第02讲实际问题与反比例函数及其综合教案

教学难点教学难点适用学科初中数学适用年级初三适用区域新人教版课时时长（分钟）120知识点反比例函数在实际问题中的应用教学目标1、能够利用反比例函数解决实际问题2、经历探索、结合情境体会反比例函数的意义3、反比例函数和一次函数的综合应用教学重点反比例函数在实际问题中的应用反比例函数和一次函数的综合应用【教学建议】世界是运动变化着的，函数是研究运动与变化的重要数学模型， 它来源于现实生活，又服务于现实生活.反函比例数是一种反映现实生活特定数量关系的数学模型，为了突出反比例函数与现实生活有密切的联系，本章专门安排一节来说明反比例函数的实际应用 ^【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态.在教学过程中，教师要充分分析现实背景，从而加强学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.2在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p(Pa)是受力面积S(m)的反比例函数，其图像如下图所示这个反比例函数应如何表示?4这个反比例函数应如何表示?4二、复习预习用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：ky=-①设所求的反比例函数为： y=*(kw。)；②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含 k的方程；③由代人法解待定系数k的值；「ky=④把k值代人函数关系式y=*中.前面学习了反比例函数解析式的求法，今天学习实际问题与反比例函数三、知识讲解B考点1反比例函数在实际问题中的应用反比例函数在实际生活中有着广泛的应用， 应用反比例函数解决实际问题的关键在于把TOC\o"1-5"\h\z实际问题转化为数学问题中的反比例函数 .(1)生活中常见的实际问题中蕴含的反比例函数：①路程一定时，速度与时间的关系.②工作量一定时，工作效率与工作时间的关系 ^③柱体体积一定时，底面积与高的关系 ^④电学中，电压一定时，电流与电阻的关系 .⑤杠杆原理中，阻力与阻力臂，动力与动力比的关系 ^⑥压力一定时，压强与受力面积的关系(2)类型：①根据实际问题中的条件写出反比例函数关系式，并画出图像 ^②根据实际问题中的图像求出函数关系式，进而解决问题 ^知识拓展：在利用反比例函数解决实际问题时，要根据题目的实际意义找到基本的函数关系,再根据需要进行变形计算.100P新课导读： S考点2反比例函数和一次函数的综合应用反比例函数和一次函数综合应用是中考必考题型， 通常考察反比例函数和一次函数的解析式，函数值大小的比较及不规则图形面积的求法 ^Q四、例题精析，类型一反比例函数在实际问题中的应用例题1某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（a）成反比例.图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻 R表示电流I的函数解析式为（X【解析】解：设I=R,那么点（3,2）适合这个函数解析式，则k=3X2=6,反，i=R.故选：C.k【总结与反思】可设I=R,由于点（3,2）适合这个函数解析式，则可求得 k的值.类型二反比例函数和一次函数的综合应用例题2_k J_如图，直线yi=mx+n与双曲线’工两个交点的横坐标分别是- 2和->,则使yi>y2时的x取值范围是

_4【解析】解：由图形可知，当-2vxv-3或x>0时，yi>y2.[4故答案为：-2Vx〈-3或x>0.【总结与反思】根据图象，写出直线在双曲线上方的x的取值范围即可，本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想找出符合条件的 x的取值范围即可，比较简单，准确识图是解题的关键.五、课堂运用基础TOC\o"1-5"\h\z.设每个工人一天能做某种型号的工艺品 x个，若某工艺品厂每天生产这种工艺品 60个,则需要工人y名，则y关于x的函数解析式为( )A.y=60xB.厂工工一-60 - -C.7=-^ D.y=60+x.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压， 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表：则可以反映气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是()TOC\o"1-5"\h\z体积x 100 80 60 40 20(mD压弓虽y 60 75 100 150 300(kPa)Accccc…… 30。0c&000A.y=3000xB.y=6000xC.y= D.y= y x.已知一菱形的面积为12cm2,对角线长分别为xcm和ycm,则y与x的函数关系式为.已知圆锥的体积 (其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高).若圆锥的体

