二分查找问题全集

二分查找问题全集1，原始二分查找题目：给定一个有序（非降序）数组A，求任意一个i使得A[i]等于target，不存在则返回-1例如：[2,4,6,8,9]找(4)位置11.1递归版[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

bSearch(int

a[],

int

low,

int

high,

int

target){

if(low

>

high)

return

-1;

int

mid

=

(low

+

high)/2;

if(target<a[mid])

return

bSearch(a,low,mid-1,target);

else

if(target>a[mid])

return

bSearch(a,mid+1,high,target);

//if(target

==

a[mid])

return

mid;

}

1.2迭代版[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

return

mid;

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-1;

}

1.3返回插入位置给定一个有序（非降序）数组A，若target在数组中出现，返回位置，若不存在，返回它应该插入的位置。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

return

mid;

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-(low+1);

}

之所以返回-（low+1）而不是直接返回-low是因为low可能为0，如果直接返回-low就无法判断是正常返回位置0还是查找不成功返回的0。2，含重复元素，求=target的最小一个问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1例如：A[2,4,6,8,8,8,9]求8得最小位置3[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

{

if(mid

>

0

&&

A[mid-1]

==

target)

high

=

mid-1;

else

return

mid;

}

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-(low+1);

}

3，含重复元素，求=target的最大一个问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1例如：A[2,4,6,8,8,8,9]求8得最大位置5[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

{

if(mid

<

n-1

&&

A[mid+1]

==

target)

low

=

mid+1;

else

return

mid;

}

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-(low+1);

}

4，含重复元素，求<target的最大一个问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]小于target，不存在则返回-1

例如：A[2,4,6,8,8,8,9]求9得最大位置5问题转化：含重复元素，求2【=target的最小一个】的前一个。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

{

if(mid

>

0

&&

A[mid-1]

==

target)

high

=

mid-1;

else

return

(mid==0)?-1:mid-1;

}

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-(low+1);

}

5，含重复元素，求>target的最小一个问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]大于target，不存在则返回-1例如：A[2,4,6,8,8,8,9]求6的最小位置3问题转化：含重复元素，求3【=target的最大一个】的后一个。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

search(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

//

注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

{

if(mid

<

n-1

&&

A[mid+1]

==

target)

low

=

mid+1;

else

return

(mid==n-1)?-n:mid+1;

}

else

if(A[mid]

<

target)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>

target

high

=

mid-1;

}

return

-(low+1);

}

6，含重复元素，求=target的出现次数问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求target在数组中出现的次数。例如：A[2,4,6,8,8,8,9]求8的出现次数3求出第一次出现位置和最后一次出现位置。由于前面都已实现，这里不多解释。请参考实现代码与注释[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

count(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

firstPos

=

searchFirstPos(A,

n,

target);

//

第一次出现位置

if(firstPos

==

-1)

return

0;

int

lastPos

=

searchLastPos(A,

n,

target);

//

最后一次出现位置

return

lastPos-firstPos+1;

//

出现次数

}

7，含重复元素，求绝对值最小的元素问题：给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求绝对值最小的元素的位置例如：A[-4,-2,-1,2,3,8,9]求结果为2[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

searchMinAbs(int

A[],

int

n)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<

high)

{

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

<

0)

low

=

mid+1;

else

//

A[mid]

>=

0

high

=

mid;

}

/*

循环结束时，如果low

!=

n-1，A[low]

>=

0，如果low>0，A[low-1]

<

0

*/

if(low

>

0

&&

abs(A[low-1])

<

abs(A[low]))

return

low-1;

else

return

low;

}

8，问题：给定一个有序（非降序）数组A和一个有序（非降序）数组B，可含有重复元素，求两个数组合并结果中的第k(k>=0)个数字。

这个题目出现了两个数组，有序的，不管怎样我们就应该首先考虑二分查找是否可行。若使用顺序查找，时间复杂度最低为O(k)，就是类似归并排序中的归并过程。使用用二分查找时间复杂度为O(logM+logN)。二分查找的具体实现过程请参考实现代码与注释。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

findKthIn2SortedArrays(int

A[],

int

m,

int

B[],

int

n,

int

k)

{

if(m

<=

0)

//

数组A中没有元素，直接在B中找第k个元素

return

B[k];

if(n

<=

0)

//

数组B中没有元素，直接在A中找第k个元素

return

A[k];

int

i

=

(m-1)>>1;

//

数组A的中间位置

int

j

=

(n-1)>>1;

//

数组B的中间位置

if(A[i]

<=

B[j])

//

数组A的中间元素小于等于数组B的中间元素

{

/*

设x为数组A和数组B中小于B[j]的元素数目，则i+1+j+1小于等于x，

因为A[i+1]到A[m-1]中还可能存在小于等于B[j]的元素；

如果k小于i+1+j+1，那么要查找的第k个元素肯定小于等于B[j]，

因为x大于等于i+1+j+1；既然第k个元素小于等于B[j]，那么只

需要在A[0]~A[m-1]和B[0]~B[j]中查找第k个元素即可，递归调用下去。

*/

if(k

<

i+1+j+1)

{

if(j

>

0)

return

findKthIn2SortedArrays(A,

m,

B,

j+1,

k);

else

//

j

==

0时特殊处理，防止死循环

{

if(k

==

0)

return

min(A[0],

B[0]);

if(k

==

m)

return

max(A[m-1],

B[0]);

return

A[k]

<

B[0]

?

