2伯恩斯坦多项式

伯恩斯坦多项式的多项式定义为(1)在哪里是一个二项式系数。伯恩斯坦多项式的学位形成一个基础权力多项式的程度。最初几个多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)伯恩斯坦多项式的实现Wolfram语言作为BernsteinBasis[n,我,t]。伯恩斯坦多项式有许多有用的特性(截至1993年)。它们满足对称(12)积极性(13)为,归一化(14)和与有一个独特的局部最大值的(15)发生在

.的信封伯恩斯坦多项式的为1……(2003年Mabry)给出(16)上文所述的

.伯恩斯坦扩张的阶伯恩斯坦扩张的一个函数的一个变量是由(1)(Gzyl和帕拉西奥斯1997,装置建立1997)是一个二项式系数和(2)是一个伯恩斯坦多项式.让给出了身份(3)为和

.参见参见:权��多项式幂多项式是一个有关Sheffer序列与(1)给生成函数(2)和指数生成函数(3)和二项身份Sheffer序列一个序列被称为Sheffer序列敌我识别它的生成函数的形式(1)在哪里(2)(3)与。Sheffer序列有时也称为poweroids(Steffensen1941,萧若元1982年,DiBucchianico和勒布2000)。如果是δ系列是一个可逆的系列,那么存在一个唯一的序列Sheffer多项式的满足正交性条件(4)在哪里是克罗内克符号(罗马1984,p。17)。一般Sheffer序列的例子包括保险精算的多项式,伯努利第二类型的多项式,布尔多项式,拉盖尔多项式,Meixner多项式的第一和第二种,Poisson-Charlier多项式,斯特灵多项式.Sheffer序列为被称为相关序列和罗马(1984,pp。53-86)总结了相关的属性Sheffer序列,给出了一个具体的例子(亚伯多项式,贝尔多项式,中央!,贝尔多项式,下降!,古尔德多项式,马勒多项式,米塔格-莱弗勒多项式,莫特多项式,权力多项式)。Sheffer序列为被称为阿佩尔序列的和罗马(1984年,页1984-86)总结了阿佩尔序列的性质,给出了具体的例子。如果是一个Sheffer序列,那么对于任何多项式

,(5)序列是Sheffer敌我识别(6)对所有在这个领域0的特点,是组成逆函数的(罗马1984年,p.18)。这个公式立即给出了生成函数与给定Sheffer相关序列。一个是Sheffer序列对于一些可逆的敌我识别(7)对所有(罗马1984年,p.20)。一个序列的Sheffer身份状态是Sheffer对于一些可逆的敌我识别它满足一些binomial-type序列(8)对所有在,在那里是相关的(罗马1984年,p.21)。的递归关系Sheffer序列是由(9)(罗马1984年,p.50)。一个非凡的递归关系是由(10)为

,,(Meixner1934;ShefferChihara1934;1978;1984年罗马,页。156-160年)。连接系数在表达(11)是由(12)在哪里是Sheffer和是Sheffer。这也可以写成多项式的系数(13)这是Sheffer为(14)(罗马1984年,页132-138)。一个复制公式的形式(15)是由(16)在哪里是Sheffer(罗马1984年,页132-138)。参见:

克罗内克符号克罗内克符号的最简单的解释是离散的δ函数定义为(1)克罗内克符号实现的Wolfram语言作为KroneckerDelta(i,j),以及在广义形式KroneckerDelta[j,我……)返回1敌我识别所有参数都是平等和0。它有围道积分表示(2)在哪里是一个轮廓对应于单位圆和和是整数.在立体,克罗内克符号满足身份(3)(4)(5)(6)在哪里爱因斯坦总结隐式地假定,、2、3,是置换符号.从技术上讲,克罗内克符号是张量定义的关系(7)因为,根据定义,坐标和是独立的

,(8)所以(9)和真的是一个混合第二排名张量。它满足(10)(11)(12)(13)(14)参见:阿佩尔序列一个阿佩尔是一个序列Sheffer序列为。罗马(1984年,页1984-86)总结了阿佩尔序列的性质,给出了具体的例子。序列是阿佩尔敌我识别(1)对所有在这个领域的场特徵0,敌我识别(2)(罗马1984年,p.27)。阿佩���的身份状态序列是一个阿佩尔序列敌我识别(3)(罗马1984年,p.27)。的伯努利多项式,欧拉多项式,埃尔米特多项式阿佩尔序列(事实上,更具体地说,他们是谁阿佩尔交叉序列).参见:场特徵对于一个场乘法身份1,考虑到数字