积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2,请写出h关于s的函数解析式.答案与解析x个，若某工艺品厂每天生产这种工1x个，若某工艺品厂每天生产这种工艺品60个，需要工人y名,•.xy=60,60y=h.故选C.【解析】根据每个工人一天能做工艺品的个数x工人总数 =工艺品厂每天生产工艺品的总个数,可得xy=60,再将等式两边除以x即可求解..【答案】D.【解析】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为： y上，则xy=k=6000,故y与x之间的关系的式子是y&IL,X故选：D..【答案】y0.x【解析】解：由题意得：y与x的函数关系式为y=2'阳的面积0故本题答案为：y=£鱼.【解析】解：:sh,当h为10cm时，底面积为【解析】解：:sh,当h为10cm时，底面积为30,・•.h关于s的函数解析式为:巩固.如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q(m3/h),那么此时注满水箱所需要的时间 t(h)与Q(m3/h)之间的函数关系TOC\o"1-5"\h\z为( )60 60 60A.t=QB.t=60Q C.t=12—QD,t=12+Q.已知经过闭合电路的电流 I与电路的电阻R是反比例函数关系，请根据表格已知条件求出I与R的反比例函数关系式，并填写表格中的空格.I(安) 5 10R(欧) 10y=—^4-^ 尸上3.如图，平面直角坐标系中，直线:2与x轴交于点A,与双曲线 工在3.如图，平面直角坐标系中，直线于点B,BC，x轴于点C,OC=2AO求双曲线的解析式.答案与解析.【答案】A.【解析】】解：由题意得：水箱的容量 =12m3/hx5h=60m3.60，注满水箱所需要的时间t(h)与Q(m3/h)之间的函数关系为t=Q故选A..【答案】同解析.【解析】解：依题意设【解析】解：依题意设把I=10,R=10代入得:解得U=100,所以100+5=20.I（安） 5 10R（欧） 20 10.【答案】双曲线的解析式为y=N.【解析】解：由直线x轴交于点A【解析】解：由直线x轴交于点A的坐标为1,0）,•.OA=1.又:OC=2OA, OC=2,.••点B的横坐标为2,代入直线 ，得y=，•••B(2,2).•・•点B在双曲线上,k=xy=2x，双曲线的解析式为y=^.拔高(x>0).如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线(x>0)上的一个动点，PB±y轴于点B,当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）BOBOA.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小3.已知一个长万体的体积是 100cm,匕的长是ycm,宽是10cm,局是xcm.（1）写出y与x之间的函数关系式;（2）当x=2cm时，求y的值.答案与解析【解析】解：设点P的坐标为（x,••・PB，y轴于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点,••・四边形OAPB是个直角梯形,，四边形OAPB的面积=2(PB+AO)，四边形OAPB的面积=2(PB+AO)?(x+AO)3_&3A03_3A01_

?工=2+23=2+2?工，.AO是定值,，四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小.故选：C..【答案】同解析.【解析】解：（1）由题意得，10xy=100,-y=10(x>-y=10(x>0);(2)当x=2cm时，y=_l_0_=5(cm)2六、课堂小结.知识结构及要点小结.实际问题与反比例函数.解决问题时常用待定系数法.考察函数图像及其性质、考察阅读能力，能从函数图像上得到有价值的信息.解题方法及技巧小结深刻理解反比例函数的定义及认真观察、总结生活中的数学知识是解决实际问题的关键解决跨学科的综合题目时，要准确领会相关学科的知识七、课后作业基础1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时.汽车的速度 v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）- 一IpnlA.v=320t B.v=——C.v=20t D.v=—t t.已知圆柱的侧面积是10兀cm2,若圆柱底面半径为rcm,高为hcm,则h与r的函数关系式是..某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 8立方米，6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为 t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式..若矩形的长为x,宽为v,面积保持不变，下表给出了 x与y的一些值求矩形面积.（1）请你根据表格信息写出 y与x之间的函数关系式；（2）根据函数关系式完成上表.X1Sy42答案与解析.【答案】B.【解析】解：由题意vt=80X4,则v=W”t故选：B..【答案】h=^-（r>0）.【解析】解：由题意得： h与r的函数关系式是：h」2三-攵，半径应大于0.2兀r|]F一，一…, 5故本题答案为：h=一（r>0）.r.【答案】t喈.【解析】解：..•某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 8立方米，6小时可以将满池水全部排空，该水池的蓄水量为8X6=48（立方米），,.Qt=48,,+[41…t=—tQ.【答案】同解析.【解析】解：（1）设丫二二，篁由于（1,4）在此函数解析式上，那么k=1X4=4,-y=__>x2 3（2）4--=4X—=6,J周，洞4+2=2,1-1.=2'

X12£y642122上巩固1.验光师测的一组关于近视眼镜的度数1.验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表:y(单位：度) y(单位：度) 100200 400 500x(单位：米)x(单位：米)1.00 0.50 0.25 0.20则y关于x的函数关系式是..京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式是t=..如图，。。的直径AB=12cmAMeBN是它的两条切线，DE切。。于E,交AlWD,BN于C,设AD=x,BC=y,求y与x的函数关系式.VI7\3 CN答案与解析【解析】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距答案与解析【解析】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例,设y关于x的函数关系式是y上,x,.y=400,x=0.25,400=0.400=0.25解得：k=100,y关于x的函数关系式是yJ”.故答案为：y=—.2.【答案】t=n詈.【解析】解：由题意得：汽车行驶完全程所需的时间 t与行驶的平均速度v之间的函数关系式是t=粤园V故本题答案为：t=工理.V3.【答案】y=—.【解析】解：作DF，BN交BC于F;.AMBN与。。切于点定A、B,.-.AB1AMAB±BN.又;DF±BN・•/BAD4ABC4BFD=90,••・四边形ABFD^矩形，BF=AD=xDF=AB=12••BC=y,FC=BC-BF=y-x;,「DE切。O于E,.DE=DA=xCE=CB=y贝UDC=DE+CE=x+y在Rt^DFC中,由勾股定理得：(x+y)2=(y-x)2+122,整理为尸与•.y与x的函数关系式是尸变.拔高1.如图，点A在反比仞^函数y=}(kwo)的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C,连接AC,若BC:CD=21,$△ad/4.则k的3TOC\o"1-5"\h\z值为( )OD xon 9QA<.— B.16C.—D.103 32.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.(1)求这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)P[kPajJ200150100SO\aMAI加） [ . [ [ j ] ,.mn=16,故选：B.2.【答案】同解析.【解析】解：(