第4章 曲线运动 万有引力与航天 4 万有引力与航天(与课件配套)

15/15【第4章曲线运动万有引力与航天】第4课时万有引力与航天考纲考情：5年29考开普勒定律(Ⅰ)万有引力定律应用(Ⅱ)相对论简介(Ⅰ)[基础梳理]一、万有引力定律1．开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：eq\f(a3,T2)＝k.2．万有引力定律(1)公式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．(2)公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．二、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg＝eq\f(mv2,R)＝eq\f(GMm,R2)得：v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳三、相对论简介1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．[小题快练]1.(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积[解析]太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得：eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(r\o\al(3,木),T\o\al(2,木))，故eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(r\o\al(3,火),r\o\al(3,木))，C正确．[答案]C2．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的()A．0.25倍 B．0.5倍C．2.0倍 D．4.0倍[解析]由F引＝eq\f(GMm,r2)＝eq\f(\f(1,2)GM0m,\f(r0,2)2)＝eq\f(2GM0m,r\o\al(2,0))＝2F地，故C项正确．[答案]C3．一未知星体的质量是地球质量的eq\f(1,4)，直径是地球直径的eq\f(1,4)，则一个质量为m的人在未知星体表面的重力为(已知地球表面处的重力加速度为g)()A．16mg B．4mgC．mg D.eq\f(mg,4)[解析]在星体表面处有Geq\f(Mm,R2)＝mg，因此未知星体表面的重力加速度为4g，所以该人在未知星体表面的重力为4mg.[答案]B4．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是()A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C．它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度[解析]根据v＝eq\r(\f(GM,r))，在所有绕地球做匀速圆周运动的卫星中，靠近地面运行的卫星，轨道半径最小，所以环绕速度最大，即第一宇宙速度是最大环绕速度，同时也是把一个物体发射成为卫星所必须具有的最小发射速度，所以选项A错误，选项B、C正确；当卫星在椭圆轨道上运动时，在近地点时，它的速度最大但与第一宇宙速度无直接关系，选项D错误．[答案]BC考向一天体质量和密度的估算问题1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．典例1(2015·江苏单科，3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为()A.eq\f(1,10) B．1C．5 D．10[解析]根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq\f(M恒,M太)＝eq\f(r\o\al(3,行)T\o\al(2,地),r\o\al(3,地)T\o\al(2,行))＝eq\f(83,80)≈1，故选项B正确．[答案]B天体质量及密度的估算方法[针对训练]1．1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出()A．地球的质量m地＝eq\f(gR2,G)B．太阳的质量m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))C．月球的质量m月＝eq\f(4π2L\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))D．可求月球、地球及太阳的密度[解析]对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝eq\f(Gm地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq\f(gR2,G)，选项A正确．对地球绕太阳运动来说，有eq\f(Gm太m地,L\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,T\o\al(2,2))L2，则m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))，B项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误．[答案]AB考向二卫星运行规律1．四个分析“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系．eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r2))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))eq\a\vs4\al(越高,越慢)2．四个比较(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星．(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等．典例2(2015·四川理综，5)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比()行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球6.4×1066.4×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的公转周期较小B．火星做圆周运动的加速度较小C．火星表面的重力加速度较大D．火星的第一宇宙速度较大[解析]由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma知，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，轨道半径越大，公转周期越大，加速度越小，A错误，B正确；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得g＝Geq\f(M,R2)，eq\f(g地,g火)＝eq\f(M地,M火)·(eq\f(R火,R地))2＝2.6，火星表面的重力加速度较小，C错误；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))，eq\f(v地,v火)＝eq\r(\f(M地,M火)·\f(R火,R地))＝eq\r(5)，火星的第一宇宙速度较小，D错误．[答案]BC1．黄金代换式“g＝Geq\f(M,R2)”可快速解决此类问题，但要注意的是M应为中心天体的质量．2．第一宇宙速度公式v＝eq\r(\f(GM,R))中的M亦应为中心天体的质量．[针对训练]2．“马航失联”事件发生后，中国在派出水面和空中力量的同时，在第一时间紧急调动了21颗卫星参与搜寻．“调动”卫星的措施之一就是减小卫星环绕地球运动的轨道半径，降低卫星运行的高度，以有利于发现地面(或海洋)目标．下面说法正确的是()A．轨道半径减小后，卫星的环绕速度减小B．轨道半径减小后，卫星的环绕速度增大C．轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小D．轨道半径减小后，卫星的环绕周期增大[解析]由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，卫星的环绕速度增大，B正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小，C正确．[答案]BC3．(2015·福建理综，14)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则()A.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))B.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r1,r2))C.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r2,r1))2D.eq\f(v1,v2)＝(eq\f(r1,r2))2[解析]由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，故A正确，B、C、D错误．[答案]A考向三卫星变轨问题分析(1)圆轨道上的稳定运行Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r(2)变轨运行分析①当v增大时，所需向心力meq\f(v2,r)增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，但引力势能、机械能均增加．