,

,等等。这些数字都是不同的,在这种情况下,我们说特征0,两个相等。在后一种情况下,它是直接表明,对于一些数字,我们有。如果选择尽可能小,然后呢将是一个'和我们说有特点。一个字段的特点有时表示

.的字段(理性),(实数),(复数)p进数字有特点0。为一个',有限域GF()特点

.如果是一个子域的,然后和有相同的特点。参p进数量一个进是一个扩展的数量领域的理性这样刻画模权力一个固定的'与邻近的所谓的“进指标。”任何非零有理数可以表示为(1)在哪里是一个质数,和是整数不可分割的通过,是一个独特的整数。然后定义p进规范的通过(2)还定义了进规范(3)的-adics可能是首次由Hensel(1897)的一篇论文中关注代数数量的发展幂级数.进数字被推广估值1913年由Kűrschak。哈斯(1923)随后制定了哈斯原则的主要应用之一局部场理论。Skolem的进方法,用于攻击特定的丢番图方程,是另一个强大的应用程序进数字。另一个应用程序的定理谐波数从来都不是整数(除了)。类似的应用程序的证明冯Staudt-Clausen定理使用进的估值,尽管技术细节有些困难。另一个应用程序提供的Mahler-Lech定理.每一个理性的有一个“基本上”独特的吗进扩张(“本质上”,因为零条件总是可以添加在开始)(4)与一个整数,的整数0到包容,是收敛对求和进估值。如果和,那么扩张是独一无二的。汉堡和Struppeck(1996)显示一个'和一个正整数,(5)在哪里进的扩张是(6)和(7)足够大的

,(8)的进的估值上产生的进规(9)进而产生了吗进拓扑。它可以表明,理性,一起进度规,不形成完整的度量空间。完成这个空间因此可以构造,和的集合进数字定义完成空间。就像实数完成吗理性的对通常的绝对估值,进数字的完成关于进的估值。的在解决进数字是有用的丢番图方程。例如,方程可以很容易地显示没有解决方案领域的2-adic数字(我们只是双方估值)。因为2-adic数字包含理性的一个子集,我们可以立即看到方程没有解决方案理性的。我们有立即的非理性的证据

.这是一个常见的观点是用于解决这些类型的方程:为了表明一个方程没有解决方案,我们表明,它没有解决方案扩展字段。另一个例子,考虑。这个方程没有解决方案因为它没有解决方案的实数,是的一个子集

.现在考虑到交谈。假设我们有一个方程,有解决方案和所有的对于每一个'。我们可以得出这样的结论:方程有解吗?不幸的是,一般来说,答案是否定的,但也有类方程的答案是肯定的。这样的方程满足哈斯原则.参见:信封单参数族的包络曲线给定的隐式(1)或以参数形式是一条曲线,触动每一个家庭成员无意中。曲线代表信封是发现,通过求解(2)隐式曲线代表,信封是由同时解决(3)(4)参见:

Bernstein-Szego多项式的正交多项式的时间间隔相关的加权函数(1)(2)(3)也被称为伯恩斯坦多项式.

权重函数一个函数用于规范化正交函数正交函数两个函数和是正交的间隔与权重函数如果(1)此外,如果(2)(3)的函数和据说正交.正交函数两个函数和标准正交如果他们吗正交并且每个标准化,这样(1)(2)这两个条件可以简洁地写成(3)在哪里是一个权重函数和是克罗内克符号.参见:

贝塞尔多项式克劳尔和芬克(1949)定义了贝塞尔函数多项式(1)(2)在哪里是一个修改后的第二类贝塞尔函数。他们非常相似修改后的球形第二类贝塞尔函数。前几个是(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA001497)。这些函数满足的微分方程(8)随后Carlitz(1957)认为相关的多项式(9)这个多项式形式相关Sheffer序列与(10)这就给了生成函数(11)显式公式(12)(13)在哪里是一个双!和是一个第一类合流超几何函数。最初几个多项式(14)(15)(16)(17)(OEISA104548).多项式满足递推公式(18)参布尔多项式多项式形成一个Sheffer序列与(1)(2)并有生成函数(3)前几个是(4)(5)(6)乔丹(1965)认为相关的多项式形成一个Sheffer序列与(7)(8)这些多项式生成函数(9)前几个是(10)(11)(12)(13)的彼得斯多项式是一个布尔多项式的泛化。参彼得斯多项式多项式这是一个泛化的吗布尔多项式,形成了Sheffer序列为(1)(2)并有生成函数(3)前几个是(4)(5)和(6)参见:Brahmagupta身份让(1)在哪里是Brahmagupta矩阵,然后(2)(3)参见:Brahmagupta矩阵

