西南大学网络与继续教育《中学几何研究》作业及答案

（0775）《中学几何研究》作业4填空题：1．欧氏几何的平行公理为。2．几何轨迹的纯粹性是指。3．一个公理化系统需解决三个基本问题，而首要的是。4．已知的三边长分别为6、7、9，则。5．复数，则。6．图形经对称变换变为图形，其对称轴为，该变换可记为。7．设、、是三边、、上的点，则、、相交于一点的充要条件。8．到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹是一条直线，该直线称为。9．求解一个作图题的基本步骤是。二、解答下列各小题：（1）在圆内接四边形中，已知。求证：.（2）作图题（只写作法）：已知，求作的外接圆。简述《几何原本》的不足之处。填空题：1．过平面上直线外一点，有且只有一条直线与已知直线相平行。2．轨迹上的点均满足条件。3．相容性问题。4．.5．10。6．.7．.8．等差幂线。9．分析、作法、证明、讨论。二、解答下列各小题：（1）证明：而（∵BC＝CD）（其中为圆的直径）∴.第（1）题图（2）作法：作的中垂线和的中垂线，与交于点，以为圆心，为半径作圆即为所求。第（2）题图三、略。填空题：1．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是。2．用公理化方法写成的第一部几何巨著是。3．欧氏几何与罗氏几何的本质区别是。4．直线与交于，则。5．复数，则。6．图形绕逆时针旋转得图形，该变换可记为。7．凸四边形内接于圆的充要条件是。8．与两定点、距离相等的点的轨迹是。9．在中学平面几何中，常用的作图方法是。二、解答下列各小题：（1）设为锐角三角形的外心，若分别交对边于三点，设的半径为，求证：。（2）作图题（只写作法）：已知及外一点，过作的切线。三、简述尺规作图的作图公理。填空题：1．点、线、面。2．《几何原本》。3．平行公理不同。4．.5．。6．.7．.8．线段的中垂线。9．交轨法和三角形奠基法。二、解答下列各小题：（1）证明：同理可得，如上三式相加得所以（2）作法：连接，以为直径作圆交于点、，则直线、为过点的两切线。第（2）题图三、略。填空题：1．对于一个公理化系统，其公理的选择应符合三个条件，即、和。2．黎曼几何的平行公理为。3．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其五组基本公理是、、、及。4．已知的外接圆半径为，三边长分别为，则。5．复数，该复数的指数形式为。6．将顺时针绕点旋转得，该变换可记为。7．设、、是的边、、所在直线上的点，则、、共线的充要条件是。8．轨迹命题证明的两面性包括和。9．人们常说的尺规作图不可能的三个古典问题是。二、解答下列各小题：（1）在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于D、E、F.求证：第（1）题图（2）作图题（只写作法）：用尺规求作三角形，已知。三、简述《几何原本》的伟大贡献。填空题：1．相容性、独立性、完备性。2．过平面上直线外一点，没有直线与已知直线相平行。3．关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。4．.5．。6．.7．.8．完备性、纯粹性。9．倍立方问题、三等分任意角问题、化圆为方问题。二、解答下列各小题：（1）证明：，，∴。第（1）题图（2）作法：①任作直线，在其上取一点，作且；②以为圆心，及为半径作圆弧，分别交于、两点；③延长至，使，延长至，使；延长和，交点为，完成。三、略。填空题：1．公理化方法，一般由、、及四部分组成。2．罗氏几何的平行公理为。3．已知的内切圆半径为，三边长分别为，则。4．复数，该复数的三角形式为。5．设线段沿向量平移得到线段，该变换可记为。6．三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是。7．到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（假设存在）为一圆，该圆称为。8．尺规作图的作图公理为。9．与两相交直线距离相等的点的轨迹是。二、解答下列各小题：（1）证明：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两条之和。（2）作图题（只写作法）：用尺规求作三角形ABC，已知。三、简述《几何原本》的不足之处。填空题：1．原始概念的列举、定义的叙述、公理的列举、定理的叙述和证明。2．过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线相平行。