全国高中数学联赛预赛试题含详细答案

全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题6分，共36分）TOC\o"1-5"\h\z1、若函数fxlgax24xa3的值域为R,则实数a的取值范围是（）.A、4,;B、0,4;C、0,4;D、，1U4,222、设a2b21,b0,若直线axby2和椭圆上上1有公共点，则刍的取值62b范围是（）.1A、1,1;B、1,1;C、,1U1,;D、2,2.23、四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41,且知AB41,则CD.A、7;B、13;C、18;D、27.TOC\o"1-5"\h\z4、若对所有实数x,均有sinkxsinkxcoskxcoskxcosk2x,贝Uk（）.A、6;B、5;C、4;D、3._2n1*5、设an2",bn是an的小数部分，则当nN时，anbn的值（）.A、必为无理数；B、必为偶数；C、必为奇数；D、可为无理数或有理数.6、设n为正整数，且3n1与5n1皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.7n13必为合数；（乙）.817n23n必为两个平方数的和.你的判断是（）你的判断是（）A.甲对乙错；B.甲错乙对；C.二、填空题（每小题9分，共54分）27、过点P1,1作直线l,使得它被椭圆—9甲乙都对；D.甲乙都不一定对.2L1所截出的弦白^中点恰为P,则直线4l的方程为.8、设xR,则函数fxJx21Jx12216的最小值为——9、四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60°的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是BCD的垂心，G是ABC的重心，若AH4,ABAC,则GH.10、sin200sin400sin800^11、数列an满足：a11,且对每个nN*,an,an1是方程x23nxbn0的两根,20则bk.k112、从前2008个正整数构成的集M1,2,L,2008中取出一个k元子集A,使得A中任两数之和不能被这两数之差整除，则k的最大值为.三、解答题：13、（20分）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（ABAC）,U分别是ABD,ACD的内心，AI1I2的外接圆eO分别交AB,AC于E,F,直线EF,BC交于点M;证明：11,12分别是ODM的内心与旁心.14、（20分）设x,y,z为非负实数，满足xyyzzx1,证明:1115.xyyzzx215、（20分）对于2n元集合M1,2,L,2n,若n元集Aa1,a2,L,an,nnBb1,b2,L,bn满足：AUBM,AIB，且akbk,则称AUB是集M的k1k1一个“等和划分”（AUB与BUA算是同一个划分）.试确定集M1,2,L,12共有多少个“等和划分”全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题（每小题6分，共36分）1、若函数fxlgax24xa3的值域为R,则实数a的取值范围是（）.A、4,;B、0,4;C、0,4;D、，1U4,答案：B.解：欲使fx的值域为R,当使真数ax24xa3可取到一切正数，故或者a0;或者a0且424aa30,解得0a4TOC\o"1-5"\h\z222、设a2b21,b0,若直线axby2和椭圆土上1有公共点，则与的取值62b范围是（）.11_/-A、1,1;B、1,1;C、,1U1,;D、2,2.22答：C.解：将y2—更代入椭圆方程并整理得，3a2b2x212ax126b20,b2ccc因直线和椭圆有公共点，则判别式12a43a2b2126b20,利用a2b21,化简得a2b2,所以91.即a,1U1,.bb3、四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41,且知AB41,WJCD.A、7;B、13;C、18;D、27.答案：B.解：四面体中，除CD外，其余的棱皆与AB相令口接，若长13的棱与AB相邻，不妨设BC13,据构成三角形条件，可知AC7,18,27,AC36,BD7,AD,CD18,27,于是ABD中，两边之和小于第三边，矛盾。因此只有CD13.另一方面，使AB41,CD13的四面体ABCD可作出，例如取BC7,AC36,BD18,AD27.故选B4、若对所有实数x,均有sinkxsinkxcoskxcoskxcosk2x,贝Uk（）.Snunvn,则当n2时，Snunvn,则当n2时，Sn2n122n12n1u2n1vS2n12k,7722n12k用22n12n12n1—2为an的小数部分，即bn用2n12，A、6;B、5;C、4;D、3.答：D.解：记fxsinkxsinkxcoskxcoskxcos'2x，则由条件，fx包为0,取x—，2k得sin—1,则k为奇数，设k2n1,上式成为sinn—1,因此n为偶TOC\o"1-5"\h\z22数，令n2m,则k4m1,故选择支中只有k3满足题意._2n1*5、设an2",bn是an的小数部分，则当nN时，anbn的值（）.A、必为无理数；B、必为偶数；C、必为奇数；D、可为无理数或有理数.答：C.解：令u2",v2"，则uv4,uv3,u,v是方程x24x3的两根，则u24u3,v24v3,所以当n2时，un4un13un2,vn4vn13vn2,令Sn1Sn2,So2,S14,故所有Sn为偶数,TOC\o"1-5"\h\z.一2n12n1anbnV727723n奇数.6、设n为正整数，且3n1与5n1皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.7n13必为合数；（乙）.817n23n必为两个平方数的和.你的判断是（）A.甲对乙错；B.甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对.答案：C解：设3n1a2,5n1b2,a,b为正整数；则一一一一2_27n1393n145n13a2b3a2b3a2b…①，由此知，3a2b为正整数，且3a2b1,因为若3a2b1,则27n93a22b124b24b1,即27n4n2n2,贝U4n,记n4k,得5n120k1不为平方数，矛盾！所以3a2b2,故由。）得，7n13为合数；又因为817n23n3n15n143n15n1222222ab2ab2a2b2ab,故选C.（例如65是上述nN一）、填空题（每小题9分，共54分）2过点P2过点P1,1作直线l,使得它被椭圆—92y_41所截出的弦白^中点恰为P,则直线1的方程为^答案：4x9y13.解：设直线1的方程为ykx11,代入椭圆方程，整理得,9k24x218k1kx9k218k270,设其两根为x,x2,WJx^21,即18k：k2,k4,所以直线l的方程为y4x11,即4x9y139k2499_x12216的最小值为——1225213.8、设xR,_x12216的最小值为——1225213.解：如图，取A为数轴原点，AB12,作AB垂线AC,BD,使AC1,BD4,在数轴上取点P,使APx,则fxCP||DP，当C,P,D线时，f值最小，此时fminCDAE9、四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60°的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是BCD的垂心，G是ABC的重心，若AH4,ABAC,则GH.答案：4后.91解：设面AHD父BC于F,则因ABAC,故G在AF上，且GF1AF,3AH8148.AFH60,于thAF，FH—AF,GF—尸,在二角形GFHsin60032,33,3中，由余弦定理得GH4国10、sin20°sin40°sin80°解：8sin解：8sin200sin400sin8004cos200cos600sin8004sin800cos20°2sin8002sin1000sin6002sin8002sin60°73,所以sin200sin400sin80011、数列an11、数列an满足:ai*且对每个nN,an,an1是方程x23nxbn0的两根,20则bkk1答：6385.解：对每个nanan13nbn将①写作an1an3n324an3n3旦_TH2解：对每个nanan13nbn将①写作an1an3n324an3n3旦_TH24个公比为1的等比数列，故an3n174即an32n132n1an1"-；于是bn4anan12920bk6385.k112、从前2008个正整数构成的集M1.2,L,2008中取出一个k元子集A,使得A中k的最大值为任两数之和不能被这两数之差整除，则答案：k的最大值为解：首先，我们可以取670元集A1,4,7,L,2008,A中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M中的数自小到大按每三数一段，共分为670段:1,2,3,4,5,6,7,8,9,LL,2005,2006,2007,2008,从A中任取671个数，必有两数x,y取自同一段，则xy1或2,注意xy与xy同奇偶，于是xyxy.因此k的最大值为670.三、解答题：13、（20分）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（ABAC）,I1,I2分别是ABD,ACD的内心，AI1I2的外接圆eO分别交AB,AC于E,F,直线EF,BC交于点M;

