高考数学三轮冲刺模拟计划模拟题分类汇编专题训练题训练-含解析

不等式高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.1、“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2、分式不等式，然后统分转化为分式不等式3、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.4、算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(q2,4)6、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．7、几个重要的结论(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．不等式比较大小，可以从以下几个方面解决：运用不等式的性质，化为同底构造法特殊的方法2、运用基本不等式要注意不等式成立的条件。1、若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．2、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A．3、设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.4、若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.5、已知集合，则A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．6、设，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，，,即，又，，即，故选B.7、已知a>0，b>0，且a+b=1，则A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD.8、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，腿长为105cm得，即，，，所以AD>169.89.②头顶至脖子下端长度为26cm，即AB<26，，，，，所以.综上，.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．9、2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得因为，所以，即，解得，所以10、已知，则的最小值是▲．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.11、已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：12、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.13、设，则的最小值为__________．【答案】【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.一、单选题1、下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】解：对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题；对于B选项，当时，不满足，故为假命题；对于C选项，当时，，不满足，故为假命题.对于D选项，由于，所以，即，故为真命题.故选：D.2、不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】不等式的解集为,的两根为，，且，即,解得则不等式可化为解得故选3、已知，，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，且，则，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，

，所以．

故选：D．5、若，，，则的最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，，当且仅当“”时取等号，∴的最小值为9.故选：A.6、若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为不等式的解集中恰有个正整数，即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为所以这三个正整数为，所以，即故选：D7、已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由题意，正数是关于的方程的两根，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选：C.8、电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（）（参考数据：，）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值饮酒驾车醉酒驾车A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20，则令，即，解得，，的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车.故选：B.二、多选题9、设，则（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因为，可得函数均是减函数，可得，，所以CD不正确；又由函数是增函数，是减函数，可得，且，所以，所以故A正确；因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.故选：AB.10、已知均为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若则D．若则【答案】BC【解析】若，，则，故A错；若，，则，化简得，故B对；若，则，又，则，故C对；若，，，，则，，，故D错；故选：BC．11、设，则下面不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，所以，故A正确；对于B，当时，，，所以，当时，，即，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，，，当且仅当时取等号，故D错误.故选：ABC12、下列结论正确的是（）A．， B．若，则C．若，则 D．若，，，则【答案】BD【解析】当时，为负数，所以A不正确；若，则，考虑函数在R上单调递增，所以，即，所以B正确；若，则，，所以C不正确；若，，，根据基本不等式有所以D正确.故选：BD13、设，则下列不等式中，恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A.作差比较判断；B.利用基本不等式判断；C.作差比较判断；D.利用不等式的加法性质判断.【详解】A.因为，当时，，当时，，所以，故正确；B.因为，所以，故错误；C.因为，所以，故错误；D.因为，所以，故正确；故选：AD14、已知、、．若，则（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A选项，，，，A选项正确；对于B选项，，，，即，B选项错误；对于C选项，因为，由基本不等式可得，，C选项正确；对于D选项，，，可得，D选项错误.故选：AC.15、设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．故选：ABD16、若，且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由且，利用基本不等式，对选项中的不等式逐一验证即可.【详解】由，故D错误；,故A正确；