3．.4．.5．.6．该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。7．定和幂圆。8．已知圆心和半径作圆；已知两点可作一条直线；已知两圆、两直线、圆与直线相交可作交点。9．分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线。二、解答下列各小题：（1）证明：设ABC是等边三角形，D是其外接圆上任一点。若D与三顶点重合，命题显然。若D异于的三顶点，如图，则必有，这是因为由托勒密定理有，则，即。第（1）题图（2）作法：作，使，，，作GK的中点L，并延长BL到C使LC＝BL。延长LG至A使GA＝2LG，则即为所求。第（2）题图三、略。《中学几何研究》复习思考题填空题：1.对于一个公理化系统，其公理的选择应符合三个条件，即相容性、独立性和完备性。2.欧几里德的《几何原本》完成于公元前300年。3.公理化方法，一般由原始概念的列举、定义的叙述、公理的列举及定理的叙述和证明。4.希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是点、线、面。5.希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本关系为结合关系、顺序关系、合同关系。6.希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其五组基本公理为关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。7.罗氏几何的平行公理为过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线相平行。8.黎曼几何的平行公理为过平面上直线外一点，没有直线与已知直线相平行。9.已知的外接圆半径为，三边长分别为则=。10.已知的内切圆半径为，三边长分别为则=。11.记的三个顶点表示的复数分别为、、，则其重心用复数表示为。12.平面上任意三点不共线的四点、、、形成平行四边形的充要条件是。13.已知复数,则表示将向量逆时针旋转。14.设、是直线上的两个定点，则线段的中点可表示为。15.将顺时针绕点旋转得，则变换可记为。16.设线段沿向量平移得到线段，该变换可记为。17.图形经过对称变换变为图形，其对称轴为，该变换可记为。18.设、、是的边、、所在直线上的点，则、、共线的充要条件是。19.三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。20.设、、是的三边、、上的点，则、、相交于一点的充要条件是。21.凸四边形内接于圆的充要条件是。22.轨迹命题证明的两面性包括完备性和纯粹性。23.到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（假设存在）为一圆，该圆称为定和幂圆。24.到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹是一条直线，该直线称为等差幂线。25.人们常说的尺规作图不可能的三个古典问题是倍立方问题、三等份任意角问题、化圆为方问题。26．尺规作图的作图公理为。27.轨迹命题证明的完备性是指，纯粹性是指。习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD+BC,E是DC中点求证：∠DAB与∠ABC的平分线必经过E点。证明（同一法）：设∠DAB与∠ABC的角平分线交于E′点，只需证E′点与E点重合。∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°∴∠=90°作Rt△ABE′的斜边AB上的中线FE′,则FE′=AB=AF=BF∴∠2=∠,∠3=∠∴∠1=∠2=∠,∴∥AD∥BC连结EF,则EF为梯形ABCD的中位线,∥AD∥BC∴∵FE′=AB=(AD+BC),FE=(AD+BC)∴∴习题2.A是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D，使BD=AB。知CD=10厘米，求AB边上中线的长。解：过B作BF∥AC交CD于F，则BF是△DAC的中位线。∴BFAC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC，AB=AC∴∠FBC=∠ABC，BF=AB=BE∴△EBC≌△FBC（SAS）∴CE=CF=CD=×10=5cm即△ABC中边上的中线CE的长为5厘米。