②当卫星的速度突然减小时，向心力eq\f(mv2,r)减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))知运行速度将增大，但引力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．1．一切卫星的轨道的圆心都与地心重合．2．地球同步卫星的六个“一定”．(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道面共面．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：离地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R.(5)速率一定：v＝eq\r(\f(GM,R＋h))(6)向心加速度一定：a向＝eq\f(GM,R＋h2).典例32013年6月11日中国又成功发射了“神舟十号”飞船，飞船与“天宫一号”目标飞行器顺利完成了自动和手动对接．“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面343km的近圆形轨道上成功进行载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是()A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，“天宫一号”的动能可能会增加C．如不加干预，“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低D．航天员在“天宫一号”中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用[解题引路](1)圆轨道卫星的运行速度与第一宇宙速度间的大小关系？(2)圆轨道运行的卫星速度减小后做离心运动还是向心运动？[提示](1)圆轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度．(2)圆轨道运行的卫星速度减小后做向心运动．[解析]绕地球运行的飞船和“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度，选项A错；如不加干预，在运行一段时间后，空气阻力对“天宫一号”做负功，使其速率减小而做向心运动，高度将缓慢降低，万有引力又会对“天宫一号”做正功而使其动能增加，故选项B、C对；航天员在“天宫一号”中处于失重状态是因为其重力提供向心力，并不是不受地球引力作用，所以选项D错．[答案]BC(1)卫星变轨时半径的变化，要根据万有引力与所需向心力的大小关系判断．(2)卫星稳定在新轨道上的运行速度由v＝eq\r(\f(GM,r))决定．(3)卫星通过不同轨道的同一点(切点)时的速度大小关系可根据离心或向心运动的条件分析得出．[针对训练]4．如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图．假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km，远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B．“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道工上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度可能小于经过P点时的速度[解析]“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误．由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确．由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确．“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度一定大于经过P点时的速度，选项D错误．[答案]BC特色专题系列之(十四)宇宙中的双星模型1．双星模型(1)模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．(2)模型条件①两颗星彼此相距较近．②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．③两颗星绕同一圆心做圆周运动．(3)模型特点①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．2．三星模型系数三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力范例(2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.eq\r(\f(n3,k2))T B.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))T D.eq\r(\f(n,k))T[解析]双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.对质量为m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r对质量为M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，选项B正确．[答案]B我们通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙多星问题中，行星间距与轨道半径是不同的，这点要引起重视．[迁移训练]1．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星．只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO>OB，则()A．星球A的质量一定大于B的质量B．星球A的线速度一定大于B的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大[解析]设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA ①eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB ②RA＋RB＝L ③由①②式可得eq\f(mA,mB)＝eq\f(RB,RA)，而AO＞OB，故A错误．vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确．联立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3又因为T＝eq\f(2π,ω)，故T＝2πeq\r(\f(L3,GmA＋mB))，可知C错误，B正确．[答案]BD2．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()A．每颗星做圆周运动的线速度为eq\r(\f(Gm,R))B．每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(3Gm,R3))C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关[解析]由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝eq\f(\f(R,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)R.由牛顿第二定律得：eq\f(Gm2,R2)·2cos30°＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma可解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，故A、B、C均正确，D错误．[答案]ABC频考一天体质量和密度的计算问题1．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.eq\f(mv2,GN) B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm) D.eq\f(Nv4,Gm)[解析]由题意知行星表面的重力加速度为g＝eq\f(N,m)，又在行星表面有g＝eq\f(GM,R2)，卫星在行星表面运行时有m′g＝m′eq\f(v2,R)，联立解得M＝eq\f(mv4,GN)，故选项B正确．[答案]B2．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)()A．ρ＝kT B．ρ＝eq\f(k,T)C．ρ＝kT2 D．ρ＝eq\f(k,T2)[解析]火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，又M＝eq\f(4,3)πR3·ρ，可得ρ＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(k,T2)，故只有D正确．[答案]D频考二宇宙星体运行规律3．(2016·赣州模拟)如图所示，轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道，轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道，设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动，运行的速度大小分别是v1和v2，加速度大小分别是a1和a2则()A．