中考数学总复习课件：第22讲-平行四边形

数学第五章图形的性质(一)数第五章图形的性质(一)第22讲平行四边形第22讲平行四边形要点梳理

1．n边形以及四边形的性质(1)n边形的内角和为，外角和为_，对角线条数为．(2)四边形的内角和为，外角和为，对角线条数为．(3)正多边形的定义：各条边都，且各内角都的多边形叫正多边形．(n－2)·180°360°360°360°2相等相等要点梳理1．n边形以及四边形的性质(n－2)·180°36要点梳理

2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：①平行四边形两组对边分别；②平行四边形对角，邻角；③平行四边形对角线；④平行四边形是对称图形．平行且相等相等互补互相平分中心要点梳理2．平行四边形的性质以及判定平行且相等相等互补互相要点梳理

(2)判定方法：①定义：的四边形是平行四边形；②的四边形是平行四边形；③的四边形是平行四边形；④的四边形是平行四边形；⑤的四边形是平行四边形．两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分要点梳理(2)判定方法：两组对边分别平行一组对边平行且相等要点梳理

3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．要点梳理3．三角形中位线定理一个方法面积法：在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．一个方法一个防范图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理．一个防范四个误区误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；误区三：一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．

四个误区四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．四种辅助线中考数学总复习课件：第22讲-平行四边形平行四边形的判定【例1】

(2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．解：证明：连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形平行四边形的判定【例1】(2014·徐州)如图，在平行四边【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线A解：证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)解：证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DF平行四边形相关边、角、周长与面积问题

【例2】

(2014·怀化)如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)∠FAD＝∠CDE.平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例2】(2014·解：证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1＝∠2，在△ABE和△AFE中，îïíïì∠B＝∠AFE，∠1＝∠2，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(AAS)

(2)∵△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF＝CD，∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠AFE，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DCE中，îïíïì∠ADF＝∠FEC，∠C＝∠AFD，AF＝DC，∴△AFD≌△DCE(AAS)，∴∠FAD＝∠CDE

解：证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1＝∠2，在【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，2．(2013·宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？2．(2013·宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，FC＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，当x＝5时，y有最大值2532，即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是2532

解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，

∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，过D作DM⊥CE于M，则CM＝12CE，在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，∴cos30°＝CMCD＝32，∴CM＝32CD，∴CE＝3CD，∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝3AB，则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC＝3AB

(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】

(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA.运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】(2014·聊城)解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，

在△EBC和△FDA中，îïíïì∠EBC＝∠ADF，BC＝AD，∠BCE＝∠DAF，∴△EBC≌△FDA(ASA)

解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关3．(1)(2013·益阳)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(

)A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC⊥BDD3．(1)(2013·益阳)如图，在平行四边形ABCD中，下(2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2.①求证：BE＝DF；②求证：AF∥CE.(2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD是平行四边形，E解：(2)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，îïíïì∠AEB＝∠4，∠3＝∠5，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF；②由①得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE

解：(2)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD三角形中位线定理【例4】

(2013·鞍山)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是．11三角形中位线定理【例4】(2013·鞍山)如图，D是△AB【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，4．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E.∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是．24．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六边形的周长．

错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等边三角形．同理，△MAB，△NFA也是等边三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四边形EDNF是平行四边形．同理，四边形EMAF也是平行四边形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．

试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，C剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分∠CDE，∠DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．

剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°，∴∠M＝60°，∴△MDC是等边三角形．∵CD＝10，∴MC＝DM＝10.同理，△ANF也是等边三角形，AF＝AN＝NF＝5.∵AB＝BC＝8，∴NB＝8＋5＝13，BM＝8＋10＝18.∵∠E＝120°，∠E＋∠M＝180°，∴EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形，∴EN＝BM＝18，EM＝NB＝13，∴EF＝EN－NF＝18－5＝13，ED＝EM－DM＝13－10＝3，∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋3＋13＋5＝47(cm)．

解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N数学第五章图形的性质(一)数第五章图形的性质(一)第22讲平行四边形第22讲平行四边形要点梳理

1．n边形以及四边形的性质(1)n边形的内角和为，外角和为_，对角线条数为．(2)四边形的内角和为，外角和为，对角线条数为．(3)正多边形的定义：各条边都，且各内角都的多边形叫正多边形．(n－2)·180°360°360°360°2相等相等要点梳理1．n边形以及四边形的性质(n－2)·180°36要点梳理

2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：①平行四边形两组对边分别；②平行四边形对角，邻角；③平行四边形对角线；④平行四边形是对称图形．平行且相等相等互补互相平分中心要点梳理2．平行四边形的性质以及判定平行且相等相等互补互相要点梳理

(2)判定方法：①定义：的四边形是平行四边形；②的四边形是平行四边形；③的四边形是平行四边形；④的四边形是平行四边形；⑤的四边形是平行四边形．两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分要点梳理(2)判定方法：两组对边分别平行一组对边平行且相等要点梳理

3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．要点梳理3．三角形中位线定理一个方法面积法：在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．一个方法一个防范图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理．一个防范四个误区误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；误区三：一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．

四个误区四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．四种辅助线中考数学总复习课件：第22讲-平行四边形平行四边形的判定【例1】

(2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．解：证明：连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形平行四边形的判定【例1】(2014·徐州)如图，在平行四边【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线A解：证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)解：证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DF平行四边形相关边、角、周长与面积问题

【例2】

(2014·怀化)如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)∠FAD＝∠CDE.平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例2】(2014·解：证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1＝∠2，在△ABE和△AFE中，îïíïì∠B＝∠AFE，∠1＝∠2，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(AAS)

(2)∵△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF＝CD，∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠AFE，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DCE中，îïíïì∠ADF＝∠FEC，∠C＝∠AFD，AF＝DC，∴△AFD≌△DCE(AAS)，∴∠FAD＝∠CDE

解：证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1＝∠2，在【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，2．(2013·宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？2．(2013·宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，FC＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，当x＝5时，y有最大值2532，即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是2532

解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，

∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，过D作DM⊥CE于M，则CM＝12CE，在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，∴cos30°＝CMCD＝32，∴CM＝32CD，∴CE＝3CD，∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝3AB，则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC＝3AB

(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】

(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA.运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】(2014·聊城)解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，

在△EBC和△FDA中，îïíïì∠EBC＝∠ADF，BC＝AD，∠BCE＝∠DAF，∴△EBC≌△FDA(ASA)

解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关3．(1)(2013·益阳)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(

)A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC⊥BDD3．(1)(2013·益阳)如图，在平行四边形ABCD中，下(2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2.①求证：BE＝DF；②求证：AF∥CE.(2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD是平行四边形，E解：(2)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，îïíïì∠AEB＝∠4，∠3＝∠5，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF；②由①得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE

解：(2)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD三角形中位线定理【例4】

(2013·鞍山)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是．11三角形中位线定理【例4】(2013·鞍山)如图，D是△AB【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角