习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC。D为BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC延长线于F。求证：DE－DF为常量。证明：作△ABC的边AB上的高CH，再作CG⊥DE于G，则四边形CHEG为矩形。∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2∴∠3=∠4又CD为公共边。∴Rt△DGC≌Rt△DFC∴DF=DG。∴DE－DF=DE－DG=EG=CH。（常量）证毕习题4.在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D。M是BC的中点。求证：DM=AB。证明：（Ⅰ）当∠B为锐角时，作ME∥AC交AB于E，连结DE。则E为AB的中点∴∠DME=∠C，∠BEM=∠BAC在Rt△ABD中，有DE=AB=BE=AE∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C∠DME=∠C∠DEM=2∠C－∠C=∠C∠DEM=∠DMEDE=DMDE=AB（Ⅱ）当∠B为钝角时，作ME∥AC交AB于E。连结DE，则E为AB的中点在Rt△ADB中DE=AB=BE=AE，E和M分别是AB和BC的中点∴ME是△ABC的中位线∴∠C=∠BME，∠BAC=∠BEM∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）∴∠BEM=180°-（∠B+∠C）又∵BE=DE在△BDE中∠ABD=∠EDB=180°-∠B∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB=2∠B-180°∴∠DEM=∠B-∠C，又∠B=2∠C∴∠DEM=∠BME∴DM=AB（Ⅲ）当∠B为直角时，易证DM=AB（Ⅳ）当∠A为直角时，易证DM=AB习题5.AB是圆的直径，引弦AC使∠BAC=30°，过点C引切线交AB的延长线于D，求证：AC=CD证明：如图，连结CB∵AB是⊙的直径∴∠ACB=90°∵CD为⊙O的切线，∠BAC=30°∴∠BCD=∠BAC=30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120°∴在△BCD中∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=30°∴∠BAC=∠BDC即AC=CD习题6.两圆相交于两点A和B，在每一个圆中各作弦AC和AD，使切于另一圆。求证：∠ABC=∠ABD证明：如图，AC和AD分别是⊙，⊙的切线，交⊙，⊙于C和D∴∠CAB=∠ADB，∠DAB=∠ACB在△ABC和△ABD中∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB）=180°-（∠ADB+∠DAB）=∠ABD即∠ABC=∠ABD习题7.四边形ABCD中，设AD=BC，且M和N是对角线AC和BD的中点。证明：直线AD和BD与MN成等角证明：如图，四边形ABCD中AD=BCM和N点分别为对角线AC和BD的中点,MN交AD、BC分别于G和F.下证：∠AGF=∠BFG连结BM并延长至E,BM=ME。连结AE和CE显然：ABCD为平行四边形。连结DE∴∠BFG=∠AHG∵AD=BC，AD=AE而M和N分别是BD和BE的中点，∴MN∥DE∴AG=AH∴∠AGF=∠AHG=∠BFG习题8.设延长△ABC的边BA至D，使AD=AC，则∠BCD=90°+（∠C-∠B）证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1①AD=AC，∠1=∠D∴∠BAC=∠1+∠D=2∠1∠B+∠BCA+2∠1=180°即：2∠1=180°-∠B-∠BCA②将②代入①得：2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA∴∠BCD=90°+（∠C-∠B）习题9.设O为△ABC内部任一点，则OA+OB＜CA+CB证明：连AO延长交BC于D△ADC中AC+CD＞AD①△OBD中，OD+DB＞OB②由①②有：CB+AC=AC+CD+DB＞AD+DB=AO+OD+DB＞AO+BO习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差已知：△ABC中，AD是BC边上的中线求证：（AB+AC）-BC＜AD＜（AB+AC）证明：作DE平行于AB交AC于E则DE=AB，AE=AC在△ADE中，则AD＜AE+DE=（AB+AC）延长AD至F，使DF=AD，则有AD+BD＞AB，AD+DC＞AC∴AF+BC＞AB+AC∴2AD＞AB+AC-BC即AD＞（AB+AC）-BC综上得：（AB+AC）-BC＜AD＜（AB+AC）习题11.