二次函数解析式的确定教案

二次函数剖析式的确定授课设计二次函数剖析式的确定一．知识要点1若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求剖析式。2若已知二次函数图象的极点坐标（或对称轴最值），则应用极点式，其中（h，）为极点坐标。3若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标二要点、难点：要点：求二次函数的函数关系式难点：建立合适的直角坐标系，求出函数关系式，解决实诘责题。三授课建议：求二次函数的关系式，应合适地采纳二次函数关系式的形式，选择合适，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应依照题目特点，灵便采纳。典型例题例1已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），（0，－）三点，求其函数关系式。剖析：设，其图象经过点（0，－），可得，再由其他两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。解：设所求二次函数的剖析式为由于图象过点（0，－），∴又由于图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可获取：∴所求二次函数的剖析式为说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，今后确定a、b、的值即得，本题由（0，－）可先求出的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简单。例2已知二次函数的图象的极点为（1，），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。剖析：由已知极点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可解：，则∵图象过点（－2，0），∴∴即：说明：若是题目已知二次函数图象的极点坐标（h，），一般设，再依照其他条确定a的值。本题诚然已知条中已设，但我们能够不用这种形式而另设这种形式。由于在这种形式中，我们必定求a、b、的值，而在这种形式中，在极点已知的条下，只要确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例3已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的剖析式。剖析：依题意，可知极点坐标为（－3，2），因此，可设剖析式为极点式解：设这个二次函数的剖析式为∵图象经过（－1，0），∴∴所求这个二次函数的剖析式为即：说明：在题设的条中，若涉及极点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设极点式为剖析式。例4已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1剖析：可依照题中图中的信息转变成一般式（或极点式）（或交点式）。方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点设剖析式为依照题意得：∴所求二次函数的剖析式为方法二：由图象可知，该二次函数图象的极点坐标为（1，－1）设剖析式为∵图象过（0，0），∴，∴∴所求二次函数的剖析式为即方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）设剖析式为∵图象过（1，－1）∴，∴∴所求二次函数剖析式为：即：说明：依题意后两种方法比较简单。例已知：抛物线在x轴上所截线段为4，极点坐标为（2，4），求这个函数的关系式剖析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的剖析式解：∵极点坐标为（2，4）∴对称轴是直线x＝2∵抛物线与x轴两交点之间距离为4∴两交点坐标为（0，0），（4，0）设所求函数的剖析式为∵图象过（0，0）点∴，∴∴所求函数的剖析式为例6已知二次函数的最大值是零，求此函数的剖析式。剖析：依题意，此函数图象的张口应向下，则有，且极点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条都应满足，可求的值。解：依题意：由①得由②得：（舍去）所求函数式为即：例7已知某抛物线是由抛物线经过平移而获取的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。剖析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而获取的，故a＝2，再由已知条列出b、的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4）故：解得：∴所求抛物线的函数表达式为：说明：本题的要点是由所求抛物线与抛物线的平移关系，获取例8如图2，已知点A（－4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条图21）求证：△PAB是直角三角形。2）求过P、A、B三点的抛物线的剖析式，并求极点坐标。剖析：（1）中须证，由已知条：，应过P作P⊥x轴2）中已知P、A、B三点的坐标，且依照点的地址可用三种不同样样的方法求出抛物线的剖析式解：（1）过P作P⊥x轴于点，由已知易知A＝2，B＝8∴，解得：P＝4P点的坐标为（－2，－4）由勾股定理可求得：，又∴故△APB是直角三角形2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的剖析式为：，则有∴∴极点坐标（1，）解法2：由抛物线与x轴交于A（－4，0），B（6，0），可设，又抛物线过点P（－2，－4）可求a值解法3：由A（－4，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为可设，将A、B点的坐标代入剖析式可求a，的值例9如图3所示，是某市一条高速公路上的地道口，在平面直角坐标系上的表示图，点A和A1，点B和B1分别关于轴对称，地道拱部分BB1为一段抛物线，最高点离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，地道宽AA1为16米图3（1）求地道拱抛物线BB1的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它可否安全经过这个隧道？请说明原由。剖析：（1）由已知可得极点的坐标为（0，8），B点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离可否大于7米，由此可判断运货汽车可否安全经过地道。解：（1）以以下列图，由已知得A＝A1＝8，＝8，故点坐标（0，8），B点坐标为（－8，6）设地道拱抛物线BB1的函数表达式为，则∴地道拱抛物线BB1的函数关系式为2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DE⊥x轴于E当x＝2时，∴D点坐标为（2，7），∴DE∵＞7∴该运货汽车能安全经过这个地道。说明：要求抛物线的函数关系式，要点是确定其上的点的坐标，再采纳合适的形式求其关系式。本题第（2）小题中，还可以够够求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离可否大于4。例10有这样一个问题：已知：二次函数的图象经过A（0，a），B（1，2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法鉴其他字。1）依照现有的信息，你可否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能够够，说明原由。2）请你依照已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个合适的条，把原题补充圆满。剖析：仅由A、B两点无法求其关系式，但若是把待证的结论也看作已知条，则可求出其关系式解：（1）能，过程以下由图象经过点A（0，a），得＝a将图象对称轴为直线看作已知条，则∵抛物线的对称轴是直线∴∴∵抛物线经过点B（1，2）∴∴所求二次函数的关系式为（2）可补充条：（或或其他条）说明：二次函数配方后可变形为，故其图象的对称轴是直线，极点坐标是（）第（2）题的答案不唯一，补充的条只要能求出其关系式为即可。例11已知四点A（1，2），B（0，6），（－2，20），D（－1，12），试问可否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？若是存在，央求出它的关系式；若是不存在，说明原由。剖析：先求出经过A、B、的抛物线的关系式，再考据点D可否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数