中考数学易错题精选-旋转练习题及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.在仆ABC中，AB=AC,ZBAC=«（00<a<60°）,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BDo（图2）（图2）（1）如图1，直接写出NABD的大小（用含。的式子表示）：（2）如图2,ZBCE=150%ZABE=60%判断△ABE的形状并加以证明:（3）在（2）的条件下，连结DE,若NDEC=45。，求。的值。【答案】（1）30。一La（2）见解析（3）a=30°2【解析】解：（1）30°-l«o2△ABE为等边三角形。证明如下:连接AD,CD,ED,线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,/.BC=BD,ZDBC=60°o又「ZABE=60°,/.ZABD=600-ZDBE=ZEBC=30°-1aKaBCD为等边三角形°2在aABD与^ACD匚口,AB=AC,AD=AD,BD=CD,/.△ABD^△ACD(SSS)o/.ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-cr<>2 2ZBCE=150% ZBEC=1800-(30°-la)-1500=i«o/.ZBEC=ZBAD。在2\ABD和AEBC中，,/ZBEC=ZBAD,ZEBC=ZABD,BC=BD,•・△ABD合△EBC(AAS),：.AB=BE。•.△ABE为等边三角形°

TNBCD=60°,ZBCE=150% ZDCE=150°-60°=90°又NDEC=45°, △DCE为等腰直角三角形。DC=CE=BCoZBCE=150°,NEBC=""一"。"1=15。°2WZEBC=30o-l«=15°o/.a=30。，2iono_9(1);AB=AC,NBAC=a,/.ZABC=- °2,/将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,/.ZDBC=60°,・•,ZABD=ZABC-ZDBC= -60°=30°--o2 2(2)由SSS证明△ABD合△ACD,由AAS证明△ABD合△EBC,即可根据有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形的判定得出结论。(3)通过证明4DCE为等腰直角三角形得出NEBC=9竺士上=15。，由(1)2NEBC=30。-Lc，从2而30。-l。=15。，解之即可.22.如图1,在锐角△ABC中,ZABC=45°,高线AD、BE相交于点F.（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由：（2）如图2,将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DEIIAM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】（1）BF=AC,理由见解析；（2）NE=-AC,理由见解析.2【解析】试题分析：（1）如图1,证明AADC空△BDF（AAS）,可得BF=AC；（2）如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC,由线段垂直平分线的性质得：AB=BC,则NABE=NCBE,结合（1）得：△BDF^△ADM.则ZDBF=ZMAD,最后证明NANE=NNAE=45°,得AE=EN,所以EN=LaC.试题解析:BF=AC,理由是:如图1,VAD±BC,BE±AC,ZADB=ZAEF=90°,/ZABC=45。，「.aABD是等腰直角三角形,」AD=BD,ZAFE=ZBFD,•.ZDAC=ZEBC,在^ADC和^BDF中，ZDAC=ZDBF.=/ADC=/BDF,AD=BD：.△ADC合&BDF(AAS),•,BF=AC：NE=」AC,理由是：2如图2,由折卷得：MD=DC,DEIIAM,「・AE=EC,/BE±AC.•・AB=BC,/.ZABE=ZCBE,-由(1)得：△ADC合△BDF,ADC合△ADM,J△BDF^aADM,ZDBF=ZMAD,「ZDBA=ZBAD=45°,/.ZDBA-ZDBF=ZBAD-ZMAD,即NABE=Z-BAN,ZANE=ZABE+ZBAN=2ZABE,ZNAE=2ZNAD=2ZCBE,•・ZANE=ZNAE=45%JAE二EN,EN=-AC.3.如图①•在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120°.(1)求证：△ABD合么ACE：(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把4ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=6,请分别求出△PMN周长的最小值与最大值.图① 图②【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形.理由见解析；（3）^PMN周长的最小值为3最大值为15.