概率论古典概率教师用

一、课前准备在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验，试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总.试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总.二、学习新课1．引入：课堂提问：在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？学生回答：在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是.在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等，即它们的概率都是.2．引入新的概念：基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件.古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率.（1）一次试验所有的基本事件只有有限个.例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等.试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同.随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象.随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A、B等来表示.必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作.例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.不可能事件：实验中不可能出现的事件叫做不可能事件，记作.例1：从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.利用树状图可以将它们之间的关系列出来.我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.（树状图）解：所求的基本事件共有6个：，，，，，例2：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概率吗?为什么？答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概率的第一个条件.（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什么？答：不是古典概率，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概率的第二个条件.3．概率公式推导：随机事件A出现的概率记作P（A）基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.例3：掷骰子试验中，结果为奇数的概率是多少？问题1：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”包含哪些基本事件？随机事件“结果是奇数”包含基本事件“1点”、“3点”、“5点”.问题2：掷骰子试验中，所有基本事件由哪些？所有的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”.问题3：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”记为事件A，事件A的概率是多少？P（A）=例4：同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？分析：我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果：（1，1）、（1、2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2、2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3、2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4、2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5、2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6、2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共包含了36件基本事件.解答：（1）有36种不同结果.（2）点数之和为5可以记作随机事件A，它所包含的基本事件有：（1，4）、(2、3)、（3，2）、（4，1），故共有4种结果.（3）随即事件A的概率是：学生思考并推导概率计算公式：用集合语言表示：设表示所有的基本事件，基本事件的集合就是必然事件，记为，所以随机事件A看作的某个子集，则三、巩固练习例5：一个袋中装有6只球，其中4只是白球,2只是红球.求下列事件的概率：

（1）摸出的两球都是白球；

（2）摸出的两球1只是白球、另1只是红球.解：设4只白球的编号为1，2，3，4，两只红球的编号为5，6.从袋中的6只球中任意摸出两只，可能的结果（记“摸出1，2号球”为（1，2））有:

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个结果，即共有15个基本事件.（1）从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种基本事件满足“两球都是白球”的条件，记随机事件“两球都是白球”为字母A，故.

（2）从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共8种可能的结果满足“1只是白球、1只是红球”的条件，记随机事件“1只是白球、一只是红球”为字母B，它包含8个基本事件，故.例6：(涂漆问题)把一个体积为64cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成64个体积均为1cm3的小正方体，并从中任取一块，试求：

（1）这一块没有涂红漆的概率；

（2）这一块恰有一面涂红漆的概率；

（3）这一块恰有两面涂红漆的概率；

（4）这一块恰有三面涂红漆的概率；

（5）这一块恰有四面涂红漆的概率.解：把体积为64cm3的正方体木块锯成64块体积为1cm3的小正方体，其中没有涂红漆的有8块，恰有一面涂红漆的有24块（6个面，每面22块），恰有两面涂红漆的有24块（12条棱，每条棱2块），恰有三面涂红漆的有8块（8个顶点），恰有四面涂红漆的木块不存在，所以：（1）“这一块没有涂红漆”记为随机事件A，则概率为;

（2）“这一块恰有一面涂红漆”记为随机事件B，则随机事件B的概率为;

（3）“这一块恰有两面涂红漆”记为随机事件C，则随机事件C的概率为;

