一元二次方程降次法与含参数方程的解法

降次法与含参数方程的解法知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念,会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围：会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程：会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系款的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围：会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一一元二次方程的解法因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们之积为0,即4〃=0,则4=0或5=0或。=〃=0例如：(2人-1)(3—x)=0,贝112%—1=0或3—4=0解一元二次方程的思想方法：降次因式分解法的一般步骤：⑴将方程化为一元二次方程的一般形式⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积⑶令每个因式为0,得到两个一元一次方程⑷解这两个一元一次方程得原方程的解【例1】例如：对于方程3(x-2)2=2-x,张明的解法如下：解：方程整理得3(x-2)2=2)①方程两边同时除以2)得；3(x-2)=-1②去括号得；3a—6=-1@移项并合并同类项得，3x=5,Ax=-(4)3你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程【解析】略【答案】有错误；第②步出错，当x-2=0时，方程两边不能同时除以x-2解：方程整理得3。-2尸+*-2)=0提取公因式得。-2)[3*-2)+1]=0,

整理得(x-2)(3x-5)=0.・.x=2或x=*3【例2】用因式分解法解下列方程(1)(21)2+3(1-2x)=0； (2)(1-3x)2=16c2尤+3)2； (3)x2-6a-7=0：【解析】略【答案】⑴原方程变形为：(2x-1)2-3(24,-1)=0,即(2x-l)[(2x-l)-3]=0整理得(2x-l)(2x-4)=02t-l=0或2x-4=0, ,x2=2⑵原方程变形为(1-3x)2T4(2x・+3)尸=0・・・[(1-3x)+4(2x+3)][(1-3x)-4(2x+3)]=0整理得(5x+13)(-llx-11)=0,・・.5x+13=O或一1卜一11=0,.,.工=一?或工=一15(3)原方才呈"T4L为。-7)(x+1)=0二x—7=0或x+l=0/.%=7,x2=-1【例3】解关于人的方程：(©-I)?-3(1-4x)-4=0【解析】换元法【答案】设4工一1="，则原方程可变形为1+%-4=0整理得(4+4)(〃-1)=0二。+4=0或“―1=0・二a=-4或4=1当”=-4时，4x-l=-4,3・•x=—-当a=l时，4x-l=1,/.x【巩固】采用因式分解法解下列方程(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0(4)>/2(x-l)(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0(4)>/2(x-l)2=(1-a)⑶(3工-1尸=4(1-1)?【解析】略【答案】⑴整理得/—3犬=0•二x(x-3)=0,4・=0或x-3=0,4・=0或x=3⑵设2x-l=%则原方程可变形为：“2-〃-6=0整理得3-3)3+2)=0a=3或a=-2「・2x—1=3或2A—1=—2二x=2或x=」2⑶移项得(3X-1)2-4(1一外2=0・・・[(3x-1)+2(l-x)][(3x-l)-2(l-x)]=0整理得(x+l)(5x-3)=0「・A=-l或X=W5(4)移项得V2(a-1)2-(1-a)=0提取公因式得(x- -1)+1]=0・・・x-l=O或4(八-1)+1=0/.X=1或X=1一2【巩固】采用恰当的方法解下列方程⑴/+。+2拘犬+3+6=0⑵,一-33-4=0“一3尸+(a+4)2一(x—5尸=17x+24【解析】略【答案】。)