【解析】分析:（1）由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD合△ADE：（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=-CE,PMIICE,PN=1bD,PNIIBD,同（1）的方法可得BD=CE,即可得PM二PN,所2 2以^PMN是等腰三角形:再由PMIICE,PNIIBD,根据平行线的性质可得NDPM=ZDCE,ZPNC=ZDBC,因为NDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,再由NBAC=120%可得NACB+ZABC=60%即可得ZMPN=60%所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=-BD,所以当PM最大时，ZiPMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM2最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大,PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为NBAC=ZDAE=120%所以NBAD二NCAE,又AB=AC,AD=AE,所以△ABD合4ADE；△PMN是等边三角形.理由：•・.点P，M分别是CD,DE的中点，二.PM二一CE,PMIICE,2,・,点N,M分别是BC,DE的中点,1・•・PN二一BD,PNIIBD,2同（1）的方法可得BD=CE,/.PM=PN,，△PMN是等腰三角形，PMIICE,ZDPM=ZDCE,PNIIBD,ZPNC=ZDBC,ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,/.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,ZBAC=120°,「.ZACB+ZABC=60°,・•,ZMPN=60°,△PMN是等边三角形.（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=-BD.2二.PM最大时，△PMN周长最大，，点D在AB上时，BD最小，PM最小，/.BD=AB-AD=2,△PMN周长的最小值为3：点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，/.BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为15.故答案为^PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.4.如图：在△ABC中，ZACB=90%AC二BC,ZPCQ=45°,把NPCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD_LCP,垂足为D,直线AD交CQ于E.（1）如图①，当NPCQ在NACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在NACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为;【答案】⑴见解析（2）AD=BE+DE（3）8【解析】试题分析：（1）延长0A到F,使DF=D&根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得*=CF,再求出NACF=N8C&然后利用"边角边"证明△4CF和△8%全等，根据全等三角形的即可证明AF=8上从而得证：（2）在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出N4CF=N8CE,然后利用“边角边"证明△ACF和△8CE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE；(3)根据等腰直角三角形的性质求出Q»=DE,再根据等高的三角形的而积的比等于底边的比求出AF=24D,然后求出AD的长，再根据A6AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析：(1)证明：如图①，延长以到F,使DF=DE..•.CDL4E,C£=CF,NOCE=NOCF=NPCQ=45°,/.ZACD^ACF=^DCF=45".又,/N4C8=90°,NPCQ=45°,「・ZACD+NBCE=900-45°=45°,/.ZACF=NBCE.在4ACF和aBCE中,CE=CF•・一/ACF=/BCE,：.△ACa△BCE(SAS),/.AF^BE,：.AD+BE=AD^AF=DF=DE.即AC=BCAD+BE=DE；(2)解：如图②，在4D上截取DF=DE,丁CDL4E,CE=CF,/.ZDCE=ZDCF=tPCQ=45°,/.ZECF=4DCE+NDCF=90°,/.ZBCE+NBCF=ZfCF=90".又U：ZACB=90\：.ZACF+ZBCF=90\：.ZACF=ZBCE.在△ACF和△BCE中，CE=CF•・一/ACF=/BCE,：.△ACF*4BCE(SAS),/.AF^BE,：.AD=AFWF=BEWE9即AC=BCAD=BEWE；故答案为：AD=BEWE.(3)ZDCE=NDCF=NPCQ=45。，ZECF=45°+45°=90°,/.△ECF是等腰直角三角形，1CD=DF=DE=6. S«8ce=2Sa八8，AF=2^D9AD- x6=2, =/4D+DE=2+6=8.1+2点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90。，得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.（1）根据题意补全图形：（2）判定AG与EF的位置关系并证明：（3）当AB=3,BE=2时，求线段BG的长.【答案】⑴见解析;(2)见解析;⑶2.2【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可；(2)先判断出△ADF2△ABE,进而判断出点C,D,F共线，即可判断出△DFG合△HEG,得出FG=EG,即可得出结论；(3)先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.【详解】(1)补全图形如图所示，(2)连接DF,由旋转知,AE=AF,ZEAF=90°,V四边形ABCD是正方形，••,ABIICD,AD=AB,ZABC=ZADC=BAD=90%/.ZDAF=ZBAE,・•.