新高一预科-暑假-1、初高中衔接教师版

初高中衔一、绝对

a(aa0(aa(a⑷两个绝对值不等式|x|a(a0axa|x|a(a0xax经典例1解不等式x1x3解:解法一：x10x1x30x3x1，不等式可变为(x1x3)4，即2x4＞4x＜0，②若1x2，不等式可变为(x1x3)4，即1＞4，x3，不等式可变为(x1x3)4，即2x4＞4x＞4．11－1x即|PA|＝|x－1|；|x－3|xP2B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式x1x3＞4的几何意义即为PC(0)PD(坐4)的右侧．

快速练

5，则 ；若

4，则 如果ab5，且a1，则 ；若1c2，则

b，则a

b，则a若aba化简：|x5|－|2x13（x＞5

ba5； 2.4；1或 二、乘法公

(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(abc)2a2b2c22(abbcac)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3经典例1(x1)(x1)(x2x1)(x2x12：已知abc4abbcac4a2b2c2的值．解abc216a2b2c22ab2ac2bc16a2b2c2168快速练11a21b2(1b a) 1 (4m )216m24m )(a2bc)2a24b2c2 )若x21mxk是一个完全平方式，则k等 2

14

13

1不论a，b为何实数，a2b22a4b8的 总是正 可以是 aa 11 12三、分经典例

5xx(x

A

AB5x解

A A(xx(x

x 2A4,AB5A2,B

1

（n是正整数

n(n1 1 2

n111n(n1n(n

2 3 n 解

n n(n n(n11

n(n 3

2 3快速练

n(n

(1 n

2xyxy

2

5 4

5

5xyx2y22xyxyx

1 2 3 1 2巩固练

x13x3x27x1x16xy1x3y33xy3.（1）(2

3)18(2

3)19 23 45 23 45 3a24.（1）a ，b ， 3a25abx23xy（2）若x2xy2y20，

x2

x

yx yx

yx yx ab2

a

a

ab

baa

等 a aa 解方程2(x2 )3(x )10a

（C）

11

1 2 31n(n1)(n1．＜1n(n1)(n1．＜12 23 11（1）3（1） 3（2）1a1（3）6341）57（2），或－1256（1）C 7．x12,x21911n(n1)(n 2n(n (n1)(n 11]四、因式分经典例（2）x2(ab)xyaby2xy1xy解:（1）x2－3x＋2x1x（2）x2＋4x－12x2xx2(ab)xyaby2xayxbyxy1xyxy1y1x1y1（1）x393x23x（2）2x2xyy24x5y6解:（1）x393x23x(x33x23x9)=x2x33(x=(x3)(x23)x393x23x＝(x33x23x18＝(x1)38＝(x1)3＝[(x1)2][(x1)2(x1)2＝(x3)(x23)（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y=2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy或2x2xyy24x5y6(2x2xyy24x5y=(2xy)(xy)(4x5y)6=(2xy2)(xy3x（1）x22x （2）x24xy4y21解:（1）x22x1=0x1

