皇家统计学会专业考试

皇家統計學會考試（原統計學家協會考試）統計學高級證書，1996試題I:統計理論

時間：3小時

考生應解答5題,每題分數相同

提供畫圖紙和相關用表。考生可使用無聲、無線、不可編程電子計算器。

使用計算器處必須詳細說明計算方法。注:-Cr，ln=loge1隨機變量X服從分佈：P(X=x)=-r*-v=Jt2»3,4*5:-0其餘畫出這個分佈的圖並計算 E(x),V(x)。(ii)隨機變量X,,X2和X3相互獨立，並且每個都与 X同分佈求出P(X,=X2)和P(X,=X2=X3)▼2用P(Xi：：：X2)=P(X2：：：Xi)的事實，或其它的，證明P(X,：：：X2)=-5對X2的所有可能值x2,考察P(Xi::：X2),P(X3：：：X2).由此或其它，證明「6P(Xi：X2且X2：X3)二252。(i)在回答一個多項選擇測驗的問題中，學生要麽知道答案要麽猜。設 p是學生知道答案的概率，並假定不知道答案的學生會從所給的 m個選項中隨機抽取一個答案。證明在學生回答正確的條件下學生知道答案的條件概率是：trip\+l/n-l)p亠屮 1如果p，試題應包括多少個選擇答案才能保證回答對問題的學生確實知道答案的可能性2不少于90%*一種在CobleyFair玩的遊戲是指對準一目標投 3個毬。至少連續兩次投中的選手獲勝。這裡有個規則：在每次投球時必須換手。所以現在有兩種策略：用右手，左手，右手的次序投毬，和用左，右，左的次序投毬。假定一個右手型選手用右手投中的概率爲 0.8而左手只有0.4寫出用每種策略可能的結果和它們的概率 .確定哪種策略定對右手選手較優並計算在每種策略下投中個數的期望值，評論你的結果。3隨機變量X服從貝努里分佈时IP(X=X)=pT(I-pT,T=0.1....n.=u其餘其中n是一正整數,p是概率且0：：：p::1(a)計算E(x)

(b(b)證明Z1!^V=.v十1) (/»-.v)pP(A=.v)-(.v+ljll-p)由此，或用其他方式來證明 ：如果對某個整數kP(X=k)=P(X=k•1),那麽(n1)p必定是一個整數，如果(n1)p不是一整數,證明該分佈由的眾數m由(n1)p的整數部分［(n■1)p］給出。在什麽條件下均值將等於種數？給出貝努里分布在下列情況下n,p的取值的例子(i)均值大於眾數(ii)眾數大於均值(c)假設，在一大群人中，有 20%勺支持使用單一的歐元貨幣，求在容量爲 25人的隨機樣本中最多有2個人持這種觀點的概率。4.一報童買了一批報紙用每張 20p買進用每張30p賣出，報紙的需求量是隨機變量 D,其分布為PfD=28)=P(Z)=32j)=aiF(D=29)=P(D=31)=02HD= =0.4如果報童的存貨量是s,需求量是d,則利潤(單位便士) G爲d)=Hid-2n,s；=11Lv.由此可獲得下表中沒有列出的 G(s,d)值:1>em；nul2829 3022呂■ar*<■SkK：k529290fei,,sg.5(.1240a*300hBai5I31032230計算儅s=28,29,…,32時報童期望的利潤和儅 s=29,30時他的利潤的方差。評論你的結果,並推薦s的最好的選擇5.隨機變量X服從泊拉松概率質量函數-”plX=x)-e—plX=x)V1川其餘證明E(x)=V(x)=■1劃出儅 和兔=2時的這個函數的草圖2

從上面的分佈抽取一隨機樣本 x1,x2,...,xn:求出•的極大似然估計?並説明它是否是無偏的。用V(x)=•的事實寫出•第二個無偏估計，記爲 ?，陳述你更喜歡?或?的一個的理由。在一個特殊的例子裏，樣本被得到：計算盒,論給出的樣本方差是112這個結果。後來你發現觀察值 35是錯誤記錄它應該是8.對改正后的數據重新計算 ?ml和s2，並作簡短的評論。6.在某一國家，家庭收入X服從6.在某一國家，家庭收入X服從Pareto分佈,其密度爲:■M.YIi其餘C/是正常數計算X的纍積分佈函數F(x)，並劃出f(x),F(x)的圖證明在〉=3時這個分佈的中位數和四分位數爲=1IOO64<-M=125992c2=U&740c到小數點后5位.考慮二=3的情況。設隨機變量Y服從正態分佈並且与X有相同的中位數和四分位數間距。證明近似式V(Y)=0.1302c2。比較p(Y:::c)和p(X:::c)，並比較p(Y2c)和p(X2c)，評論你的結果。7隨機變量X服從指數分佈，其概率密度函數(pdf)爲:/(.r)= x>0,A>0i-0其餘隨機變量Y被定義爲Xc,c是一正常數(a)(i)在同一張圖上劃出X和Y的概率密度函數的草圖(ii)找出X的均值和方差，並用Y-c=X的事實，或其它方法，推斷Y的均值和方差。(b)(i)計算p(X-x)(ii)獨立的隨機變量x1,x2,...,xn与X有相同的分佈證明:巩仏>A\> ... >.t)=e並由此證明或用其他方法證明HZ莖工l=l-k山「工心這裡z=min（X1,X2,...,Xn）是X1,X2,...,Xn最小值導出Z的概率密度函數，寫出W的概率密度函數這裡W=min（¥，…,Yn）並且Y=Xic,i=1,...,n評論你的結果。8定義隨機變量X和Y的乘積矩相關；-，並寫出成對數據（Xj,yi）,i二1,...,n的樣本乘積矩相關係數的表達式。劃出散點圖説明下列情況：（a） X和Y非常相關（b） X和Y弱相關（c） X和Y不相關但不獨立數學考試的每位應考者得到兩份試