平面

ABCD，∴NE⊥NC，3又

NE

=

2

AD

=

3，又

CD⊥平面

AED，∴CD⊥DE，22∴CE

=

1

+2

=

5，22∴CN

=

퐶퐸

‒

푁퐸

=

5

-

3

=

2；15，又

NF＝FC

=

CE

=

22222푁퐹

+퐶푁

‒

퐶퐹210=

5∴cos∠CNF

==，2푁퐹

⋅

퐶푁52×

2

×

210即异面直线

AM

与

CN

的成角余弦值为

5．试卷【点评】本题考查了直线与平面平行的判断问题，也考查了异面直线所成角的计算问题，是中档题．4．（12分）（2021秋•安图县期中）已知数列{a

}满足

a

＝2a+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且

a

＝5．1nnn﹣1（1）求

a

，a

的值；23푎푛

+휆（2）若数列{}为等差数列，请求出实数

λ；2푛22（2）由（1）知，AM∥NF，∴∠CNF是异面直线AM22（3）求数列{a

}的通项公式及前

n

项和为

S

．nn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接由数列递推式结合数列首项求得

a

，a

的值；23푎푛

+휆5+휆

33+휆

13+휆，求解可得

λ；（2）由数列{}为等差数列可得+=2푛282푎푛

+휆（3）由（2）求得数列{}的通项公式，进一步可得数列{a

}的通项公式，再由错位相减法求和．n2푛푛【解答】解：（1）∵a

=2푎+2

‒

1，푛푛

‒

123∴a

＝5，a

=2푎

+2

‒

1，得

a

＝13，a

=2푎

+2

‒

1，得

a

＝33；1212323푎푛

+휆푎1

+휆

푎3

+휆푎2

+휆（2）∵{}为等差数列，∴+=2()，2푛223225+휆

33+휆

13+휆即+=，得

λ＝32﹣33＝﹣1；282푎1

‒

1푎2

‒

1（3）由（2）得=2，=3，222푎푛

‒

1

푎1

‒

1∴d＝1，则=+(푛

‒

1)×1=푛

+1，2푛2푛∴a

=(푛

+1)2

+1，푛12푛令T

=2×2

+3×2

+⋯

+(푛

+1)×2

，푛2푇

=2×2

+3×2

+⋯

+(푛

+1)×2푛

+

1，23푛23푛푛

+

1=‒

푛2푛

+

1，∴

-

푇

=4+2

+2

+⋯

+2

‒

(푛

+1)×2푛∴T

=푛2푛

+

1，푛푛

+

1∴S

=푛2+푛．푛【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列的性质，训练了错位相减法求数列的前

n

项和，是23（3）求数列{a}的通项公式及前n项和为S．nn【23中档题．5．（12分）（2021•新课标Ⅲ）如图，四面体

ABCD

中，△ABC

是正三角形，△ACD

是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面

ACD⊥平面

ABC；（2）过

AC

的平面交

BD

于点

E，若平面

AEC

把四面体

ABCD

分成体积相等的两部分，求二面角

D﹣高考AE﹣C

的余弦值．练【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）如图所示，取

AC

的中点

O，连接

BO，OD．△ABC

是等边三角形，可得

OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD＝CD．△ACD

是直角三角形，可得

AC

是斜边，∠ADC＝90°．可1得

DO

=

AC．利用

DO2+BO2＝AB2＝BD2．可得

OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即2可证明．ℎ퐷퐷퐸（2）设点

D，B

到平面

ACE

的距离分别为

h

，h

．则

=

퐵퐸．根据平面

AEC

把四面体

ABCD

分成DEℎ퐸13푆

△

퐴퐶퐸

⋅

ℎ퐷ℎ퐷퐷퐸体积相等的两部分，可得=

ℎ퐸

=

퐵퐸

=1，即点

E

是

BD

的中点．建立如图所示的空间直角13푆

△

퐴퐶퐸

⋅

ℎ퐸坐标系．不妨取

AB＝2．利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，取

AC

的中点

O，连接

BO，OD．∵△ABC

是等边三角形，∴OB⊥AC．24中档题．5．（12分）（2021•新课标Ⅲ）如图，四面体24△ABD

与△CBD

中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．∵△ACD

是直角三角形，∴AC

是斜边，∴∠ADC＝90°．1∴DO

=

AC．2∴DO2+BO2＝AB2＝BD2∴∠BOD＝90°．∴OB⊥OD．．又

DO∩AC＝O，∴OB⊥平面

ACD．又

OB⊂平面

ABC，∴平面

ACD⊥平面

ABC．ℎ퐷퐷퐸（2）解：设点

D，B

到平面

ACE

的距离分别为

h

，h

．则

=

퐵퐸．DEℎ퐸∵平面

AEC

把四面体