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边已知：如图所示，梯形ABCD中，AD//BC,E,F分别是BD,AC中点。求证：EF//AD证明：过点A做AG//BD，并与CB延长线相交于点G.又因为AD//BC所以四边形AGBD是平行四边形取AG的中点H，连结EH由于E是BD的中点所以EH//AD又连结HF所以HF//BC//AD从而H，E，F三点共线于是EF//AD习题12.二圆外切于点P.AB是一条外公切线（A，B为切点）.则PAPB证明：如图O1O2外切于点P，过点P作O1O2的内公切线交AB于C.又而习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。已知：如图，AD，BE，CF分别是ABC三个外角的平分线且分别交CB，CA，BA于D，E，F三点.求证：D，E，F三点共线.证明：AD是BAE的角平分线同理：，从而：D，E，F三点共线.习题14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点.已知：如图所示O1与O2外离，AB，CD是O1与O2的两条内公切线且A，B，C，D分别为切点，O1O2为连心线.求证：AB，CD，O1O2三点共线.证明：AB，CD是O1与O2两条内公切线，则AB，CD必有交点.设AB，CD的交点为P.下证点P在O1O2上即可.连结O1P，O2P.此时PA，PC即为从O1外一点引O1的两条切线.则有PO1平分.即同理可得从而====1800所以P，O1，O2三点共线即P在O1O2所以AB，CD，O1O2三点共线.习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点（1.）三中线已知：如图.AD，BE，CF分别ABC边BC，CA，AB上的中线.求证：AD，BE，CF三线共点证明：D，E，F分别是中点从而所以AD，BE，CF三点共线.（2.）三内角平分线.已知：如图，AD，BE，CF分别是ABC三内角平分线.求证：AD，BE，CF三点共线.证明：由AD，BE，CF分别是ABC三内角平分线.，，.故：AD，BE，CF三点共线.习题16.已知：C是RtABC的直角顶点，以AB为边作正方形ABCD，以AC边作正方形ACFG，它们都包含ABC求证：CEBG证明：四边形ABDE，ACFG为正方形.以A为旋转中心，有：，则：CE=BG，GEBG.习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.求证：ABAD+=证明：连接BD交AC于E由于BC=CD，则在ABC和AED中ABC~~AED……..=1\*GB3①,.在CDE和CAD中CDE~~CAD………=2\*GB3②由=1\*GB3①和=2\*GB3②有ABAD+=习题18.平行四边形ABCD的底边BC固定,另一边AB长为,则其对角线交E的轨迹为一圆,圆心是BC中点,半径是.(假设:平行四边形ABCD底边BC的中点O,AB边长为,P为对角线AB,BD的交点,BC为固定.)求证:点P的轨迹是O()证明:10若P是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,连接OP,由P,O分别是BD,BC的中点,故OP==.故PO(),(完备性得证)20.社P为O()上任意一点,连接OP,分别过B,C作OP的平行线.连接CP并延长交于A,连接BP并延长交于D,连接AD则OP是CAB和BCD的中位线,于是AB=,OD=.且AD//CD,从而P点是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点(纯粹性得证)点P的轨迹是O().习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。假设AB与CD是⊙O（r）中两条互相垂直的弦，且AB⊥CD于P,(常数),求点P的轨迹.证明:点P关于O的对称点也满足条件,故该轨迹为以O为圆心,以OP为半径的圆。如图所示：连AO延长交⊙O于E,连AC、DB、CE，则∠1+∠2=90°∴∠2+∠3=90°,从而∠1=∠3过点P作MN⊥OP有MP=NP=所求轨迹可能是以O为圆心为半径的圆珠笔。习题20.