（4）“这一块恰有三面涂红漆”记为随机事件D，则随机事件D的概率为

（5）“这一块恰有四面涂红漆”是不可能事件，其概率为.对于必然事件、不可能事件和随机事件，下面4个事实值得我们注意：（1）不可能事件的概率为零，即；（2）必然事件的概率为1，即；（3）对任意随机事件E，有；（4）若，则四、课堂小结1．古典概型：我们将具有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：3．求某个随机事件A发生的概率，要先求出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，注意做到不重不漏.17.1古典概率（2）一、教学内容分析本节课是高中数学古典概率的第二课时，是在学生学习古典概率第一节课情况下的教学.学生已经掌握了古典概率的基本概念，并且会求简单的古典概率.学好古典概率可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中常见的一些问题.二、教学目标设计在前面教学的基础上进一步加深对古典概率的理解，会运用古典概率的公式解决一些概率问题.三、教学重点及难点重点是求随机事件的概率，难点是运用前面学过的排列组合的知识解决随机事件的基本事件数及试验中所有的基本事件数.四、教学用具准备多媒体设备五、教学过程设计一、课堂复习回顾上节课的基本概念，包括基本事件、随机现象、随机事件，复习古典概率的概念，及其求古典概率的公式.二、学习新课例1：一枚硬币连掷四次，试求恰好出现两次是正面的概率？最后两次出现正面的概率？解：一枚硬币连掷四次会有24=16种结果，我们可以将恰好出现两次是正面记为随机事件A，最后两次出现正面记为随机事件B.则随机事件A所包含的基本事件数就为，即四次中选择两次为正面，其余两次则为反面，故.随机事件B所包含的基本事件数为22，即前两次有22个结果，后两次均为正面，故.例2：一批产品共有82只，其中6只特级品，现拿出2只;（1）全是特级品的概率?（2）只有1只特级品的概率？（3）都不是特级品的概率？解：从82只产品中拿出2只会有种结果，全是特级品记为随机事件A，只有1只特级品记为随机事件B，都不是特级品记为随机事件C.随机事件A包含的基本事件数为，故随机事件B包含的基本事件数为，故随机事件C包含的基本事件数为，故.例3：现有一批产品共10件，其中8个正品，2个次品；（1）若从中取1件，然后放回，再取1件，再放回，再取1件，求连续3次都是正品的概率？（2）若从中1次取3件，求3件都是正品的概率解：我们可以将产品编号为1至10号.三次放回地取产品会有103个结果，连续三次都是正品记为随机事件A，随机事件A所包含的基本事件数为83，则.从中一次取3件，会有种结果，3件都是正品记为随机事件B，随机事件B所包含为的基本事件数为，则.例4：某单位36人，A型血12人，B型血10人，AB型血8人，O型血6人，现任取2人，求同一血型概率.解:从36人中选2人，会有种结果.所选2人为同一血型记为随机事件A，随机事件A包括同为A型，同为B型，同为AB型，同为O型.同为A型有人，同为B型有人，同为AB型有人，同为O型有人.随机事件A包括的基本事件数为+++.故例5：从一副牌（52）张中，任取4张，求下列情况：（1）取出4张全是“A”;（2）取出4张的数字相同;（3）取出4张全是黑桃;（4）取出4张的花色相同;（5）取出4张的花色各不相同.解：取出4张有个结果.（1）4张全是“A”记为随机事件A，只有一个结果，4张为4个花色的A，故（2）取出4张的数字相同记为随机事件B，52张牌中共有13种数字，每种数字有4个花色，所以随机事件B包括个基本事件，故所求随机事件概率为.（3）取出4张全是黑桃记为随机事件C，13张黑桃中取出4张，所以有.（4）取出4张相同花色记为随机事件D，4种花色选一种，在选出的花色中13张牌再选出4张相同花色，故随机事件D共有个基本事件，故=.例6：有九张卡片分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回）.（1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率；（2）求甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率.解：（1）甲、乙二人一次从九张卡片中各抽取一张的结果有，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字记为随机事件A，随机事件A包含的基本事件数为，故.（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片记为随机事件B，随机事件B包括“甲抽到奇数，乙抽到偶数”、“甲抽到偶数，乙抽到奇数”、“甲乙均抽到奇数”，故例7：从1到9九个数字中不重复地取出3个组成3位数，求：（1）这个3位数是偶数的概率；（2）这个3位数是5的倍数的概率；（3）这个3位数是4的倍数的概率；（4）这个3位数是3的倍数的概率.解：9个数字中取出3个组成3位数，有个结果.（1）“3位数是偶数”记为随机事件A，有个结果，=;（2）“3位数是5的倍数”记为随机事件B，末尾须是5，故随机事件B包含个结果，所以;（3）“3位数是4的倍数”记为随机事件C，3位数是4的倍数须后两位能被4整除，后两位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件C包含个结果，故.（4）“3位数是3的倍数”记为随机事件D，3位数是3的倍数须各个位置上的数字之和能被3整除，9个数字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，所以3位数被3整除包括4种情况：三个数字均被3整除；三个数字都被3除余1；三个数字都被3除余2；三个数字一个被3整除、一个被3除余1、一个被3除余2，故.三、课堂小结学习古典概率需要了解所求随机事件所包含的基本事件数，在这过程中，简单问题我们可以通过列举法、图表法简单得可以数出，但相对于复杂问题，就需要大家利用排列组合的知识来加以解决，我们既要搞清楚基本事件的总数，又要搞清楚随机事件的基本事件数，只有这样才能准确地求随机事件的概率.四、作业布置(略)五、教学设计说明这是古典概率的第二节课，在前面一节课中学生们已经对概率有了一定了解，会计算一些简单概率问题，本节课是对概率学习的一个提高.