ABCD

分成体积相等的两部分，1푆

△

퐴퐶퐸

⋅

ℎ퐷ℎ퐷퐷퐸3∴=

ℎ퐸

=

퐵퐸

=1．13푆

△

퐴퐶퐸

⋅

ℎ퐸∴点

E

是

BD

的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取

AB＝2．31则

O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，

3，0），E(0，

2

，

)．231→→→AD

=（﹣1，0，1），AE

=(

-

1，

，

)，AC

=（﹣2，0，0）．2225△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CB25→→-

x

+

z

=

03

1→{，即{→m

⋅

퐴퐷

=0设平面

ADE

的法向量为m

=（x，y，z），则，取m

=(3，

3，3)→→‒

푥

+

2

푦

+

푧

=0푚

⋅

퐴퐸

=02．→同理可得：平面

ACE

的法向量为n

=（0，1，

-

3）．→→푚

⋅

푛‒

2

37→→∴co高s＜푚，푛＞

=考==‒复．→→21×27|푚||푛|7∴二面角

D﹣AE﹣C

的余弦值为．7练【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．푎6．（12分）（2015•石家庄校级模拟）已知函数

f（x）＝exlnx

-

푥

，函数

f（x）在

x＝1处的切线与

y

轴22垂直．（1）求实数

a

的值；푏（2）设

g（x）＝f'（x）﹣f（x），h（x）

=-

푥

‒

lnx，若对任意的

x

，x

∈（0，+∞），都有

g（x

）≥121h（x

）成立，求实数

b

的取值范围．2【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．26→→-x+z=0→{，即{→m⋅퐴퐷=0设26【分析】（1）由条件便知，切线的斜率为

0，而根据

f（x）在

x＝1处的导数等于斜率，便可建立关于a

的方程，这样即可得到

a＝e；（2）先求出

g（x），然后求导数，从而可根据导数符号得出

g（x）的最小值，问题转化为

b≥﹣xlnx푒푥푒푥-

2

恒成立，可设

u（x）＝﹣xlnx

-

2

，从而根据导数可求出该函数在（0，+∞）上的最大值，这样即可得出实数

b

的取值范围．푒푥【解答】解：（1）f′（x）＝exlnx

+

푥

‒

ax；切线和

轴垂直；y∴切线斜率为

0；∴f′（1）＝e﹣a＝0；∴a＝e；푒푥푒푒푥（2）g（x）

=

푥‒

ex

+x

，

′（

）＝（

﹣

）（2gxx

1+e）；2푥2∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；푒∴g（1）

=

是

g（x）在（0，+∞）上的最小值；2푒푏根据题意

≥‒

‒

lnx

在（0，+∞）上恒成立；2푥푒푥푒푥푒∴b≥﹣xlnx

-

2

恒成立，设

u（x）＝﹣xlnx

-

2

，u′（x）＝﹣lnx﹣1

-；2푒令

u′（x）＝0得，x＝e（﹣1）；-2푒푒∴0＜x＜e（﹣1）e（﹣1

-时，u′（x）＞0，x＞）时，

′（

）＜0；ux-22푒‒푒2푒푒푒푒‒‒

1；∴x＝e（﹣1）时，u（

）取到最大值（x1

+）e（﹣1）=e2---2222푒‒‒

1；2∴b

≥

푒27【分析】（1）由条件便知，切线的斜率为0，而根据f（x）27푒‒‒

1，+∞）．2∴实数

b

的取值范围为：[e【点评】考查函数在图象上某点的切线斜率和该函数在该点的导数的关系，根据导数符号求函数的最值的方法和过程，掌握恒成立问题的处理方法．28푒‒‒12∴实数b的取值范围为：[e【点评】考查函数在282021-2021

学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（包括

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）11．（5分）∫(푒푥

+푥)푑푥的值为（）-

1111212A．e

-

푒B．e

+

푒C．e

+D．e

-2．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走

378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了

6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里휋3．（5分）若将函数

y＝2sin3x

的图象向左平移

个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）12휋휋푘휋A．x

=+2푘휋(푘

∈

푍)B．x

=+

3

(푘

∈

푍)12125휋휋푘휋C．x

=

36

+2푘휋(푘

∈

푍)D．x

=+

3

(푘

∈

푍)364．（5分）已知全集

U＝R，集合A

=

{푥|푦

=

1‒

푥

}，集合

B＝{y|y＝2x}，则

A∩∁

B

为（）2UA．[﹣1，0]