Brahmagupta矩阵(1)它满足(2)权力矩阵的定义(3)(4)(5)的和被称为Brahmagupta多项式。Brahmagupta矩阵可以扩展负整数(6)(7)(8)参见:

Brahmagupta身份让(1)在哪里是Brahmagupta矩阵,然后(2)(3)参见:欧拉多项式欧拉多项式给出的阿佩尔序列与(1)给生成函数(2)最初几个欧拉多项式(3)(4)(5)(6)(7)(8)罗马(1984,第100页)定义了一个概括的。欧拉多项式有关伯努利数通过(9)(10)(11)在哪里是一个二项式系数。设置和规范化的给出了欧拉数(12)的头几个值是01/4017/80、3、半0,是相同的但条款迹象相反,如果。这些值可以计算使用双系列(13)的伯努利数为可以表达的吗通过(14)牛顿欧拉给出多项式的扩张(15)在哪里是一个二项式系数,是一个下降!,是一个斯特灵第二种的数量(罗马1984年,p.1984)。欧拉多项式满足身份(16)和(17)为一个非负整数.参见:贝尔多项式有两种类型的贝尔多项式。一个钟多项式,也被称为一个指数多项式表示(贝尔1934,罗马1934,页1934-67)是一个多项式概括了钟数和贝尔��充数量这样(1)(2)这些贝尔多项式推广指数函数.贝尔多项式不应混淆伯努利多项式通常,这也表示

.贝尔多项式的实现Wolfram语言作为BellB[nx]。最初的几钟多项式(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA106800).相关的形式Sheffer序列为(10)所以多项式指数生成函数(11)额外的生成函数为是由(12)或(13)与,在那里是一个二项式系数.铃多项式有明确的公式(14)在哪里是一个斯特灵第二种的数量.一个美丽的二项总和是由(15)在哪里是一个二项式系数.的导数是由(16)所以满足递归方程(17)第二种贝尔多项式是由(18)他们有生成函数(19)参见:Fermat-Lucas多项式的------多项式通过设置和在卢卡斯多项式序列。设置(1)给一个Fermat-Lucas数量.最初几个Fermat-Lucas多项式(2)(3)(4)(5)(6)参见:

卢卡斯多项式序列卢卡斯多项式序列是广义的一对多项式概括了卢卡斯序列来多项式是由(1)(2)在哪里(3)(4)解和和解决方案与签署了(5)(Horadam1996)。设置给了(6)(7)给(8)(9)序列通常被认为是,给(10)的多项式满足递归关系(11)特殊情况的和下列表中给出多项式。1斐波那契多项式卢卡斯多项式1佩尔多项式Pell-Lucas多项式1Jacobsthal多项式Jacobsthal-Lucas多项式费马多项式Fermat-Lucas多项式第二类切比雪夫多项式第一类切比雪夫多项式参见:卢卡斯序列让

,是整数令人满意的(1)然后根的(2)是(3)(4)所以(5)(6)(7)(8)现在定义(9)(10)为整数,所以最初几个值(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)和(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)这些是由封闭的形式(33)(34)序列(35)(36)被称为卢卡斯序列,定义通常是扩展到包括什么(37)下面的表总结了特殊情况的和