证明："I2分别是ODM的内心与旁心.证：如图，连DI1,DI2,BI1,AI2,I1F,由EAF90°,则圆心O在EF上，设直径B1由I1BDDAC122I2AD,I1DB45°I2DA,所以DBIiSI1DI290°BDAD11DB口一1一，且DI2DAI〔D12sBDA,而DI1I90°,则圆心O在EF上，设直径B1由I1BDDAC122I2AD,I1DB45°I2DA,所以DBIiSI1DI290°BDAD11DB口一1一，且DI2DAI〔D12sBDA,而DI1I2B,AI1D90°注意AI1DAI1FFI1I2DI1I2,AI1FAEF,FI1I2FAI2所以AEF90°BCDAB,因此OEOA,同理得OFOA,合，即圆心EOI12O在AD上，而EODOEAOAE2OAE2CEAI1BADC,所以。1平分DOM;同理得OI2平分DOF,即Ii是ODM的内心，I2是ODM的旁心.证二：如图，因为BAC90,故则由I1』2为内心知,11A1245,所以I1OI2211AI290I1DI2,是O,I1,D,I2四点共圆,所以AI1I2的外接圆圆心O在EF上,连OI1,OI2,I1D,I2D,I2I1O45I2I1OI1I2O45,又因I2DOI2DA,因此点O在AD上，即O为EF与AD的交点.设AD与eO交于另一点H,而由EAI1I1AH2,HAI2FAI2,可知，U分别为？H,HF的中点,所以EOI1DOI1,DOI2FOI2.因此，点I1,I2分别为OMD的内心与旁心.证明:14、（20分）设x,y,z为非负实数，满足xyyzzx1,