学生在前面一个阶段学习过排列组合，所以对于本节课的学习一方面是巩固古典概率，另一方面也是对前面排列组合学习的复习和实际应用.在课程设计中以讲解例题为主，题目由简到难，层层递进，既有数字问题，也有扑克牌问题，对于例题的选取注意了相对的全面性，在方法上注意以排列组合为主，还加了隔板法的问题，希望对学生们学习古典概率有帮助.本资料来源于《七彩教育网》17、概率17．1随机事件及概率【知识网络】1． 了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义。2． 了解概率的统计定义以及频率与概率的区别。【典型例题】[例1]（1）下列事件属于不可能事件的为 （ ） A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4 B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8 C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12 D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16（2）给出下列事件： ①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了； ③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A、B、C，满足AB，BC，则AC； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签； ⑥7月天下雪； ⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数； ⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯． 其中属于随机事件的有 A．4个 B．4个 C．5个 D．6个（3）每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是 （ ） A．正确的 B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的（4）利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼睛的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则他是团员的概率为，他戴着眼睛的概率为．（5）掷三颗骰子，点数之和的事件为必然事件，点数之和的事件为不可能事件。【例2】某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示：抽取球数50100200500100020005000优等品数459219447095419024740优等品频率（1）计算表中乒乓球优等品的频率； （2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）【例3】给出下列事件： ①三角形内角和为180°； ②对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)是递增的； ③某体操运动员在某次运动会上获得全能冠军； ④在标准大气压下，水的沸腾温度为90°； ⑤从7件正品、3件次品中，任意抽出3件产品全为次品； ⑥明天是晴天； ⑦方程x2+2x+3=0无实数根； ⑧三角形的最小内角不大于60°； ⑨常温下，焊锡熔化； ⑩发芽的种子不分蘖． 其中属于必然事件的有；属于不可能事件的有；属于随机事件的有．[例4]盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？①A=“取出的球是白球”；②B=“取出的球是蓝球”；③C=“取出的球是黄球”； ④D=“取出的球是白球或黄球”．【课内练习】1． 下列事件属于必然事件的为 （ ） A．没有水分，种子发芽 B．电话在响一声时就被接到 C．实数的平方为正数 D．全等三角形面积相等2． 在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件的必然事件是 （ ） A．3件都是正品 B．至少有1件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品3． 事件A的概率P(A)必须满足 （ ） A．0＜P(A)＜1 B．P(A)=1 C．0≤P(A)≤1 D．P(A)=0或14． 下列说法正确的为 （ ） A．概率就是频率 B．概率为1的事件可以不发生 C．不可能事件的概率为0 D．概率不可以是一个无理数5． 下列事件为随机事件的为。 ①任意实数x，有x2+3x+6＞0； ②从1，2，3，4，5，6中任取两不同数，其和为偶数； ③地面上画有一个边长为5cm的正方形，现向上抛一枚壹元硬币恰好落在正方形内； ④任意画一个三角形，恰好为正三角形。6． 下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 其中正确命题的序号为。7． 从一个鱼池中捕鱼n尾，并标上记号放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M尾，其中有记号的有m尾，则估计鱼池中共有尾鱼。8． 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数810129101660100进球次数68977124574进球频率 （1）在表中直接填写进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？9． 某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，30天中有18天的用电超过指标．若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第1天用电量不超过指标的概率为多少？10．某种病的治愈率为0.10，那么，前18人没有治愈，后2人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.10？