.斐波纳契数卢卡斯的数字佩尔多Pell-Lucas数字Jacobsthal数字Pell-Jacobsthal数字卢卡斯序列满足一般递归关系(38)(39)(40)(41)(42)(43)采取然后给了(44)(45)其他身份包括(46)(47)(48)(49)(50)这些公式可以计算分解成一个链中只有四个数量必须保持跟踪,以及所需的步骤。链是特别简单的如果有很多2s分解。参见:卢卡斯数量卢卡斯数字序列的整数定义的线性递归方程(1)与和。的卢卡斯实现数量Wolfram语言作为LucasL[n]。的值为,2,…是1、3、4、7、11、18日,29日,47岁,76年,123年……(OEISA000204).卢卡斯���数字也是一个卢卡斯序列的同伴斐波纳契数并满足相同的复发。的数量的方法挑选一套(包括空集)从数字1、2、……没有选择两个连续的数字(1和现在连续)是什么(Honsberger1985,p.1985)。唯一的平方数在卢卡斯序列是1和4(Alfred1964,科恩1964)。唯一的三角卢卡斯数字是1,3,5778年(明1991)。唯一的立方卢卡斯号码是1。而令人惊讶的是,如果是'。反过来不一定成立,然而,合数这样被称为卢卡斯pseudoprimes.为,2,…,数字的小数位数是1、3、21、209、2090,20899,208988,2089877,……(OEISA114469)。可以看到,数字定居产生的初始字符串208987640249978733769这个数字……对应的小数位数(OEISA097348),是黄金比例。这是事实的任意次幂函数,的小数位数是由

.卢卡斯的周期的长度数字(mod),2,…12,300,300,3000,300000,300000,……(OEISA114307).的模拟比奈斐波纳契数的公式对卢卡斯的数字(2)另一个公式是(3)为,在那里是黄金比例和表示最近的整数的函数.另一个递归关系是由,(4)为,在那里是层功能.满足于卢卡斯数字包括额外的身份(5)和(6)卢卡斯数字遵守否定公式(7)加法公式(8)在哪里是一个斐波纳契数,减法公式(9)基本的身份(10)结合关系(11)继任者的关系(12)二倍角公式(13)多元视角复发(14)多角度的公式(15)(16)(17)(18)产品扩张(19)和(20)广场扩张,(21)和权力的扩张(22)卢卡斯数量满足复发(23)在哪里是一个Fibonomial系数的倒数之和(24)卷积(25)的部分分式分解(26)在哪里(27)(28)(29)和求和公式(30)在哪里(31)让是一个'和是一个正整数。然后以一个3(Honsberger1985,p.1985)。类似物采查罗的身份的斐波纳契数是(32)(33)在哪里是一个二项式系数.(分

)敌我识别分成一个甚至的次数。敌我识别分为一个奇怪的的次数。总是以2(Honsberger1985,p.1985)。定义(34)给了(35)(Honsberger1985,页113-114)。参见:Jacobsthal数量Jacobsthal数字数据获得的年代的卢卡斯序列与和相应的,和。他们和Jacobsthal-Lucas数字(s)满足递归关系(1)Jacobsthal数量满足和0,1,1,3,5,11日,21日,43岁,85年,171年,341年……(OEISA001045)。Jacobsthal-Lucas数量满足和,2、1、5、7、17日,31日,65年,127年,257年,511年,1025年……(OEISA014551)。总结了这些数字的属性Horadam(1996)。微控制器(和其他计算机)使用条件指令改变程序的执行流程。除了分支指令,微控制器使用跳过说明它有条件地绕过下一个指令。这风是有用的一个案例中四种可能的2位,3例在3位,4位5例,11位5日,6日21位,7日43位,8位85,……,这正是Jacobsthal数字(赫斯特2006年)。Jacobsthal和Jacobsthal-Lucas数字是由封闭的形式表达式(2)(3)在哪里是层功能和是一个二项式系数。比奈形式是(4)(5)(6)(7)令人惊讶的是,在二进制解释时,Jacobsthal数字给迭代的应用规则28细胞自动机一个黑色细胞组成的初始条件(e.w.Weisstein,2006年4月12日)。的生成函数是(8)(9)Simson公式是(10)(11)求和公式包括(12)(13)相互关系是(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(Horadam1996)。参见:佩尔多佩尔数字数据获得的年代的卢卡斯序列与和。他们对应佩尔多项式。同样,Pell-Lucas数字年代的卢卡斯序列与和和对应Pell-Lucas多项式

.佩尔和Pell-Lucas号码也等于(1)(2)在哪里是一个斐波那契多项式.佩尔和Pell-Lucas数量满足递归关系(3)与初始条件和佩尔数字和Pell-Lucas数字。的th佩尔和Pell-Lucas号码Binet-type显式给定的公式(4)(5)的th佩尔和Pell-Lucas号码由二项式总结给出(6)(7)分别。佩尔和Pell-Lucas数量满足身份(8)(9)(10)和(11)(12)为,1,…,佩尔数字是0、1、2、5、12日29日,70年,169年,408年,985年,2378年……(OEISA000129).为佩尔数',这是