第二十四章第四节第一课时弧长和扇形面积课件 【知识建构+落实教材】九年级数学上学期人教版

弧长和扇形面积人教九年级上册第二十四章第四节第一课时

问题1

如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线因不在同一处？为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.情境引入

导入新课

再如：

工人师傅们在制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料.问题3怎样来计算弯道或跑道的“展直长度”？的,所以1°圆心角所对的弧长是.2

R

R

5°3°

1°

n°

探究弧长公式（1）半径为R的圆,周长是多少？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角

所对的弧长？

（3）半径为R，1°圆心角所对弧长是圆周长

1

360

360

180

（4）半径为R，3°、5°圆心角所对弧长又

分别是1°圆心角所对弧长的几倍？

（5）半径为R，n°圆心角呢？公式为：

注意：弧长公式涉及几个量：

探究弧长公式在半径为R

的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算�=���

𝟏�

在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中180，

n表示倍分关系，没有单位。

小试牛刀

例1

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)

解：由弧长公式，得弧AB的长因此所要求的展直长度L=2

×700+1570=2970（mm）100900

180l

500

1570(mm)A.B.C.D.12322

学以致用1.（2021·梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是·（B

）【变式】已知一个扇形的半径为6，弧长为4，则这个扇形的圆心.角为

120°

我们在小学六年级的时候就学习了扇形，哪位同学来谈谈你对扇形有哪些印象？看看下面哪些图形是扇形？并说说你的理由。半径探究扇形面积公式

如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。圆心角半径OBA扇形B弧

A

由扇形定义我们可以知道，扇形是圆的一部分，所以扇形面积就是圆面积的一部分。R

1R

R

n扇形面积为

n

想一想

如何计算扇形的面积？探究扇形面积公式以圆心角是1°的扇形面积是圆面积的

即

，则圆心角是n°的你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形的面积公式？在半径为R的圆中，圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=

R

2

，所2360

3602

2

360

360nR计算公式为:

S扇

形nRl

S扇形=

lR

探究扇形面积公式半径为R

的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的

2360果已知其中两个量，就可以求第三个量。

扇形面积公式涉及三个量：扇形面积、圆心角、扇形所在圆半径。如

对比弧长公式和扇形面积公式，你能用弧长表示扇形面积吗？注意：

1

2

180OO

扇形面积的这个计算公式与三角形面积公式类似，只要把扇形看作一个曲边三角形，把弧长看作底，半径看成高就可以了。AB12BA扇形探究扇形面积公式

学以致用

例2

如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。BAC0D解：如图，连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交弧AB于点C,连接AC。

∵OC=0.6cm，DC=0.3cm，∴OD=OC-DC=0.3cm

又AD

⊥DC

∴AD是线段OC的垂直平分线∴OD=DC

∴AC=AO=OC∴∠AOD=60°，∠AOB=120°分析:

弓形的面积=

S扇AOB-S△AOB120

2

1

0.6

AB

OD

0.12

0.6

30.3有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB

360

2

1

2

0.22(m2)BA

0

DC答：截面有水部分的面积约为0.22平方米学以致用ABE

学以致用变式练习

如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。

分析:

弓形的面积=

S扇+

S△

DA.B.C.D.323515A.B.C.D.

2232

夯实基础2.（2021·衢州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是·（

D

）3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，0A=2，则阴影部分的面积是（B

）4.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为

25

.颗粒归仓

这节课你有什么收获？（1）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？（2）弧长和圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？n

Rl

S

扇形n

R

2

n

R

R

1在半径为R的圆中，lR转化部分与整体的关系

板书设计在半径为R的圆中，弧长和扇形面积公式

类比n°圆心角所对的弧长为

180