A[k]

:

max(A[k-1],

B[0]);

}

}

/*

设y为数组A和数组B中小于于等于A[i]的元素数目，则i+1+j+1大于等于y；

如果k大于等于i+1+j+1，那么要查找到第k个元素肯定大于A[i]，因为

i+1+j+1大于等于y；既然第k个元素大于A[i]，那么只需要在A[i+1]~A[m-1]

和B[0]~B[n-1]中查找第k-i-1个元素，递归调用下去。

*/

else

return

findKthIn2SortedArrays(A+i+1,

m-i-1,

B,

n,

k-i-1);

}

//

如果数组A的中间元素大于数组B的中间元素，那么交换数组A和B，重新调用即可

else

return

findKthIn2SortedArrays(B,

n,

A,

m,

k);

}

9问题：

一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求target在变化后的数组中出现的位置，不存在则返回-1如0124567可能变成4567012

我们先比较中间元素是否是目标值，如果是返回位置。如果不是，我们就应该想办法将搜索区间减少一半。因为存在旋转变化，所以我们要多做一些判断。我们知道因为只有一次旋转变化，所以中间元素两边的子数组肯定有一个是有序的，那么我们可以判断target是不是在这个有序的子数组中，从而决定是搜索这个子数组还是搜索另一个子数组。具体请参考实现代码与注释。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

searchInRotatedArray(int

A[],

int

n,

int

target)

{

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<=

high)

{

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

==

target)

return

mid;

if(A[mid]

>=

A[low])

{

//

low

~

mid

是升序的

if(target

>=

A[low]

&&

target

<

A[mid])

high

=

mid-1;

else

low

=

mid+1;

}

else

{

//

mid

~

high

是升序的

if(target

>

A[mid]

&&

target

<=

A[high])

low

=

mid+1;

else

high

=

mid-1;

}

}

return

-1;

}

如果这样的数组中存在重复元素，还能使用二分吗？答案是不能。请看几个例子

[1,2,2,2,2],[2,1,2,2,2],[2,2,1,2,2],[2,2,2,1,2],[2,2,2,2,1]这些都是有第一个数组旋转一次变化来的，我们不能通过二分确定是否存在元素1.10，问题：一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求最小值所在位置如果中间元素小于左端元素，则最小值在左半区间内（包含中间元素）；如果中间元素大于右端元素，则最小值在右半区间内（包含中间元素）。请参考实现代码与注释。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

searchMinInRotatedArray(int

A[],

int

n)

{

if(n

==

1)

return

0;

int

low

=

0,

high

=

n-1;

while(low

<

high-1)

//

保证mid

!=

low且mid

!=

high

{

int

mid

=

low+((high-low)>>1);

if(A[mid]

<

A[low])

//

最小值在low~mid

high

=

mid;

else

//

A[mid]

>

A[low],

//

最小值在mid和high之间

low

=

mid;

}

return

A[low]

<

A[low+1]

?

low

:

low+1;

}

11,问题：

一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求第k(k>0)小元素的位置

我们可以利用上一题的解答，求出最小值所在位置后，便可以求出第k小元素。请参考实现代码与注释[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

searchKthInRotatedArray(int

A[],

int

n,

int

k)

{

int

posMin

=

searchMinInRotatedArray(A,

n);

return

(posMin+k-1)%n;

}

12，查找旋转数组的最小数字题目：即找分界点，比如34512，返回的是位置3。以题目中的旋转数组为例，{3,4,5,1,2}，我们可以有序数组经过旋转以后被分割为两段有序的数组，比如此处被分为{3,4,5}{1,2}这样连个数组，并且前半段数组中的数字肯定大于等于后半段的数组。我们找中间元素a[mid]，让其跟元素首元素a[low]和尾元素a[high]比较，如果大于首元素a[low]，则中间元素属于前半段有序数组；如果小于尾元素a[high]，那么中间元素就是后半段的元素。这里我们设定两个指针start和end分别指向数组的首尾元素，然后当start指向前半段最后一个元素，end指向后半段第一个元素，这是程序就找到了数组中的最小元素，就是end指向的那个数，程序的出口就是end-start==1。[cpp]\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?int

bSearchMinValue(int

a[],

int

low,

int

high){

//终止递归条件是low和high差1，原因是后面mid都不是+1-1处理的

if(low+1==high)

return

high;

int

mid

=

(low

+

high)/2;

if(a[mid]>a[low])//左侧有序，在右边找分界点

return

bSearchMinValue(a,mid,high);

if(a[mid]<a[high])//右侧有序，在左边找分界点

return