将已知点到定圆上各点连线，求连线的中点E的轨迹。假设点C为定点P到定圆⊙O(r)上各成连线的中点,求C点的轨迹.探求：连接PO交⊙O于B易见轨迹关于直线PO对称设PA、PB中点分别为C、D，作切线PT、，中点分别为E、F则C、D、E、F不共线，估计轨迹为圆弧设CD中点为，连，设PA=a则，故所以，轨迹是以CD中点为圆心，r为半径的圆。习题21.设两动圆各切同一直线于一定点，且保持互相切，求它们切点的轨迹。假设动圆切线l于点A，动圆切直线l于点B，且⊙与⊙相切于点P，求点P的轨迹。探求：⊙与⊙的圆心、分别在直线AO、BO上，故轨迹关于直线l对称当→A、P→A、→B、P→B，过P作⊙与⊙的公切线交AB于点O，易见OP=OA=OB=AB故:所求轨迹应为以AB为直径的圆。习题22.给定直线l及两圆及,在l上求一点，使从点向所引切线的夹角等于所引二切线的夹角。分析：设所求点为P，则P要求满足：eq\o\ac(○,1)∠CPA=∠DPBeq\o\ac(○,2)P在直线l上。由eq\o\ac(○,1)有则∠1=∠2，∠3=∠4=90°P点的轨迹应在一个阿氏圆上，使即P点在以EF为直径的圆上。作法：如分析过程作出E、F两点，以E、F为直径作圆W0、W2与l交于点P，P为所求点。证明：由eq\o\ac(○,1)阿氏圆的性质，，∠3=∠4，双P在直线上，故P为所求点。讨论：当W0与直线相离时无解，当W0与直线相切时有一解，当W0与直线相交时，有两解。习题23.定直线上有按A、B、C、D顺序排列的四定点，求一P使分析：假设P点已求出，由于所以BP是∠APC的角平分线，CP是∠BPD的角平分线，根据角平分线的性质有：，可见，P点到A、C两定点的距离之比为常量P到B、D两定点的距离之比为常量，因此，P点是AP﹕CP=a﹕b的阿氏圆与BP﹕DP=b﹕c的阿氏圆的交点。作法：eq\o\ac(○,1)在已知直线上取4点A、B、C、D，使得；eq\o\ac(○,2)作出到A、C两点距离之比等于a﹕b的点的轨迹,即阿氏圆eq\o\ac(○,3)作出到B、D两点距离之比等于b﹕c的点的轨迹,即阿氏圆、交于点P，P为所求。连结PA、PB、PC、PD证明：由作法知：AB﹕BC=a﹕b，P是阿氏圆上的点，故有AP﹕CP=a﹕b，所以AP﹕CP=AB﹕BC，所以PB是∠APC的角平分线，即有同理可证：，所以，所求点P符合条件所求。讨论：本题是否有解关键在于、是否有交点，相交或相切时有一角，否则无解。习题24.求作△ABC，已知顶角A，高，角平分线。分析：设△ABC已作成，高AH=，角平分线AT=，顶角∠BAC=∠，则AT是∠BAC的平分线。Rt△AHT中，有两边AT、AH均已知，∠AHT=90°。故点H在以AT为直径的圆上，又AH=，故H又在圆A（）上，故可确定点H，延长TH分别交∠BAC两边于B、C，则△ABC即为所求三角形。作法：eq\o\ac(○,1)先求作∠BAC=∠,作∠BAC的平分线AT,在射线AT上作点T,使AT=。eq\o\ac(○,2)作AT的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为中心，为半径作一弧，交⊙O于H，则AH⊥HT。eq\o\ac(○,3)连结TH并两边延长，分别交AB、AC于B、C两点。∴△ABC为所求.证明:由作法及三角形全等的判定(SAS)知,△ABC符合条件.讨论:本题有无解,取决于⊙O()与OA()有无公共点H,两圆有公共点H的条件是AT≥HA即≥,当＞时,有两解且合同,；＝时有一解,；＜时无解.习题25.求作△ABC，已知∠A，，分析：设△ABC已作出，中线AM=，高AH=，顶角∠BAC=，在Rt△AHM中，有两边AH、AM为已知长，故可作出，顶点A的位置就决定了，又B、C关于点M对称，只要C确定，则B也确定，显然C点不在直线HM上，又M为BC中点，延长AM到D，使AM=MD，则可得AB∥CD，故，故C点还在以AD为弦，内接角为180°-的弧上，故此C可作出。作法：若≥任作直线l，在l上取一点H，过H作AH⊥l，在AH上作一点A，使得AH=，以A为圆心，为半径画弧，交直线l于点M，延长AM至D，使AM=MD，再以AD为弦，定角为180°-为内接角作弧，交射线MH于点C，以M为心，MC为半径作弧，交射线MH于点B，直线AB、AC，则△ABC为所求。证明：由作法知，M为BC中点，AM为中线，又由AH⊥BC，知AH=为高。又∵BM=CM，AM=DM，∠AMB=∠CMD故△ABC即为所要求的图。讨论：有无解，取决于点M是否存在，点M为⊙A（）与直线l的交点，故：当﹥时两解且合同，当=时，有唯一解；当﹤时无解。习题26.