又前面可知，故B正确；由，故C正确，故选ABC.17、已知在则实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】首先，原式中有，所以无意义，题目错误；其次，若四个选项改为不含0的开区间时，利用特殊值法，取，则不等式可化为，即，当时，不等式成立，故排除选项AB；取时，代入，即，正确，故CD不满足.故无正确答案.三、填空题18、当取得最小值时，______.【答案】4【解析】当且仅当，即时，等号成立.故答案为：19、函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.20、谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数与的和表示等.从这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）【答案】【解析】三个埃及分数和为1，一定有一个是，否则和不可能为1，剩下2个和为，都小于也不合题意，否则两个埃及分数的和，因此第2个是，第3个只能是．故答案为：．21、已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即当且仅当时，又即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：922、已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．【答案】【解析】设，则，因为对任意，，所以，所以对任意，是单调递增函数，因为，所以，由，可得，则的解集.故答案为：.23、若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】解：若，时，，，∴，此时不恒成立，∴，，令，，时，，，，在单调递减，单调递增，∴，，时，，，原不等式恒成立；时，令，，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案为：.24、西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为，半径且为米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为米的峡谷拐入宽为米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点，的连线恰好与圆弧拐角相切于点（点，，在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.【答案】75【解析】设，其中，延长OM，交AB于D，过B做SB垂线，交DO于G，延长ON，交AB于E，过A做SA垂线，交NO于F，如图所示：在中，，AF=39，则，即，在中，，，则，即，在中，，OT=1，所以，又，所以，所以=，因为，其中，当且仅当时，等号成立，所以=，当且仅当，即时等号成立，所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.故答案为：75.导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.1、基本初等函数的导数公式(1)(xα)＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axln_a(a>0且a≠1)；(3)(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝eq\f(1,x)；(6)(sinx)′＝cos_x；(7)(cosx)′＝－sin_x.2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0).3、复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.（1）函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.（2）函数的极值判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.求可导函数的极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.（3）函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在区间(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（4）方法技巧1、利用导数的符号来判断函数的单调性；2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；3、f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．1、分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．[判断、证明或讨论函数零点个数的方法]利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.2、数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．3、常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．三种增长型函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax4、解函数应用题的步骤第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．1、函数的图像在点处的切线方程为A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B．2、若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D．3、已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．4、已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.故选C.5、已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．6、曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即7、在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．8、设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.9、已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是.10、已知函数．（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．【解析】（1）．当时，；当时，．所以在区间单调递增，在区间单调递减．（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，最小值为．而是周期为的周期函数，故．（3）由于，所以．11、设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求B．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）．依题意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.与的情况为：x+0–0+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．由题设可知，当时，只有两个零点和1.当时，只有两个零点–1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.12、已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．当变化时，的变化情况如下表：1-0+↘极小值↗所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．（Ⅱ）证明：由，得．对任意的，且，令，则．①令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．因为，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，故．③由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．13、已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【解析】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.14、已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因为，，所以在上存在零点．因为，所以当时，，故函数在上单调递增，所以函数以在上有唯一零点．（Ⅱ）（ⅰ）令，，由（Ⅰ）知函数在上单调递增，故当时，，所以函数在单调递增，故．由得，因为在单调递增，故．令，，令，，所以故当时，，即，所以在单调递减，因此当时，．由得，因为在单调递增，故．综上，．（ⅱ）令，，所以当时，，故函数在区间上单调递增，因此．由可得，由得．15、已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【解析】的定义域为，．（1）当时，，，曲线在点处的切线方程为，即．直线在轴，轴上的截距分别为，．因此所求三角形的面积为．（2）当时，．当时，，．当时，；当时，．所以当时，取得最小值，最小值为，从而．当时，．综上，的取值范围是．16、已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.单选题1、已知函数（其中为自然对数的底数），则图象大致为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，该函数的定义域为，且，令，可得，此时，函数单调递减；令，可得，此时，函数单调递增.所以，函数的极小值为.因此，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.2、已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.3、已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，所以切点为，代入，得，、为正实数，则．当且仅当时，取得最小值．故选：C4、若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，代入点，则，解得，，则，令，解得，函数的递增区间为.故选：A.5、设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为A．(0，1)B．(0，)C．(，)D．(，1)【答案】C【解析】的定义域为，∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，∴解得：∴欲求的增区间只需，解得：即函数的增区间为(，)故选：C6、已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数有两个零点由题意得方程有两个根.设，则设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增,当，所以在上单调递减,又，，当时，，则所以存在，，即在上，又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，作出函数的大致图象如下.所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是，故选：B7、已知函数，若且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，，令，得，切点坐标为，此时，，，故选B.多选题8、函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，

∴函数与函数有一个交点，

作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；

当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.

故选：ABC.9、设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（）A．0 B． C． D．1【答案】BCD【解析】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则所以在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则故选：BCD10、（2020·鱼台县第一中学高三月考）对于函数，下列正确的是（）A．是函数的一个极值点B．的单调增区间是，C．在区间上单调递减D．直线与函数的图象有3个交点【答案】ACD【解析】由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数的图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.11、已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】CD【解析】因为，可得，即为偶函数，由题意可得时，有两个零点，当时，，即时，，由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得：或（舍去），即有切线的斜率为，故，故选：CD.12、已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函数,,∵是函数的极值点，∴，即，

,

,,即A选项正确,B选项不正确;

,即C正确,D不正确.