△ADF合丛ABE(SAS),DF=BE,ZADF=ZABC=90%/.ZADF+ZADC=180%,・・点C,D,F共线，CFIIAB,过点E作EHIIBC交BD于H,/.ZBEH=ZBCD=90%DFIIEH,/.ZDFG=ZHEG,,/BD是正方形ABCD的对角线，ZCBD=45%/.BE=EH,ZDGF=ZHGE,:,&DFGW△HEG(AAS),・•.FG=EGAE=AF,・•.AG±EF：(3)•「BD是正方形的对角线，・•,BD=或AB=3或，由(2)知，在R3BEH中，BH=&BE=2j》，/.dg=bd-bh=72由(2)知，△DFG2△HEG,/.DG;HG,h”1OH-①•mUH—, ,2 2/.BG=BH+HG=2&+g=i^.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键.6.如图1.在△ABC中，NACB=90。，点P为△ABC内一点.（1）连接P8、PC,将△8CP沿射线C4方向平移，得到△"£,点8、C、P的对应点分别为点、D、4E,连接CE①依题意，请在图2中补全图形；②如果8PJ_CE,AB+BP=9,C£=3，J，求A8的长.（2）如图3,以点4为旋转中心，将△48P顺时针旋转60。得到△AMN,连接以、PB、PC,当AC=4,48=8时，根据此图求以+P8+PC的最小值.【答案】⑴①见解析，②AB=6：⑵4a.【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可：②连接8D、CD.根据平移的性质和NAC8=90。，得到四边形8a。是矩形，从而有CD=AB,设CD=A8=X,则P8=DE=9-X，由勾股定理求解即可：（2）当C、P、M、N四点共线时，PA+P8+PC最小.由旋转的性质和勾股定理求解即可.详解：（1）①补全图形如图所示：②如图：连接8D、CD.■：△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE,：.BCWAD且BC=AD9PB=DE.•・・N4CB=90°,•・四边形8G4D是矩形，「.CD=48,设CD=48=X,则P8=9-X，de=bp=9-x,IBPLCE,BPIIDE,：.DE±CE.：.CE2+DE2=CD2，「.(3褥『+(9-a)2=Y,，X=6,即48=6：(2)如图，当C、P、M./V四点共线时，%+P8+PC最小.易得△4PM、△ABN都是等边三角形，「,%=PM,•,pa+pb+pc=pm+mn+pc=cn.，8/\/=48=8,ZBNA=60\ZPAM=60\：.ZCAN=4C48+N84N=60°+60°=120°,•・ZCBN=90°.在RSA8c中，易得：BC=>]aB2-AC2=^82-42=4>/3«.•.在RS8CN中，CN7bcrBN2=j48+64=4>/7.点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.7.(1)问题发现如图14ACB和^DCE均为等腰直角三角形/ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为L

⑵拓展探究如图2AACB和^DCE均为等腰宜角三角形/ACB=ZDCE=90。,请判断AD,BE的关系，并说明理由.⑶解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90。得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1)AD=BE,AD±BE.⑵AD=BE,ADJLBE.(3)5-3<PC<5+3.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证△ACD合△BCE(SAS),得AD二BE,ZEBC=ZCAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得ADJ_BE.(2)根据等腰三角形性质证△ACD2aBCE(SAS),AD=BE,NCAD=NCBE,由垂直定义得NOHB=90°,ADJLBE；(3)作AEJLAP,使得AE=PA,则易证△APE合△ACP,PC=BE,当P、E、B共线时，BE最

小，最小值二PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE,故5・3人WBEW5+3.【详解】(1)结论：AD=BE,ADJLBE.理由：如图1中，V△ACB与aDCE均为等腰直角三角形,・・.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZACD=90%在RtAACD和RtABCE中AC=BCZACD=ZBCECD=CE：.△ACD合△BCE(SAS),/.AD=BE,ZEBC=ZCAD延长BE交AD于点F,;BC±AD»ZEBC+ZCEB=90°,「ZCEB=AEF,/.ZEAD+ZAEF=90°,/.ZAFE=90\即AD1.BE.・・AD=BE,ADJLBE.故答案为AD二BE,AD±BE.(2)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O.V△ACB与八DCE均为等腰直角三角形,・.AC=BC,CE二CD,ZACB=ZECD=90°,ACD=ZBCE,在RtAACD和RtABCE中AC=BC/ACD=/BCE,CD=CE/.△ACD合&BCE(SAS),「.AD=BE,ZCAD=ZCBE,/ZCAO+ZAOC=90%ZAOC=ZBOH,/.ZBOH+ZOBH=90°,•,ZOHB=90%/.AD±BE,•.AD=BE,AD±BE.

D(3)如图3D(3)如图3中,作AE_LAP,使得AE=PA,则易证△APE合△作AE_LAP,/.PC=BE,图3