内=一6，x2=->/3-1：(2)玉=4,&=-4：⑶玉=-3,&=8板块二可转化为一元二次方程的分式方程【例4】解方程主二+」=52x尸【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答【答案】等式两边同时乘以2f得：x(3x-2)+2=10x2整理得：7x2+2x-2=0解得：x=7±87经检验：-=-1二疝是原方程的解7・•・原方程的解为入=止"或x=土巫2 7【巩固】解下列分式方程(D—^―+—^―=4%；(2)-^-+—=4：(3)—+-4^+—=12x-33-2x x+1x-1 x+2r―42-x【解析】注意检脸根【答案】⑴整理得：8/-13.¥+5=0,解得玉=1,&=；8经检脸：凡=1,&=三是原方程的解8」・原方程的酢为N=1,&=；8⑵整理得：4x2-5x-5=0,解得再二」一\'","'一"。'X 8经检脸得：.= %2="一：(”是原方程的解e.£ . 5+J105 5—>]\05・'•原万程的解为内= ； ,X?= 8 8⑶整理得：x2-3x+2=0,解得弓=1,&=2经检脸得：&=2不是原方程的解，舍・.・原方程的解为x=l【例”解分式方程:*小【解析】换元法设土上1=〃，则原方程可变形为2〃+9=7

x+1 a整理得：2—-7a+6=0,解得”=2或〃=22经检脸得4=2或4=2均为方程24+2=7的解2 a当"二|时，则=1二|,整理得:解得行了2/-3八-1=0经检脸，百="「'’,七=七了」■均为原方程的解»“=2时，则警=2,整理得'-21=°解得：&=1+近，x«=l-五经检验，X3=l+V2,x4=l-JI均为原方程的解「•原方程的解为玉=土产，工?=土产，巳=1+垃，x4=1-V2【巩固】---+2=0k+2x+la+1【解析】略2 2【答案】解：原方程可整理为（工尸一3工+2=0x+1 x+12令」一="，则原方程变形为1-34+2=0X+1解得〃=1或。=2去”=2时，则」—=2,整理得/一2犬一2=0x+1解得为=1+6,9=1一8经检险芯=1+/，±=1-有是原方程的解2当4=1时，则」一二1,整理得/一工一1=0X+1解得-=塞，/=式乙 乙1-V5经检脸：& %=匕^?是原方程的解1-V5」.原方程的解为芭=1+6,x,=1-【例6】如果关于x的方程有一个增根是5,则。的值是多少？此时它的根是多少？x-5r-25【解析】略【答案】解：整理得：V—3x+“2-40=0.・.原方程有一个增根是5・.x=5是方程/一3工+/-40=0的解因此将x=5代入得/=30.a=±>/30・・方程/-3八+〃2-40=0为x2-3x-10=0解得为=5,々=-2经检脸：x=5不是原方程的解，舍,・原方程的解为x=-2板块三简单的无理方程.无理方程的定义：根号内含有未知数的方程.有理方程和无理方程统称为代数方程，整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程0.无理方程的解法思路与步骤：①去根号：②解有理方程：③检验根：④写出原方程的根【例7】判断下列方程是否为无理方程(1)x2+2>/2x-1=0;(2)/+—!—=1；⑻工一Jx-l=3;Q)j2x-4+l=Jx+5・V2-1a-2【解析】略【答案】无理方程有：⑶、(4)【例8】解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根(1)V27+3-x=0; ⑵>/5771+757刀=4; (3)757=2=x;【解析】略【答案】⑴整理得：V27+3=x两边平方得：2x+3=V整理得：x2-2x-3=0,解得内=-1,8=3经检脸为=-1不是原方程的解，舍二原方程的解为x=3⑵整理得J5m=4一历=1两边平方，整理得：2/7二1=317两边平方得4(4%-2)=9,解得工・二一1617经检脸：x=一是原方程的解1617・,•原方程的解为x=—16(3)整理得：y/2x2+lx=x+2两边平方得：2x2+7x=x2+4x+4整理得：x2+3x-4=0解得：为=-4,x2=1经检脸X=-4不是原方程的解・,•原方程的解为x=l【例9】已知关于x的方程后二Z-47^=1有一个增根x=4,⑴求。的值.⑵求方程的根【解析】类似问题需要注意的是，不能将x=4代入方程J5E-J7T"=1,因为x=4是它的培根，所以必须先将无理方程转化为整式方程，然后再将x=4代入整式方程中【答案】⑴整理得V57二Z=i+«T?