2015年全国中考数学试卷解析分类汇编-专题点直线与圆位置关系第一期

一.1．(2015•江苏,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙OBC于点M，切点为NDM的长为（）A．B．C．【答案】AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O ，∴NM=，∴DM==，故选2.（201583分）如图，在△ABC中，AB=CBAB为直径的⊙O于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点EDE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（） ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE DA=DC=DE可判断∠AEC=90°CE⊥AEAB⊥AE，然AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．ABAB=CB，∵△ABC∴∠1E在以AC∴AE为⊙O的切线，所以④正确．D．经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A

．

．

考点 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数． 解：如图，连接OA，∵AC是⊙O 3（2015•广州,第3题3分）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直l的距离是（）[来~*源:中国教育&出^版@网]A

C D 考点 分析 根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是解答 解：∵直线l与半径为r的⊙O相切Ol的距离等于圆的半径，Ol5． 本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相⇔d=rl和⊙O相离 于点，若 【答案】 ，过点， . . . 的半径是.于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是()A. B. C. D.&%网~]（2015•93分）如图，ACABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点OFGF，G分别在AD，BC上，连结OG，DGOG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是()[来源:中国~*教育&^@网]A.CD+DF=4B.CD−DF=2−3C.BC+AB=2+4 【答案】试题分析：如图，设⊙OBCM,MOMOADN,利用易证 ,所以OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因AB=CD,所以可BC−AB=2.AB=a，BC=b,AC=c,⊙Or，⊙ORt△ABCc，2ab-4a-4b+4=0BC−AB=2b=2+a2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，所以 ，即可得BC+AB=2+4.再CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.（2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心AB相切，则☉C的半径为（▲） （B）2.4 CAB相切的圆的半径的长．

∵AB是⊙C∵S△ABC=AC•BC=∴⊙C的半径为，（2015•省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．∵AB∵PD 与x轴、y轴分别交于A、大值是（） C．D．【答案】C．10（2015•AO AOBC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ C．40° OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．OA，∵AC是⊙O11.（2015•山东潍坊第7题3分）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质解答：解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙OB．二.1.（2015•174分）ABCD中，AB=8，AD=12两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径 4EO并延长交ADHAO，ABCD是矩形，⊙OBC∴EH⊥BCEH⊥AD.∴根据垂径定理，AH=DH.设⊙O的半径为rAOrOH8r.[中^国教#育出~版*&网

8r262

r，解 4∴⊙O4 CDO+∠ODA计算求解．数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=﹣．考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．PD⊥OAD，PE⊥ABECH⊥ABH，如图，设⊙Pr，根PD=PE=r，AD=AEOB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，出 ，所以BH=10﹣ ，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=r=PkPD⊥OAD，PE⊥ABECH⊥ABH，如图，设⊙P∵⊙PAB，AORt△OAB∴△OBC∴△PCD =，解得r= 解：∵直线AB与⊙OB， 对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 KBKBOAHAHBOGABABOAP 图 8BC815或（1）（1，作APcosAPCcosAOHOH3PC5AP易知 3