求作△ABC，已知a,、分析：假设△ABC已作出，底边BC=a，中线BE=，CF=，则H为△ABC的重心，故BH=，CH=在△BCH中，三边均已知，故可作出，现只需点A的位置即可，又由BE，CF为中线，得E在AC上，F在AB上取一点A即在BF上，又在直线CE上，A可确定。作法：（1）作△BCH，使BC=a，BH=，CH=，延长BH至E，使BE=BH=延长CH交BA于F，使CF=；(2)连接BF、CE并延长交于A，则△ABC为所求。证明：由作法知，则∴HE﹕BH=HF﹕CH=1﹕2EF∥BC且EF﹕BC=HE﹕BH=1﹕2∴AF=BFAE=EC即E、F分别为AC、AB的中点，故BE、CF是△ABC的中线。所以△ABC为所求。讨论：本题有无解，决定于△BCH是否存在，所以三角形的条件是：所以，当a、、满足上述条件时本题有解，否则无解。习题27.求作一四边形，已知四边形长度，且角被对角线平分。已知：线段a、b、c、d为定长求作：四边形ABCD，使得AB=a，BC=b，CD=c，DA=d是AC平分∠BAD分析：设四边形ABCD已作出。先作AB=a，由BC=b，C点的轨迹是圆B（b），又由AC平分∠DAB，则DA沿AC对折后，与直线AB重合，且D点的对应点可作出，及在AB上作点后，使AE=AD，则E点固定，∴CE=CD=c，故C点的另一轨迹为圆E（c），C点也就确定，又CD=c，DA=d，故D即在⊙A（d）上，又在⊙C（c）上，且与B点位于AC异侧，故四边形可作出。作法：作线段AB=a,以A为心，d为半径画弧，交AB或AB延长线于点E，分别以点E，点B为心，线段c和b为半径画弧，两弧相交于点C，再分别以A、C为心，定长d和c为半径画弧。两弧相交于点D，连结BC、CD、DA，则四边形ABCD即为所求。证明：由作法知：，即AC平分∠BAD故四边形ABCD合符条件。讨论：本题有无解决定于C是否存在，即圆B（b）与⊙E（C）有无公共点，故：当∣a-b∣+b﹥c,∣a-b∣+c﹥b且∣a-b∣﹤b+c时，C点唯一存在，两解且合同，关于AB对称。当∣a-b∣+b﹤c或∣a-b∣+c﹤b或∣a-b∣﹥b+c时无解。当a=b且b=c时，⊙B（b）与⊙E（c）重合，此时有无穷多解。习题28.给定直线XY及异侧两点AB，于XY上求一点C，使=分析：假定C点已作出，满足=，作A点关于XY的对称点，则=于是=，即、B、C三点共线，即点C为直线XY与直线的交点作法：作A关于直线XY的对称点，连接并延长交直线XY于点C，则C点即为所求证明：由作法知==即C符合讨论：本题有无解决定于直线XY与直线有无交点，故当不平行与XY即A、B两点到直线XY距离不等时有唯一解当即AB到XY距离相等时无解习题29.求作四边形，已知一双对边及两对角线长度及两对角线的交角已知：线段a.b.c.d角求作：四边形ABCD使得AD=a、BC=b、CA=c、BD=d对角线AC与BD的交角为即=分析：设四边形ABCD已作出.过D点作，DF可作出．故BD可确定。而C点分别B、F为圆心。b、a为半径的圆弧交点。当C点确定后。点A可确定。即A分别在（c），（a）的交弧上。作法：1作使BD=d，=，DF=c2分别以B、F为圆心，b、a为半弧交于C3分别以点C、D为圆心，c、a为半径画弧交于A4连接AB、BC、DC、DA。则ABCD为所求证明：由作法可知：AD=a，BC=b，CA=c，DB=dAD=CF=a，CA=FD=a四边形ACFD是平行四边形，==故四边形ABCD符合条件。讨论：1若（b）和（a）相离，无解2若与相切，而分别以C、D为圆心，c、a为半径的和相离时也无解3当与相切，且与也相切时才有解：交点个数可能为1，2，4但是合同的

习题30.求作直角等腰三角形使其直角定点为定点A余二定点分别在一定直线及一圆上分析：假设已作出，作，B在l上，，故C在上：又由于C必须在上。故C点为直线l与的交点，确定C后相应得也确定B点作法：过A作于H，作=且=AH过作直线。与交于C。作=。且交l于B，则为所求。证明：由作法知B在l上，C在上在=在中与中AH=，AB=AC即符合条件。讨论：1.在A到直线l的距离AHAB无解2.若A到直线l的距离AH=AB，即与相切有一解3.若AHAB时与相交有两解习题31.在已知内作内接，使EF与直线L平行=定角。且顶点D是BC边上的定点。分析：设已作出作，、F分别在AB、AC上分别过作DE、DF的平行线，则有而在中可确定从而作出作法：作，、F分别在AB、AC上以为弦，连AD交w于连，的平行线DE，与AB、AC交于E、F，连接EF为所求作内接三角形证明：由作法知：，====所以为符合条件的内接三角形习题32.已知：弓形求作：弓形内接正方形EFGH分析：设四边形EFGH已作出E、F在AB上G、H在上ABCD为正方形。先以AB为边在所在一