两边平方得：2%-4=1+2y/x+a+x+a整理得：x-5-</=2>/x+77两边平方得：(x-5-4=4(x+a)①将x=4代入方程①，整理得/-2,_15=0解得q=5,a2=-3经检脸：当〃=一3时，x=4是原方程的根，不符合题意，舍：・4=5(2)将〃=5代入方用呈①，整理得：x2-24x+80=0解得N=20,巧=4经检脸内=20是原方程的根二原方程的根为汇=20【例10］解无理方程(换元法)2-+3x-5724+3x+9+3=0【解析】略【答案】令而+3x+9=",^\2x2+3x+9=a2,2x2+3x=t/2-9则原方程变形为〃2-9-5a+3=0,整理得/一5“-6=0解得q=-1,%=612t+3x+9=a之0 a=6 9则j2/+3x+9=6,整理得2/+3x-27=0,解得为=3,x2=--9经检验=3,%二-5均为原方程的解9.二原方程的解为玉=3,a2=--【巩固】解无理方程：2x2-6a-1-57x2-3x-1=4【解析】略【答案】设42_31=4,则产一31一1=/,/.x2-3x=d2+\・,・原方程可变形为2(1+1)-1-5〃=4,整理得,"-5々-3=0解得a=-L或a=32V4x2-3x-\=a>0・・・〃=3,则二1=3,平方得/_3工_]=9,整理得/―31_10=0解彳导x=-2或x=5经检脸x=—2或x=5均是原方程的解・.・原方程的解为x=-2或x=5板块四含字母参数方程的解法解含字母参数方程的时候，最主要的是分类讨论的基本思想的应用°【例11】解方程mx2—(3m2+2)x+6m=0【解析】因为题目并没有明确说明该方程一定是一元二次方程，所以需要讨论二次项系数是否为0【答案】若〃2=0,则-2x=0=x=0;、 2若mH0,则nvc2-(3m2+2)x+6m=0=(mx-2)(x-3m)=0,故为=—,占=3mm【例12】已知关于x的方程(aT)/+2x-a-l=0的根都是整数，那么符合条件的整数。有几个？【解析】对二次项系数进行分类讨论【答案】当“一1=0时，”=1,解得x=l,符合题意要求。当4-1=0时，则4H1,整理得[3—1»+4+1].。-1)=0解得入=-竺1,4=1,因为原方程的两个根均为整数4一1・・・%=一竺1=二_一1也为整数，因此”一1=±1或〃一1=±24-14-1。=0或2或3或-1综上所述，整数。的值有5个，分别为-1,0,1,2,3【例13]解关于x的方程：-X+1)-〃*2-1)=(〃2-1口【解析】化为一般式：(/一“)/一(242-1卜+(/+“)=0,然后讨论二次项系数是否为0【答案】原方程可整理为(/一a)/一(2/_1)工+(1+0=0①(1)当/-4=0时，则4=1或4=0；若”=1,则方程①可整理为—x+2=0,解得x=2若”=0,则方程①可整理为x=0(2)当/—4H0时，4H0且4H1时[(4-1»-4][0¥-3+1)]=0,解得X=，一或；V=4-1a【例14】已知关于x的一元二次方程V-(2k+l)x-3k、3k=0,请找出〃的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根。【解析】略【答案】原方程可变形为卜一3月卜+(4-1)]=0,整理得x=3〃，x=l-k因此只需满足k是整数即可，将A代入即可求出方程的解，因此答案不唯一略方法二，也可以直接采用赋值法。1.用因式分解法解下列方程⑴(2x-3)2=9(2x+3):(2)x2-7x+12=0：(3)(x+2)(x-l)=10；(4)2x2-5x+2=0【解析】注意题目要求3 1【答案】(1)内=一[,±=-3;(2)*=3,々=4；(3)X]=-4,x2=3;(4)x,=-,x2=2.解方程：”=7x+\ jr+1【解析】略【答案】x,=0,x2=l,&=3+g,%=3-".解方程：,2.-—6x+1+2=x【解析】略【答案】a=3.解方程F-2x-5-4Va2-2a=0【解析】略【答案】x=l+05或x=l-底港局施.用恰当的方法解下列方程⑴0-3)24-4a(a-3)=0； (2)8xz+1Ox-3=O； ⑶(2工-1尸=3-6x：(4)；/一5|x|-6=0 (5)(m-\)x2+(2m-4)x+，3=0【解析】略3 3 1 1【答案】(1)N=3,x2=-;(2)xt=-,毛=一；(3)Xj=-