PG

403

BCPC2PG5

.（25PBPA5 APcosAPCcosAOKOK3PC5AP205BCPCPB8 3BABP时，如图由C900P900PABCABBCAB8BC815

833C为圆心，5PA，PBPB=4PA的长为CP，PB的延长线交⊙CP′CB2+PB2=CP2，则根据勾股定的长为3或∴CB2+PB2=CP2，[来^源:中&~教#*网∴△CPB∴PB∥A，而ACBP 故答案为3或（2015•17题,4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+ACBCOCD的长．AC，BC，D的坐标为（0，﹣3∴ODy=00=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣13，∴A（﹣1，0，B（3，0）∵AB（2015•浙江省台州市16题）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边EFGHIJO可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边AE的最小值为源三.O经过点C，且圆的直径AB段AE上CE是⊙O若△ACE中AEhh的代数式表示⊙O的直径AB；设点DAC上任意一点（不含端点OD，当CD+OD6时，求⊙OAB的长．CCH⊥ABH，连接OC2Rt△OHC是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而（1）∴CE是⊙OCCH⊥ABHOCRt△OHC 则∠AOF=∠COF=∠AOC=∴△AOF、△COF∴四边形AOCF∴根据对称性可得DF=DO．D作DH⊥OCH，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=∴F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为 短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙OD，DE∥BO，CEBDA。BC是⊙OAE=2，tan∠DEO=2AO的长EDEDOB相交于点DCA的延长线相交于点ED作DF⊥ACF试说明DF是⊙O若AC=3AE，求（2）（1）OD∥ACOD⊥DFDF是⊙O的切线；（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然Rt△BECtanC的（1）∴∠B=∠C，∵DF⊥AC，∴DF是⊙O∵AB∴∠AEB=90∵AB=AC，AC=3AE，5.（2015•山东东营,218分）(8分)已知在△ABC中，∠B=90oAB上的一OOAACDABE．BD是⊙O的切线，D是切点，EOBBC=2AC（2）AC=4.6.（2015•山东聊城,2410分）如图，已知AB是⊙OPBA的延长线上，PD切⊙ODBBEPDPDCAD并延长，交BEE．解答：（1）OD，∵PD切⊙O∴⊙O半径7.（2015•山东临沂,239分ORt△ABCABOA为半径的⊙OBCD求证：AD（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留（1）∵BC是⊙O的切线，D∴OD⊥BC.方法一：连接∴△OAE又∵，∴ED∥AO， ∴阴影部分的面积=S扇形ODE （2015•，第25题9分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂BA，垂足为C，交⊙O于点APA、AO，并延长AO交⊙O于点EPB的延长线交于点D．（2）BE=OC=4AC，OAPCOPAPAC=BC，AO=OE，DPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．∴OPAB∵∵PB为⊙O的切线，BPA⊥OA，∴PA是⊙O（2）Rt△ACO Rt△APO 在Rt△OBD中， （2015•甘孜、阿坝，第20题10分）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直AB，AC分别交于D，F两点，过点DDE⊥ACE．判断DF与⊙O边三角形，得出∠BOD=∠COD∥ACDE⊥OD，即可得出结论；（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函数即可FH．（1）DEOD1所示：∵△ABC∴△OBD∴DE是⊙O（2）连接OF2∴△OCF 10（2015•BCD，交ABE，过点DDF⊥ABFDF与⊙OO（2）证得△BED∽△BCABEAC=AB=AE+BE求得答案即可．D在⊙ODF与⊙O（2）解：∵四边形ACDE是⊙O∴BD=CD= 1（2015•A（4，0，B（0，3．l的函数表达式；M2MyMlMOxOx（1）A4，0B（0，）（2）Rt△ABMsin∠BAMRt△AMC中，利用锐角三角函AMM的坐标．（1）∵A（4，，B（，3，∴∴∴直线l的解析式为：y=﹣x+3；[来源:~%中#国@教&育 A（4，0，B（0，3，在Rt△ABM中，sin∠BAM==， M的坐标为（0，0②此时⊙M'lC'，M'C'M'C'⊥AB，在△M′C′B与△CMB中，，（0，6．[（0，0（0，6．[12．(2015·，第22题分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的ABDE在一条直线上，2cm/s的速度向右移动。

ABBC6cm,OD

BD=1cm,A当B与O重合的时候，求三角板运动的时间 A 3ABDECF2CGCE。[来#源*:@^%C网CGCCDBGDBAEBCOD求证：CD是⊙O的切线OF若 3,求E的度数AD，在（2）CD=3AD的长.（1）OC∥BG，即可得到结论；由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，DAH中，AD== （1） ∴OC⊥CD，∴CD是⊙O 2AAH⊥DE∴AH=1，[来~源^:中国%教育&*网]∴EH=， 14（2015•请用圆规和直尺作出⊙PPACAB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明．若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．[中国^教@育&网考点 分析 （1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP=，再解答 （1）（2）∵∠B=60°，BP 15（2015•AB为⊙OEF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．ABO的弦，且∠CAE=∠BEF是⊙O的切线吗考点

