2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动

2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动

九年级数学解题技能展示试题（A卷）一、选择题.若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6=15产生进位现象；13是“连加进位数”，因为13+14+15=42产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0，1，2，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（A）A．0.88B．0.89C．0.90D．0.91.如图，不规则四边形ABCD中:AB和CD是线段,AD和BC是圆弧，直线l±AB于E,当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的大致图象是（C）.7、在平面直角坐标系中，设点P到原点。的距离为p,OP与x轴的正方向的夹角为a（取逆时针方向），则用[p,a]表示点P的极坐标。显然，点P的坐标和它的极坐标存在一一对应关系。如点P的坐标（1,1）的极坐标为P[2,45°],则极坐标Q[4,60°]的坐标为（A）A、(2A、(2,2%3)B、(2,-23)C、(2\:3,2)D、(2,2),4,.如右图，已知直线/的表达式是y=3X-4，并且与X轴，y轴分别交于a,b两点。一个半径为1.5的。。圆心C从点（0,1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当OCOC与直线l相切时，则该圆的运动时间为（D）A3s或6s;B6sC3sD6s或16s.在^ABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且且N1=N2=N3,如果^ABC、^EBD、△ADCm+m的周长依次是m、m/m2,则1m2的最大值是(c)5357A3B4C4D46.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（B）A.m<nB.m=nC.m>nD.无法确定m、n的大小.如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图甲所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形。图2是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的，则覆盖棚顶的帆布的面积为（不考虑接缝等因素）（）。A160nB145nC120nD110n二、填空题.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线，已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=以与（a为常数），广告效应为D=一A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为—[a2-.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准器一一商鞅铜方升，其三视图如图年示（单位：寸）：若n取3,其体积为12.6（立方寸），则图中x的值为3。队」.如右图，时钟的钟面上标有1,2,3,…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数分别是和．（1，2，11，12；3，4，9，10；5，6，7，8．）.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图在。01和扇形0,0中，。01与O2C、O2D分别切于点A、B,已知/8？=60°,E、F是直线O1O2与。01、扇形0,0的两个交点，且EF=24cm,设0O1的半径为xcm.若.邓扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2,当。O1的半径为二—时，该玩具的制作成本最小。解：(1)连接01A..・哈与耍JD分别切一点A、BAO1A±O2C,O2E平分nCO2D,・•.NAO2O1=nCO2D=30°,在RfO1AO2中，sinzAO2O1=,「.O1O广==2x.・•.FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x,即扇形02cD的半径为(24-半)cm.(2)设该玩具的制作成本为y元，贝Uy=0.45nx2+0.06x=0.9nx2-7.2nx+28.8n=0.9n(x-4)2+14.4n所以当x-4=0,即x=4时，y的值最小.答：当CO1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小..已知二次函数/和一次函函^Ti一次函函数和一次函数，其中a、b、c满足条件a>b>c,且a+b+c=0；(1)证明：一次函数与二次函数的图象必有两个不同交点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影AB1的长的取值范围.解：(1)联立两个方程，从中消去y得窈口+2版+C=0..「.「3-1.5x=2x，x=m，&二4必一4公=4（一"一炉一4这二气层+盘+/）=4血++|ca],注意到a>b>c,a+b+c=0,「.a>0,c<0,「.△>0,故两条曲线必交于两个不同的交点A、B；（2）设/+2配+「=0的两个根为x1、x2,则AB在x轴上的射影的长">—Cl—C>J得一E2,一一）由，由此可得.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．解：由AB=1.5m，S△ABC=1.5m2，可得BC=2m，由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，由DEIIAB，得RfCDE-RfCBA，上严r,即XJ-...上二厂1」-，由图2,过点B作RfABC斜边AC上的高，BH交DE于P,交AC于H.由AB=1.5m,BC=2m,得AC=b：\L」,「=2.5(m),由AC・BH=AB・BC可得，BH==1.2m,设乙设计的桌面的边长为ym,・•・DEllAC,「•RfBDEsRfBAC,，解得y=m,・X2>y2,•••甲同学设计的方案较好.15.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心乂的坐标为（1,0），半圆半径为2。(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式。解：(1)根据题意可得：A(-1,0),B(3,0),则设抛物线的解析式为好或‘十年工一年(a/0),又点D(0,-3)在抛物线上，•.a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1.•.y=X2-2x-3，自变量范围：-1<x<3o(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM,在RfMOC中，•「OM=1,CM=2,•.nCMO=60。，OcM,在RfMCE中「6=2