圆的标准方程课件

4.1.1圆的标准方程4.1.1圆的标准方程1

我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．复习引入ArxOy

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.初中所讲的圆的定义

思考？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直2

当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新课

如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离．如何求圆的方程呢？当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．xOyA(a3

思考?符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？符合上述条件的点的集合：一.圆的标准方程xOyA(a,b)Mr(x,y)思考?符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述4两边平方得

由两点间的距离公式，点M的坐标适合的条件表示为

xOyA(a,b)Mr(x,y)1.(选系)取动点,2.找等量，3.列方程,4.化简.上述过程可归纳为：两边平方得由两点间的距离公式，点M的坐标适合5

思考？是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．

这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.

注意：标准方程的形式，及方程含有三个参变数a,b,r,即圆心A(a,b),半径r，只要a,b,r三个量确定且r>0,圆的标准方程就确定了思考？是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐6特殊位置的圆方程

因为圆心是原点O(0,0)，将a＝0，b＝0和半径r代入圆的标准方程：

思考？圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么？

得：

整理得：特殊位置的圆方程因为圆心是原点O(0,0)，将a＝0，72.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点，半径是；（3）经过点，圆心在点．课堂练习1.根据方程，指出圆的圆心和半径.（1）（2）（3）2.写出下列各圆的方程：课堂练习1.根据方程，指出圆的圆心和83.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么图形_____________________;4.方程x2+y2=0表示什么图形______5.方程y=表示什么图形?(0,0)圆心是(1,-3)半径是3的圆圆心在原点，半径为2的上半圆3.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么图形(0,0)9

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是

把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；

把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．AxyoM1M2例1写出圆心为，半径长等于5的圆的10二.点与圆的位置关系

从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上；反之如果不成立则不在这个圆上．思考?点与圆的位置关系有几种？点在圆内，点在圆上，点在圆外三种位置关系.

思考?怎样判断点

在圆

内呢？还是在圆外呢？二.点与圆的位置关系从上题知道，判断一个点在不在11M3M1A观察下图中的三个点，可以看到M2

点在圆外——点到圆心的距离大于半径r；点在圆内——点到圆心的距离小于半径r；

点在圆上——点到圆心的距离等于半径r．xyo同理，点在圆内设

在圆外，圆心A(a,b)，由点到圆心距离大于半径r得点在圆上M3M1A观察下图中的三个点，可以看到M212小结：特别地，点

在圆

内的条件是点

在圆

外的条件是

点

在圆

上的条件是小结：特别地，点在圆13例2

的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．

因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

解：设所求圆的方程是

（1）解此方程组，得：所以，的外接圆的方程

上述方法为待定系数法.还有别的方法吗？例2的三个顶点的坐标分别A(5,1)14圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)几何方法方法二：例2

的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,15

例3

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．

分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径．圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上．又圆心C在直线l

上，因此圆心C是直线l与直线的交点，半径长等于|CA|或|CB|．yxOCABl例3已知圆心为C的圆经过点A(1,16因此线段AB的垂直平分线的方程是即圆心C的坐标是方程组的解．

解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标直线AB的斜率:所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是解得因此线段AB的垂直平分线的方程是即圆心C的坐标是方程组的17比较例2和例3，归纳求△ABC外接圆的方程的两种方法.思考?

（1）根据题设条件，列出关于a,b,r的方程组，解方程组得到a,b,r的值，写出圆的标准方程.

（2）根据确定圆的要素，以及题设条件，结合圆的性质分别求出圆心坐标和半径大小，写出圆的标准方程.比较例2和例3，归纳求△ABC外接圆的方程的两种方法.思考?18知识小结圆的基本要素圆的标准方程圆心在原点的圆的标准方程判断点与圆的位置关系圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.a,b,r(r＞0）三个量确定了,方程就确定了作业：P1242,3,4练习：P1201,3,4知识小结圆的基本要素圆的标准方程圆心在原点的圆的标准方程判断194.1.1圆的标准方程4.1.1圆的标准方程20

我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．复习引入ArxOy

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.初中所讲的圆的定义

思考？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直21

当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新课

如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离．如何求圆的方程呢？当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．xOyA(a22

思考?符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？符合上述条件的点的集合：一.圆的标准方程xOyA(a,b)Mr(x,y)思考?符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述23两边平方得

由两点间的距离公式，点M的坐标适合的条件表示为

xOyA(a,b)Mr(x,y)1.(选系)取动点,2.找等量，3.列方程,4.化简.上述过程可归纳为：两边平方得由两点间的距离公式，点M的坐标适合24

思考？是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．

这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.

注意：标准方程的形式，及方程含有三个参变数a,b,r,即圆心A(a,b),半径r，只要a,b,r三个量确定且r>0,圆的标准方程就确定了思考？是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐25特殊位置的圆方程

因为圆心是原点O(0,0)，将a＝0，b＝0和半径r代入圆的标准方程：

思考？圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么？

得：

整理得：特殊位置的圆方程因为圆心是原点O(0,0)，将a＝0，262.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点，半径是；（3）经过点，圆心在点．课堂练习1.根据方程，指出圆的圆心和半径.（1）（2）（3）2.写出下列各圆的方程：课堂练习1.根据方程，指出圆的圆心和273.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么图形_____________________;4.方程x2+y2=0表示什么图形______5.方程y=表示什么图形?(0,0)圆心是(1,-3)半径是3的圆圆心在原点，半径为2的上半圆3.方程(x-1)2=9-(y+3)2表示什么图形(0,0)28

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是

把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；

把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．AxyoM1M2例1写出圆心为，半径长等于5的圆的29二.点与圆的位置关系

从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上；反之如果不成立则不在这个圆上．思考?点与圆的位置关系有几种？点在圆内，点在圆上，点在圆外三种位置关系.

思考?怎样判断点

在圆

内呢？还是在圆外呢？二.点与圆的位置关系从上题知道，判断一个点在不在30M3M1A观察下图中的三个点，可以看到M2

点在圆外——点到圆心的距离大于半径r；点在圆内——点到圆心的距离小于半径r；

点在圆上——点到圆心的距离等于半径r．xyo同理，点在圆内设

在圆外，圆心A(a,b)，由点到圆心距离大于半径r得点在圆上M3M1A观察下图中的三个点，可以看到M231小结：特别地，点

在圆

内的条件是点

在圆

外的条件是

点

在圆

上的条件是小结：特别地，点在圆32例2

的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．

因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

解：设所求圆的方程是

（1）解此方程组，得：所以，的外接圆的方程

上述方法为待定系数法.还有别的方法吗？例2的三个顶点的坐标分别A(5,1)33圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)几何方法方法二：例2

的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,34

例3

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,