分析 （1）∠AE90，②∠A=∠AC，∵AB∴EF是⊙O②∵AB∵AB∴EF是⊙O（2）EF是⊙OAMCM，∵AM∴EF是⊙O 16．(2015·六盘水，第24题12分)如图12，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点OACO为圆心，OCABD（1（6（2（6 @]（1）（1）∴OD⊥AB，∵OD=1，17．(2015·24题分)AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切EABD,BE,O作OC∥BEDEC,AC(1)求证：AC是⊙O（2）BD=OB=4AEw^w#*~．ep．co]来源e^p．co]（1） 相切，利用切线 BE平行得到同相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三EOC全等，利用全等三OEB为等边三角形，求出∠ABE=60°ABO直径，利用直径所对的圆周AEBAE的长即可．∵CDO∴∠CEO=90°，∵BE∥OC，∵OB=OE，在△AOC和△EOC中，∴△AOC≌△EOC（SAS∴∠CAO=∠CEO=90°，ACORt△DEO∵OB=OE，∴△BOE∵ABO的直径，[中国#~教育出*版网18（2015• 市,24题，5分）如图，AB是OB作OBMCD//BM，交AB于点F，且DADC AC，AD，延长AD交BM地点EACDOEDE2OE19（2015•BCQ在⊙OCQPCQPO 第20题图 第20题图1PQ∥ABPQ2PBCPQ长的最大值．（1）正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；值=．解答：（1） #网] ；在Rt△OPQ中，PQ==，OP的长最小时，PQ的长最大， ．20.（2015鄂州第22题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线∠ABCBMAEMOABO为圆心，OB的长为半径的圆MBCG，交ABF．（1（3（2（3（3（3（2）3（3）2.21（2015•ADBCDABO为圆心作⊙O，使⊙OAD。BC与⊙OAC=3，∠B=30°，①求⊙O②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和OD⊥BC∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，[来~源&:中国%教育^*网]OD⊥BC，；[ （2）①OACOH1Rt△AOH中，AH=AO·sin∠AOH=AO·sin302AO，1∵AC=AH+CH3=2AO+AOAO=2，即⊙O2；3 3 1BDDO1

32

OD2602

，

S∴

S扇形

2 2

EF3（23题3（1）AD平分∠BAC,所以∠ODA=∠CADOD∥AE,EFAE,OD垂直于EF与圆O（23

22

，所以

AB2AB2AB 4 DE,4

DE，所以 CD2DECD2DE22223

在Rt△CDE中 3所以DG=3.OG=3-3=3OB2OB232734在Rt△OGB中 OG

43 因为∠ACB=∠E,所以BC∥EF.所以△OGB∽△ODF,

DF

DF，所以12

4所以

12

64 23.（2015山东菏泽，18，8分）如图，在△ABC中，BA=BCAB为直径的⊙OAC、BCD、E，BC的延长线于⊙OAF（2）2．（2）如图，连接AE，∴∠AEB=90°，设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中， 24.（2015•凉山州,第23题8分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相（x，yxOy中，⊙O2M（x，y）能作⊙O的切线的概（2）（3）（0﹣2（20（1﹣2（2﹣1（2﹣2（2015•乐山,第25题12分）已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于DAD=DCCB交⊙OE．2E作⊙OACCF=CDsin∠CAB（）AE=E（2 ∴ DC，∵EC=AE，∴ DC，∴sin∠CAB=sinCED==（2015•凉山州,第27题8分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙OA、B两点，PC交⊙OD、C两点．[来源%#~^:中教网&]若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．（2）3．（2015•泸州,第24题12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，AB∥CDA作⊙O的切线AE与DCE，ADBCF。FCOD求证：四边形ABCE是平行四边形；[来@#^源:中教FCOD

EB（1）∥CD即可判定四边形ABCD（2）作辅助线，连接AOBC于点H，双向延长OF分别交AB，CDN，M，根据（1）（2）AOBC于点H，双向延长OFAB，CD与点∵AE是⊙O∵AE=，CD=，∴62=CE（C+5，解得：CE=4（，ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，又根据对称性和垂径定理，得AOBC，MN垂直平分AB，DC，OF=x，OH=Y，FH=z， 解得∵x2=y2+z2，∴（2015•,第20题10分C如图，在RtABC中ABC90AC的垂直平分线分别与ACBCAB的延长D，E，FBFBC.O是BEF的外接圆，EBFEFCHDEGOABF点G，交OHHDEGOABFABCEBF；BD与OAB1HGHB的值2（1）2DCEEFBABFBCBFABCEBF（ASABD与O相切理由：连接OB，则DBCDCBOFBOBF∴DBODBCEBOOBFEBO90DBOBEAEHDF22∴CEEA 2AB ，BFBC 22HDHEF2BE2BF21∴