故答案为:AC.13、设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函数，因为，，为奇函数，当时，，在上单调递减，在上单调递减．存在，得，，即，；，为函数的一个零点；当时，，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为，故选：．14、关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则.【答案】BD【解析】A.函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，则g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确故正确的是BD，故选：BD．15、设函数，且、、，下列命题正确的是（）A．若，则B．存在，使得C．若，则D．对任意，总有，使得【答案】BC【解析】利用函数在上的单调性可判断A选项的正误；证明出，可判断B选项的正误；利用函数在上的单调性可判断C选项的正误；取，，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，当时，，因为，则，则，即，所以，，A选项错误；对于B选项，当时，，，所以，函数在上单调递增，当时，，因为，则，则，即，所以，，结合A选项可知，，若，则，所以，，B选项正确；对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增，，则，即，则，所以，，即，C选项正确；对于D选项，取，，由AB选项可知，，则，若存在，则，此时，，D选项错误.故选：BC.填空题16、设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为__________．【答案】【解析】由题,过点作曲线的切线,则,设点,则,当切线与直线平行时点到该直线距离最小,则,即,所以点为,则点到直线的最小距离为,故答案为：17、曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】18、直线与曲线相切，则__________.【答案】【解析】函数的导函数，设切点坐标，则，解得：.故答案为：19、若函数在区间内不单调，则k的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；当时，若，则，若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，综上可知：.故答案为：.20、已知直线是曲线的一条切线，则_________．【答案】．【解析】对，，由，得时，，所以，．故答案为：．21、已知是正整数，有零点，则的最小值为__________.【答案】10【解析】由得，令，则，令，由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得最小值，由题意可知：，，.故的最小值为10.故答案为：1022、已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．【答案】【解析】设，则，因为对任意，，所以，所以对任意，是单调递增函数，因为，所以，由，可得，则的解集.故答案为：.23、设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，在点处的切线斜率为，所以，将点代入可得，所以方程即有两个不等实根，等价于与图象有两个不同的交点，作的图象如图所示：由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，故答案为：24、函数（，）在区间上存在极大值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】设，，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减；且，又，则当，即时，先增后减，即函数存在极大值故答案为：解答题25、已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当时，，∴，，∴切线方程为，即（2）∵，∴原条件等价于：在上，恒成立.化为令，则令，则在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值为，∴26、已知函数，函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（3）证明：当时，.【解析】（1）解：的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数，则.因为，所以，，则，从而在上单调递减，所以，即.（3）证明：当时，.由（1）知，，所以，即.当时，，，则，即，又，所以，即.27、已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【解析】（1）当时，，，所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，所以由，得或，当或时，，当时，，所以在，上是增函数，在上是减函数，因为，，所以的最大值为.28、已知函数.（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，点不在函数图象上，，设切点为，则切线方程为，因为过点，所以，解得，因此所求的直线方程为.（2），当时，，所以在上单调递增，其中，，符合题意，当时，取，，不符合题意；当时，，所以在上单调递减，，所以在上单调递增，所以，要使，只需，，解得；综上所述，.29、已知函数．(1)当时，设函数的最小值为，证明：；(2)若函数有两个极值点，证明：．【解析】（1），令，解得，当时，，当时，，，，令，则，令，解得，当时，，当时，，，，当时，；（2），，令，则，令，解得，当时，，当时，，，又函数有两个极值点，则，，且，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，又，，，令，则，令，则，在上单调递增，，在上单调递增，，，，即，．30、设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.【解析】（1）当，时，，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）①因为，所以，依题设有，即.解得.②，.对恒成立，即对恒成立.令，则有.当时，当时，，所以在上单调递增.所以，即当时，；当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.综上，.概率统计古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．1.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p))n－k(k＝0，1，2，…，n)．2.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．3.离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1．4.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(r,M)Ceq\o\al(n－r,N－M),Ceq\o\al(n,N))，r＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布．X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)MCeq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)MCeq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))(3)二项分布X～B(n，p)，记为Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＝B(k；n，p)．X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq05.求概率分布的步骤(1)明确随机变量X取哪些值；(2)求X取每一个值的概率；(3)列成表格．6.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝xi－E(x)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，D(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差．2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3.两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝eq\f(nM,N)．8正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数μ，σ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)μ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．9.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．eq\x(体现的不一定是因果关系.)(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定参数，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b^＝\f(\i\su(i＝1（xi－x－）（yi－y－）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x－,n,）)2)＝\f(\i\su(i＝1xiyi－nx－y－,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx－2)，,a^＝y－－b^x－.)),（3）通过求Q＝∑n,i＝1,n,)(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．3.独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．常用结论(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点(x－，y－)．(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，，,故需要志愿者名.故选：B2、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A． B．C． D．【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.故选：D.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.4、在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.5、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC6、从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.7、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．8、设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时，A．增大 B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大．故选D．方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大．故选D．9、已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.10、盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．【答案】，【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以，随机变量，，，所以.故答案为：.11、甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为．所以需要进行第五场比赛的概率为．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．因此丙最终获胜的概率为．12、某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【解析】（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本的相关系数．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．13、某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为．（3）根据所给数据，可得列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得．由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．14、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：3218468123710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为．（2）根据抽查数据，可得列联表：64161010（3）根据（2）的列联表得．由于，故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关．15、某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;（Ⅲ）16、为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．17、11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．18、设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知．19、改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，