2，x2 2∴x22x1=x 2)x 2)=(x2

2)(x

2) 1x24xy4y2=01

(222)y，

(222)y∴x24xy4y2=[x

2)y][x

2)y]快速练多项式2x2xy15y2的一个因式 （A）2x5（2）8a3－b3

x

x

x54(xy1)y(y2x)（1）a31；（2）4x413x29（3）b2c22ab2ac2bc（4）3x25xy2y2x9y4（1）x25x3（2）x222x33x24xyy2(x22x)27(x22x)12ABC三边abca2b2c2abbcca，试判定ABC 2（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2ab)(4a22abb2（（3）(x12)(x （4）(2y)(2xy2)3（13（1）a1a2a （2）2x32x3x1x（3）bcbc （4）3yy4x2y4（1）513 5132x2 （2）x 2 5x 2 5；2 3yx2 3y；（4）x3(x1)(x15)(x1 5)(xa1)(x巩固练x2ax2xax1xyxyac2bd2ad2abx2bxyaxyx3bx2axa2b2a2b2x2y2z2x2zy2z106ax29a2xy2xy5x315x2xx32x2x2x5(ab)2(ac)2(cd)2(bx2x9y2x5y5(x4yxy412xx2x2nxn1y4m a(1b)212ba4b4c42a2b22b2c2ax3xaa4a3bab3x3y3x22xyx4x3yxz3x5x4x3x2x(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3(ab)3(bc)3(ca)3a3b3x4x32x2xx619x3y3x43x2x423x2a4a2b2x123x6x8x4x47x2y21y22x21y2x41yx42(a2b2)x2(a2b2x3x2y3x619x3y3x47x227x233x6x212x2144y26x27xy2y212x211xy(xy)24(xy)1212(xy)211(xy)(xy)2(xxx2ax2xax1a1ax21ax1a1ax2xxyxy1xy1y1x1yaxbybxayaxybxyabx4.4.ac2bd2ad2bc2ac2d2bc2d2abcdcd5.abx2bxyaxyy2axybx6.6.x3bx2axabx2ax7.acx3bcx2adxbdaxbcx2da2b2a2b21a1a1b1bx2y2z2x2zy2z1x2y2z2(x2y2)z1(x2z1)(y2z106ax29a2xy2xy3ay22x(3axy)3ay(3axy)(3axy)(2x11.11.5x315x2x35x2(x3)(x3)(x3)(5x21)(x3)(5x1)(5xx32x2x2x52x4x2(x2)(x2)x4(x2)(x2)(x4x2=x4x3x2xx3(x1)x(x1)x(x1)(x2(ab)2(ac)2(cd)2(b(abcd)(abcd)(abcd)(acbd)(abcd)(2ax2x9y23y(x3y)(x3y)(x3y)(x3y)(x3yx5y5(x4yxy4)x4(xy)y4(yx)(xy)(x4y4)(xy)2(x2y2)(x12xx2y2(12xx2y2)[(x1)2y2](x1y)(x118.18.x2nxn1y4m1(xn1)21y4m(xn11y2m)(xn11y2m94 a(1b)212bb2a(1b)2(b1)2(b1)2(aa4b4c42a2b22b2c22c2a2(a4b4c42a2b22b2c22c2a2[(a2b2)22c2(a2b2)c4][a2b2c2ax3xa1a(1x3)x1a(x1)(x2x1)(x1)(x1)[a(x2x1)a4a3bab3b4a3(ab)b3(ab)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2x3y3x22xyy2(xy)(x2xyy2)(xy)2(xy)(x2xyy2xx4x3yxz3yz3x3(xy)z3(xy)(xy)(x3z3)(xy)(xz)(x2xzz2x5x4x3x2x1x3(x2x1)x2x(x31)(x2x1)(x2x1)(x2x1)(x(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3(ab)3(bc)3(ca)3a3b3x4x32x2x1(x21)2x(x21)(x21)(x2x29x619x3y3216y6(x38y3)(x327y3)(x2y)(x22xy4y2)(x3y)(x23xy9y2x43x21x42x21x2(x21)2x2(x21x)(x21x)x423x21x42x2125x2(x21)225x2(x25x1)(x25xa4a2b2b4a42a2b2b4a2b2(a2b2)2a2b2(a2b2ab)(a2b2x123x61x122x61x6(x61)2x6(x6x31)(x6x3x8x41x82x41x4(x4x21)(x4x2(x21x)(x21x)(x21x)(x21x47x2y281y4x418x2y281y425x2y2(x25xy9y2)(x25xy9y236.36.1y22x21y2x41y2[(1y)2x2(1y)2](x2[(1y)x1y][(1y)x1y](x1)(xx42(a2b2)x2(a2b2)2(x4a2b2)(x2b2a22ab)(x2b2a2x3x2y3y2(xy)(x2xyy2)(xy)(xy)(xy)(x2xyy2xx619x3y3216y6(x38y3)(x327y3(x2y)(x22xy4y2)(x3y)(x23xy9y241.41.x47x230(x23)(x210)(x3)(x3)(x227x233x20(3x5)(9x6x212x(2x3)(3xx2144y225xy(x29y2)(x216y2)(x3y)(x3y)(x4y)(x45.45.6x27xy2y2(2x21)(3x22)(2x1)(2x1)(3x2)(3x12x211xy15y2(3x5)(4x(xy)24(xy)12(xy2)(xy6)12(xy)211(xy)(xy)2(x[3(xy)2(xy)][4(xy)(xy)](5xy)(5x五、一元二次方1、根的判别ax2＋bx＋c＝0（a≠0(x

b)2

b2 b2－4ac＞0bb2bb2b2－4ac＝0b b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x

b)2b2－4acax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．ax2＋bx＋c＝0（a≠0，有Δ＞0bb2bb2Δ＝0b Δ＜02、根与系数的关系（定理bb2bbb2bb2x1

，x2

bbbb2x1x2

bbbb2

bb2bb2bb2bb2x1x2

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）x1，x2x1＋x2＝b，x1·x2＝c 关系也被称为定理 x2＋px＋q＝0x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0x1，x2x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有x1，x2为根的一元二次方程（1）是经典例1:x的方程的根的情况（a为常数（3）（1）Δ＝324×1×3＝－3＜0a a2aa2a a2aa2x1

，x2 a＝2时，Δ＝0a≠2时，Δ＞0Δ＞04(1－a)＞0a＜1x1

1a

x2

1aΔ＝0a＝1Δ＜0a＞13，4a的取值的变化而变化，于是，在2:已知方程5x2kx602kk的值．解法一：∵2535

，k x1，则5

，∴x1＝－53 5

5

，得35

，k3:xx2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方21m的值． 本题可以利用定理由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1m＝17．m＝－1x2＋6x＋5＝0，Δ＞0m＝17x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．（1然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出mm分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦则x＋y＝4， 由①，得x2－4x－12＝0，x1 x2∴