证明:1115xyyzzx2简证：为使所证式有意义，x,y,z三数中至多有一个为0;据对称性，不妨设xyz0,据对称性，不妨设xyz0,则x0,y0,z0,对正数x,y作调整,由于—此时条件式成为x22xz1,且有z必，于是2x12x4x22x1x只要证—由于—此时条件式成为x22xz1,且有z必，于是2x12x4x22x1x只要证—也，即19x22x1x225x5x30,也即1x5x24x10,此为显然,取等号当且仅当xy1,z0,故命题得证.详证：为使所证式有意义,x,y,z三数中至多有一个为0;据对称性，不妨设取等号当且仅当x0,xy1;10当xy时，条件式成为1x210当xy时，条件式成为1x222x'*2x二z2x2x1xx2x1_2x14x2x只要记:枭5,即只要记:枭5,即19x25x5x30,也即x5x24x10,止匕为显然；取等号当且仅当xy20、再证，对所有满足20、再证，对所有满足xyyzzx1的非负实数x,y,z,皆有——5.显然，三数x,y,z中至多有一个为0,据对称性,xyyzzx2仍设xyz0,则x0,y0,z0,xy1,令xcotA,ycotB,A,B为锐角,仍设xyA,B为内角，构作ABC,则cotCcotAB1cotAcotBcotAcotB1xy

xy0,于是C90°,且由xyz0知，cotAcotBcotCBC900,即ABC是一个非钝角三角形.下面采用调整法，对于任一个以C为最大角的非钝角三角形将ABC调整为以C为顶角的等腰ABC,其中ABC,固定最大角cABB,且设2tanC2，记fx,y,zt,t,z今证明,x,y,zt,t,z.即12t112t即要证先证xy2t③，即证cotAcotBAB

2cot,2sinAsinBcAB2cos—，此即,ABsin—22ABsin2sinAsinB,也即1cosAsinAsinB,即cosAB此为显然.由于在ABC中，t22tz;而在ABC中,xy2z「zzxy2z2

z,因此②式成为2t12txy4,只要证,1t22tx2t只要证4t22t5，即证2txy1z2,注意③式以及t22一，CCC…一,即15t12t,也即t15t21…⑥由于最大角C满足：600C90O,而tcot^—BtanC,则』t1,所以TOC\o"1-5"\h\z22、,3t215t22115121,故⑥成立，因此⑤得证，由③及⑤得⑷成立，从33而①成立，即fx,y,zft,t,z,因此本题得证.15、（20分）对于2n元集合M1,2,L,2n，若n元集Aa1,a2,L,an,nnBb1,b2,L,bn满足：AUBM,AIB，且akbk,则称AUB是集Mk1k1的一个“等和划分”（AUB与BUA算是同一个划分）.试确定集M1,2,L,12共有多少个“等和划分”.解一：不妨设12A,由于当集A确定后，集B便唯一确定，故只须考虑集A的个数，设Aa1,a2,L,a6,a6为最大数，由12L1278,则a1aa1a2La639,a612,于是a1a2a3a4a527,故Aia1,a2,a3,a4,a5中有奇数个奇数.1、若Ai中有5个奇数，因M中的六个奇数之和为36,而27369,则A11,3,5,7,11,这时得到唯一的A1,3,5,7,11,12;2、若Ai中有3个奇数、两个偶数；用p表示Ai中这两个偶数x~x2之和；q表示Ai中这三个奇数y1，y2,y3之和，则p6,q9,于是q21,p18.共得A1的24种情形.其中，10、当p6,q21,则x1,x22,4,1,9,11,3,7,11,5,7,9;可搭配成Ai的3个情形；2°、当p8,q19,则Xi,X22,6,必，丫2芈1,7,11,3,5,11,3,7,9;可搭配成A1的3个情形；3°、当p10,q17,则x1,X22,8,4,6,乂冬冬1,5,11,1,7,9,3,5,9,可搭配成Ai的6个情形;40、当p12,q40、当p12,q15,则X1,X2可搭配成A的6个情形；50、当p14,q13,则XE4,10,成A1的4个情形；60、当p16,q11,则X1,X26,10,可搭配成A1的1个情形；70、当p18,q9,则X1,X28,10,可搭配成A的1个情形.3、若A1中有一个奇数、四个2,10,4,8,yi,y2,y31,3,11,