v1＞v2a1＜a2 B．v1＞v2a1＞C．v1＜v2a1＜a2 D．v1＜v2a1＞[解析]根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，所以v1＞v2，a1＞a2.选项B正确．[答案]B4．截止到2014年2月全球定位系统GPS已运行了整整25年，是现代世界的奇迹之一．GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时．GPS系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是()A．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星半径的eq\f(\r(2),2)倍B．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星半径的eq\r(3,2)倍C．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq\r(2)倍D．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq\r(3,2)倍[解析]万有引力是卫星围绕地球转动的向心力，Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，卫星运动的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，设GPS系统的卫星半径为r1，周期为T1，同步卫星半径为r2，周期为T2，根据周期公式解得eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(T1,T2)2)＝eq\f(\r(3,2),2)，A错误，B正确；eq\f(v1,v2)＝eq\f(2πr1/T1,2πr2/T2)＝eq\f(r1,r2)·eq\f(T2,T1)＝eq\r(3,2)，C错误，D正确．[答案]BD5．(2016·山东临沂高三期中)2015年10月17日中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通讯卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，运地点为P.当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法中正确的是()A．飞船在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B．飞船在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度C．卫星在轨道2上时处于超重状态D．飞船在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度[解析]飞船在两轨道上运动的机械能不相等，A错；在轨道上运行经过P点的速度应小于近地点Q的速度，固万有引力做正功使动能增加，B错；卫星在轨道上应处于失重状态，C错；由万有引力提供向心力可知：Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，在同一点P加速度相等，D对．[答案]D课时作业(十三)[基础小题]1．两个半径均为r的实心铁球靠在一起时，彼此之间的万有引力大小为F.若两个半径为2r的实心铁球靠在一起时，它们之间的万有引力大小为()A．2F B．C．8F D．[解析]F＝Geq\f(m\o\al(2,1),2r2)，其中m1＝eq\f(4,3)πr3·ρ，F′＝Geq\f(m\o\al(2,2),4r2)，其中m2＝eq\f(4,3)π(2r)3·ρ.解得F′＝16F[答案]D2．(2016·保定模拟)中国首颗地球同步轨道高分辨率遥感卫星“高分四号”卫星于2015年12月29日0时04分在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭成功发射升空．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是()A.eq\f(t2,Gs3) B.eq\f(s3,Gt2)C.eq\f(Gt2,s3) D.eq\f(Gs2,t2)[解析]由s＝rθ，θ＝1弧度，可得r＝s，由s＝vt可得：v＝eq\f(s,t)，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：M＝eq\f(s2,Gt2)，B正确．[答案]B3．假设宇宙中有一颗未命名的星体，其质量为地球的6.4倍，一个在地球表面重力为50N的物体，经测定在该未知星体表面的重力为80N，则未知星体与地球的半径之比为()A．0.5 B．2C．3.2 D．4[解析]由eq\f(GM星,R\o\al(2,星))＝80N，eq\f(GM地m,R\o\al(2,地))＝50N，可得：eq\f(R\o\al(2,星),R\o\al(2,地))＝eq\f(M星,M地)·eq\f(5,8)＝4，故eq\f(R星,R地)＝2，B正确．[答案]B4．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)[解析]本题考查天体运动，意在考查考生对万有引力定律的理解和应用．由万有引力提供向心力可知，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，对比各选项可知选A.[答案]A5．(2016·河南漯河二模)宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)[解析]设该星球表面的重力加速度g，小球在星球表面做平抛运动，h＝eq\f(1,2)gt2.设该星球的质量为M，在星球表面有：mg＝eq\f(GMm,R2).由以上两式得，该星球的质量为M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正确．[答案]A6．2014年8月11日，天空出现了“超级月亮”，这是月球运动到了近地点的缘故．然后月球离开近地点向着远地点而去，“超级月亮”也与我们渐行渐远．在月球从近地点到达远地点的过程中，下面说法正确的是()A．月球运动速度越来越大B．月球的向心加速度越来越大C．地球对月球的万有引力做正功D．虽然离地球越来越远，但月球的机械能不变[解析]根据开普勒定律，近地点到达远地点过程中，速度逐渐减小，万有引力做负功，A、C错误；因为随着地月之间距离变大，万有引力减小，向心加速度也变小，B错误；月球运动过程只有万有引力做功，机械能守恒，D正确．[答案]D7．(2016·广西三校联考)如图所示，两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，以下说法中正确的是()A．它们做圆周运动的角速度大小相等B．它们做圆周运动的线速度大小相等C．它们的轨道半径与它们的质量成反比D．它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比[解析]它们做圆周运动的角速度大小相等，线速度大小不一定相等，选项A正确B错误；由eq\f(GmBmA,rA＋rB2)＝mAωeq\o\al(2,A)rA＝mBωeq\o\al(2,B)rB，它们的轨道半径与它们的质量成反比，选项C正确D错误．[答案]AC[高考真题]8．(2015·重庆理综，2)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.eq\f(GM,R＋h2)C.eq\f(GMm,R＋h2) D.eq\f(GM,h2)[解析]对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律得，eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，解得飞船所在处的重力加速度为g′＝eq\f(GM,R＋h2)，B项正确．[答案]B9．(2015·海南单科，6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq\r(7)，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R[解析]平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(x\o\al(2,地),x\o\al(2,行))＝eq\f(7,4)，根据公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得R2＝eq\f(GM,g)故eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f(M行,M地)·\f(g地,g行))＝2，解得R行＝2R，故C正确．[答案]C10．(2015·天津理综，8)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则()A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公转周期比s2的大[解析]由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a＝Geq\f(M,r2)可知P1质量大于P2，则P1密度大于P2，故A正确；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2，故B错误；卫星