或

因此，这两个数是－2解法二：由定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－25:x1x22x2＋5x－3＝0（1）求|x1－x2| 求x

x 2x13＋x2解：∵x1x22x2＋5x－3＝0 2∴x1x22，x1x2 22（1）∵|x1－x2|2＝x12+x2－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(5)24(3)＝25＋6＝4927∴|x1－x2|＝2

(5)22(

25（2）1

x1

(x1x2)2x1x2

2 37x x

x2x

(xx

3 1

( 1 1（3）x13＋x3＝(x＋x)(x2－xx＋x2)＝(x 1 1＝(－5)×[(－5)2－3×(3)]＝－215 ax2＋bx＋c＝0（a≠0x1

b24ac

，x2

b2，bb24acbb24ac

bb24acbb24ac2b24acb2ax2＋bx＋c＝（a≠0（Δ＝b2－4ac

|a6:xx2－x＋a－4＝0a的 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ＜由② 17＜∴a快速练方程x223kx3k20的根的情况 （B）有两个不相等的实数（C）有两个相等的实数 14

414

，且 4

3.（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x和x，则11 mx2＋－20 以－3和1为根的一元二次方程

a28a16|b1|0kkx2＋ax＋b＝0x23x10xx，求x3

3的值 【解析】【解析】【解析 （3）x13x235.【解析】x13x23x1x23x1x2巩固练 ③方程3x2700，两根之积为73④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 方程2x2－x－4＝0的两根为，，则2+2 方程2x2＋2x－1＝0xx，则|x

| mn 如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值 x1x2，如果2(x1＋x2＞x1x2kax＋b＋0

a的两根为xx．求（1）|

|x1x22 （2）x3x3 xx2＋4x＋m＝0xx,满足|x－x|2m 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三 3 3 若x和x是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则x1x2的值 3 2如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根，,则+的取值范围为 （A）+≥2

（B）+≤2

（C）+ （D）+已知a，b，c是ABC的三边长，那么方cx2＋(a＋b)x10的根的情况是 4 （C）有两个相等的实数 若方程x2－8x＋m＝0的两根为x和x，且3x＋2x＝18，则 xxx的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0 是否存在实数k，使(2x1－x2x1－2x2＝3成立？若存在求出k若不存在2x1x22k 若k＝－2x1，试求x

m(m2)x 0m4mx1，x2满足|x2|＝|x1|＋2m Δ＜0对于④，其两根之和应为－对于④，其两根之和应为－32 a＝0 4 441的实数根；当m 118.m＞－，且m≠0m＝－时，方程有两个相等7.x1x2，则所求的方程的两根分别是－x1 k=1x2＋2＝0 )(＋b2)＝(a＋b)[(a＋b2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．13（1）Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞01515．∵|x1－x2|＝164m24m2，∴m＝3m＝3代入方程，Δ＞03abc．2（2）x13＋xbx， 2＝2b21（1）||a (1)(1)k，使(2x1－x2x1－2x2)＝－成立．32k，∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2x12－51x2＋22＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝2－9(k1)＝－3即9(k＝k＝k＜079252＝－成立．23（2）∵12－2＝ 22 122 4 x2x(xx)22x(xx＝ k44k4(kk4k，x1x2－2k＋14k ∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1k＋1x1x2－2k的整数值为－2，－3 1x1x2＝，8①①2÷x1x2＋2＝8，即162610 ∴32222（1）Δ＝ 4 x1≤0，x2≥0x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4x2－2x－4＝0x115x215 23x1，x2，则 (x1－1)(x2－1)＜0 ∴ 此时，Δ＝12－4×(－2) a六、二次函经典例x2y21．下列各组中的值是不是方程组xy

的解x（1）y

x（2）y

xy

xy:（1（2）是方程的组解；（3（4）yx（1）x2y2xy（2）xy（3） x（3）

yxy2（4）x2y2x115,x2

x1 x2解:（1）y

（2） 20,y2 y12,y2x5 x1 x2（3）

yy

（1）

x＞1（4）x＝4．＞3；.xx2＋2x＋1－a20（a为常数（1）当－1－a＜－1＋aa＞0（2）当－1－a＝－1＋aa＝0时，不等式即为（3）当－1－a＞－1＋aa＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；a＝0a＜0快速练（1）yx（1）y

xy2(x3)2y2（2）x2y（3）x2y2（1）（2）（3）2x－x2（4）4－x2m取什么值时,y2y2x有一个实数解?x不等式2x2＋bx－c＞0x＜－1x＞3xxy＝－x2＋mx＋20≤x≤2111）x1x10y3x1y 4y3245 y132,y23（4） y1,y y2（1）（2）23x333（3）1－2≤x≤1＋a＞11＜x＜a；a＝1时，原不等式的无实数解；a＜14yx1代入原方程组，得方程组的解为12将m3y，得4x24(m1)xm20当16(m1)216m20,m12132x2＋bx－c＝0b，－1×3＝－c，2 bx2＋cx＋4≥0就为－4x2＋6x＋4≥022m26．∵y＝－x＋mx＋2＝－(x－2)＋2＋ 1∴mm2m∴k4 0mmm当