2242，BHEBHEFHHBF45HF∴GHFFHB，∴ HFHGHBHF2，∵在RtHEFEF22HF22HGHBHF21EF222 （2015呼和浩特，24，9分）(9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙OAM是⊙OPBACD，与⊙OE，FBDM为

==. ==.考点分析：圆→垂径定理、相切相似三角形逻辑推理→逆推[来#%源:中标的∠1既是要证直角中的一个锐角，也是Rt△ACM中的一个锐角，很明显，我们找到思两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个：∠PAC=∠ABC，那么要看∠ABC是否能==

FD=CDM为的中点，什么意思？垂径定理，还是等弧对着的圆周角相等？不知道，的做法是两两个等弦或两个等弧共一点，八成用垂径定理，没错，是八成，就是80%。如果没有从共AM，垂径定理及其推论，你因该会。在图上早就标了垂足H。你先前已经证得AM⊥AP，AM⊥BC，则两条直线同时垂直一条直线，则两条直线是平用内错角，10%的情况用同位角，5%5%这个，有时候你在以算似的目的只有一个，就是对应边长度比例相同，则有

=CD ，，∠1=∠2这个条件还没有用上，先看看FD=CD来

=∠2=∠1，那么∠1等于什么？平行出内错呀，你找不到∠1的同位角和同旁内角，所以∠那我们是否需要把EC连接上呢？不用，这个两个圆周角共。证明：(1)MCEOFDB ∵AM为⊙OEOFDB ∴∠AMC+∠MAC∴∠ABC+∠MAC=90° ∵∠ABC=∠PAC[来#源*:中国&教育网∴AP为⊙O的切线∵M为中点，AM为⊙O= =

CD.[来* ∴∠CBE又∵∠CBE=∠CAEOO ∴△ADE∽△CDF

=.AD=. 综上，可证得：PD

ED

交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.[来^ 求证：ED是⊙O的切线（）AC=10（2）（1）∵BC是⊙O∴AC=BC=2OC=10.∵∠ADC=90°,EAC∴DE=EC=AC,∵OD=OC,∵AC切⊙O∴DE是⊙O的切线.（2015•218分）如图，在△ABC中，AB=ACAB为直径的⊙O分BC，ACD，ED作⊙ODFACF.【答案】解（1）证明：如答图，连接OD，∵DF是⊙O∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°.∵OA=OB，∴∠AOE=90°.

904144∵⊙O

.【分析（1）要证DF⊥ACDF是⊙O的切线DF⊥OD，从而只要OD∥AC即可，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.SAOCD两点，CD＝2，∠DAB=30°,PAB上运动，PCO于另一点Q，P，运动到Q、C两点重合时(1)AP1点运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为2 直接写出答案)1当使△CQD2QCD为直径的的上半圆上，CQ＞QD时(DODOCAPDODOC 图

第23

图本小问是利用切线的性质，得到∠ACP＝90°，CD＝2DODOC从而利用解直角三角形的方法来解得AP的长度。解：∵ABO的切线RtABC∴PCO∵∠DAB=30°，AC＝1 CD2S△CQD＝2CD2，从而如图，Q1D

CA 图1S△CQD＝2CD上的高QNPM⊥ADM，DNOCMMC与MP的关系，由已知易知AM＝3MP，由AC＝1，从而可以解出MP，从而求出APDNOCM解答如下：Q作QN⊥ADN，PPM⊥ADM1

A 图 ∴2QN×CD＝1∵CD是圆O∴∠CQD＝90°QN∴ ∴QN2CNx(2x) 1x21

3,

2解得 2 3 3∴

233CN

2易得： ∴CM(2

RtAMPAM

∴(23)MP＋3MP

34

3

12中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(痕迹，不写作法).2l与⊙OP,OBCOCOBCOCB 图 图 1，∵AC=BC,ACBC)CABAEABCE交⊙O

AOF FDOECB则CD为所求作的弦 DOECB图2，∵l切⊙O于点P,作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l, ∵l∥BC,∴PO⊥BC,由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦.34（2015求证：AT是⊙O的切线AC（1∵AB=T，

AT∴AT是⊙O（2）设⊙O半径为r，延长TO交⊙OD，连接∵CDTATC AT，A（

AC

(5-

5-

AT

CECEPAF