17．1随机事件及概率A组1． 下列事件是随机事件为 （ ） A．太阳每天从东方升起 B．掷一颗骰子，向上一面的点数为8 C．某同学做了10道选择题，其中三道不会题经猜测做了全对 D．函数y=ax2+6x+2的图象恒过定点（0，2）2． 若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有 （ ） A．f(n)与某个常数相等 B。f(n)与某个常数的差逐渐减小 C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D。f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定3． 12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本书，则必然事件为 （ ） A．3本都是语文书 B。至少有一本是数学书 C．3本都是数学书 D。至少有一本是语文书4． 有人告诉你，放学后送你回家的概率如下： ①50%；②2%；③90%。 则以上数据与下面的文字描述内容相匹配为。 很可能送你回家，但不一定送。5． 记事件A发生的概率为P(A)。若A为必然事件，则P(A)=；若A为不可能事件，则P(A)=。6． 若某事件A发生的概率为0，则A一定为不可能事件吗？试举例说明之。7． 对一批衬衣进行抽检，结果如下表：抽取件数50100200500600700800次品件数0201227273540次品频率00.200.060.054 （1）完成上面统计表； （2）事件A为任取一件衬衣为次品，求P（A）； （3）为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需要进货多少件衬衣？8． 某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率 （1）计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率； （2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率； （3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．17、概率17．1随机事件及概率B组1． 下列事件中，属于必然事件的为 （ ） A．12人中至少有2人的生日在同一个月 B．13人中至少有2人的生日在同一个月 C．同一周出生的5人中至少有2人的生日相同 D．同一周出生的6人中至少有2人的生日相同2． 在第1、3、6、8、16路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于 （ ） A． B． C． D．3． 在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为78%”，这是指 （ ） A．明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水 B．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水 C．气象台的专家中，有78%的人认为会降水，另外22%的专家认为不降水 D．明天该地区的降水的可能性为78%4． 某班级共有42名学生，在数学必修1的学分考试中，有3人未取得规定的学分。则事件“参加补考”的为。5． 已知某厂产品的次品率为0.5%，则该厂18000件产品中合格品的件数可能为件。6． 从甲地到乙地有A1、A2、A3共3条路线，从乙地到丙地有B1、B2共2条路线，从甲地直接到丙地共4条路线，其中A2B1路线是从甲到丙地的所有路线中最短的一条．某人任选了1条从甲到丙地的路线，它正好是最短路线的概率是多少？7． “某彩票的中奖概率为”，那是否意味着买1000张彩票就中10张奖？8． 某人去银行取钱,他忘了其信用卡号的最后一位.于是他便不得不在0~9这几个数中一一去试.已知当连续3次输错时，机器将会吃卡．问吃卡的概率是多少?

参考答案17．1随机事件及概率【典型例题】[例1]（1）D。提示：两次点数和的最大值为12。（2）C．提示：①②③⑥⑧为随机事件。（3）B．提示：由于每次试验的结果都是随机的，因而不能保证做12次试验中，一定有即3道题是正确的，因而该人的话是错误的（4）0.64，0.73．（5）不小于3（或不大于18）；小于3（或大于18）。[例2]（1）因频率的值等于优等品数与抽取球数的比值，故 表格中从左到右应依次填写0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951，0.948． （2）由（1）知，虽然抽取球的个数可以不同，计算得到的频率值也不同，但它们均在常数0.95的附近摆动，根据频率与概率间的关系可知，抽取一个乒乓球检测时，质量为优等品的概率为0.950．[例3]必然事件有：①⑦⑧；不可能事件有：④⑨⑩；随机事件有：②③⑤⑥．[例4]A是随机事件，概率为0.4；B是不可能事件，概率