D．[0，1]B．[﹣1，0）C．（0，1]5．（5分）若复数

z

满足（1+2i）z

=5，i

为虚数单位，则

z

的虚部为（）A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i6．（5分）已知等差数列{a

}的前

n

项和为

S

，若

a

+a

+a

＝9，是

S

的值为（）nn67813A．117B．28C．39D．567．（5分）有下列结论：12021-2021学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学29（1）命题

p：∀x∈R，x

＞

总成立，则命题20¬p

∀x∈R

x2：，

≤0总成立．푥2（2）设

p：＞0，푞：푥

+x﹣2＞0，则

p

是

q

的充分不必要条件．푥

+2（3）命题：若

ab＝0，则

a＝0或

b＝0，其否命题是真命题．→→→→→→→→→（4）非零向量a和b满足|a|=|푏|=|푎

‒

푏|，则a与a

+

푏的夹角为

30°．其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2x

-

y

-

2

≥

03푥

+푦

‒

8≤

0푥

+2푦

‒

1≥

0푦

+2{8．（5分）点

P（x，y）为不等式组所表示的平面区域上的动点，则푥

+1最小值为（）4314A．B．C．1D．09．（5分）在△ABC

中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC=3，则△ABC

的外接圆直径为（）2326B．

3128393393A．C．D．310．（5分）已知三个互不重合的平面

α，β，γ，且

α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若

a⊥b，a⊥c，则

b⊥c；②若

a∩b＝P，则

a∩c＝P；③若

a⊥b，a⊥c，则

α⊥γ；④若

a∥b，则

a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为

2，则该几何体的表面积为2（1）命题p：∀x∈R，x＞总成立，则命题20¬p∀3020（）A．46B．52﹣πC．52+3πD．46+2π12．（5分）设函数

f（x）在

R

上存在导数

f'（x），∀x∈R

有

f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上

f'（x）＜x，若

f（2﹣m）﹣f（m）≥2﹣2m，则实数

m

的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[﹣1，1]D．[1，+∞）二、填空题（包括

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）→→→→1．（5分）已知a

=(1，1，푥)，푏

=(1，2，1)若a

⊥

푏，则

x＝

．121312．（5分）用数学归纳法证明1

+是

．++⋯

+＜푛（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证的不等式2푛

‒

13．（5分）已知函数

f（x）＝|lgx|，若

m＜n，有

f（m）＝f（n），则

10m+n

的取值范围是

．4．（5分）已知三棱锥

A﹣BCD

内接于半径为

5的球

O

中，AB＝CD＝4，则三棱锥

A﹣BCD

的体积的最大值为

．三、解答题（包括

6

小题，共

70

分）421．（10分）已知集合A

=

{x|푥

＜4}，퐵

={푥|1＜}．푥

+3（1）求集合

A∩B；（2）若不等式

2x2+ax+b＜

的解集为

，求

，

的值．0Aab320（）A．46B．52﹣πC．52+3πD．46+2π31휋2．（12分）已知函数f(x)

=

Asin(ωx

+

φ)(퐴＞0，|휑|＜

)的部分图象如图所示．2（1）求函数

f（x）的解析式；퐴（2）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别是

a，b，c，若asin2B

=

3푏푠푖푛퐴，求f(4)的取值范围．高考3．（12分）已知矩形

ABCD

与正三角形

AED

所在的平面互相垂直，M，N

分别为棱

BE，AD

的中点，AB＝1，AD＝2．（1）证明：直线

AM

平行平面

NEC；（2）求异面直线

AM

与

CN

的成角余弦值．4．（12分）已知数列{a

}满足

a

＝2a+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且

a

＝5．1nnn﹣1（1）求

a

，a

的值；23푎푛

+휆（2）若数列{}为等差数列，请求出实数

λ；2푛（3）求数列{a

}的通项公式及前

n

项和为

S

．nn5．（12分）如图，四面体

ABCD

中，△ABC

是正三角形，△ACD

是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．4휋2．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+32（1）证明：平面

ACD⊥平面

ABC；（2）过

AC

的平面交

BD

于点

E，若平面

AEC

把四面体

ABCD

分成体积相等的两部分，求二面角

D﹣AE﹣C

的余弦值．高考푎6．（12分）已知函数

f（x）＝exlnx

-

푥

，函数

f（x）在

x＝1处的切线与

y

轴垂直．22（1）求实数

a

的值；푏（2）设

g（x）＝f'（x）﹣f（x），h（x）

=-

푥

‒

lnx，若对任意的

x

，x

∈（0，+∞），都有

g（x

）≥121h（x

）成立，求实数

b

的取值范围．25（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平332021-2021

学年吉林省延边州安图县高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（包括

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）1．（5分）（2021秋•安图县期中）∫1(푒푥

+푥)푑푥的值为（）-

111112A．e

-

푒B．