《高等数学》教学课件-第6章

第六章微分方程第六章微分方程1本章内容第一节微分方程的概念第二节可别离变量的微分方程第三节一阶线性微分方程第四节二阶常系数线性齐次微分方程本章内容第一节微分方程的概念第二节可别离变量的微分方2在科学工程技术以及经济研究中，常常需要寻找实际问题中变量之间的函数关系。但在大量的实际问题中，却无法直接建立这种函数关系，而需要根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的等量关系式，然后从中解出所求函数，这种关系就是本章将要学习的微分方程。1676年伯努利在致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程在自然界及工程、经济、军事和社会等领域中有着广泛的应用。在科学工程技术以及经济研究中，常常需要寻找实际问题中变量之间3第一节微分方程的概念一、两个实例例1【曲线方程问题】曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点〔1，2〕，求此曲线方程。第一节微分方程的概念一、两个实例例1【曲线方程问题】4解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处的切线斜率为。例1【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。根据题意有对其两边积分，得解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处5又曲线经过点〔1，2〕，将 代入上式，得例1【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。于是，所求曲线方程为又曲线经过点〔1，2〕，将 代入上式，得例1【6解建立坐标系如图，设运动方程为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。即由于质点只受重力mg作用，且力的方向与运动方向相同，由牛顿第二定律，得质点满足方程解建立坐标系如图，设运动方程为例2【自由落体运动】设7对其两边积分，得例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。其中，C1,C2是两个独立的任意常数。上式两边再同时积分，得对其两边积分，得例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，8又因为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。于是，质点作自由落体的运动方程为将两个条件代入上式，得又因为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时9一般地，凡含有未知函数的导数〔或微分〕的等式称为微分方程。微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。二、微分方程的概念一般地，凡含有未知函数的导数〔或微分〕的等式称为微分方程。微10如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性微分方程；否那么称为非线性微分方程。任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程解得过程称为解微分方程。如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性微分方11如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。通解中，利用附加条件确定任意常数的取值所得的解称为微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的12通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概念。微分方程在社会生产实践中，是我们解决许多实际问题的有力工具，现将解决实际问题的方法步骤归纳如下：（1）建立反映实际问题的微分方程；（2）按实际问题写出初始条件；（3）求微分方程的通解；（4）由初始条件确定所求的特解。通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概念。微分方程13例3函数

（C1,C2为任意常数）是微分方程

的通解吗？说明理由。解首先验证是微分方程的解，对

求导，得将

代入方程

得所以函数

是微分方程的解；又因为解中含有两个独立任意常数，二微分方程是二阶的，故函数是微分方程的通解。例3函数 （C1,C2为任意常数）是微分14例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？解

设列车制动后t秒行驶的距离为s米，由题意知，制动后列车行驶的加速度等于-0.4m/s2，即初始条件为方程两边同时积分，得速度为例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度15例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？再积分一次，得将初始条件

代入得，于是可得制动后列车的速度方程和运动方程，分别为例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度16例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？令得列车制动后行驶的路程得所以列车从制动开始到停住所需的时间例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度17解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处的切线斜率为。例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。根据题意有初始条件为第二节可别离变量的微分方程解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处18这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有未知函数y，积分

解不出来．但如果将方程作如下变形写成例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。这时方程的左端只含有未知函数y与dy，右端只含有自变量x与dx。即变量y与dy已经别离在方程的两端，此时两边可以同时积分 ，得这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有19即例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。于是所求曲线方程为将

代入通解中，得即例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)20在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx，那么就可以用两边同时积分的方法求出通解。这种求解方法称为分离变量法。变量能分离的微分方程称为可分离变量的微分方程。它的一般形式可表示为在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接21求解步骤如下：〔1〕别离变量求解步骤如下：22〔2〕两边积分〔2〕两边积分23（3）求出积分，得通解其中

分别是的

原函数，C为任意常数。（3）求出积分，得通解24例2求微分方程

满足初始条件

的特解。解别离变量，得两边积分，得即例2求微分方程 满足初始条件 的特解。解别离变25例2求微分方程

满足初始条件

的特解。令得通解为将

代入通解中，得于是所求特解为例2求微分方程 满足初始条件 的特解。令得通解为将26在解微分方程时，为方便起见，遇到如

等形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式不变。在解微分方程时，为方便起见，遇到如 等形式的积分，自然27例3解微分方程解别离变量，两边同乘以2，得两边积分，得即化简，得通解例3解微分方程解别离变量，两边同乘以2，得两边积分，28解

令t=0表示1999年，设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的增长率为例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？得微分方程别离变量，得解令t=0表示1999年，设第t年我国的GDP为P(t)29例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？两边积分，得化简，得通解将

代入通解中，得例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP30例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？所以从1999年起第t年我国的GDP为将 代入上式中，得2021年我国的GDP预测值是例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP31例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？解〔1〕设该材料在时刻t的质量为由题意知那么衰变率为其中k>0为比例系数，取负号是由于质量减少，衰变率例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断32例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？初始条件两边积分，得别离变量，得化简，得通解例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断33将

代入通解，得C=50，因此例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？故该放射性材料的衰变规律为将

代入通解，得

，将 代入通解，得C=50，因此例5【放射性元素的衰变】34〔2〕质量变成一半时m=25，将其代入上式，得例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？那么即于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。〔2〕质量变成一半时m=25，将其代入上式，得例5【放射35第三节一阶线性微分方程在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程，它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称为一阶线性微分方程。第三节一阶线性微分方程在解决实际问题中，经常会遇到这样的36例如，某曲线上任意点M(x,y)的切线斜率是该点横、纵坐标之差，且曲线经过（1，0）点，求该曲线方程。分析

设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x,y)处的切线斜率为

。根据题意有即初始条件为

。这个方程未知函数及其导数都是一次的，是一阶线性微分方程。例如，某曲线上任意点M(x,y)的切线斜率是该点横、纵坐标37一阶线性微分方程的一般形式是其中

都是x的已知连续函数。一阶线性微分方程的一般形式是38

，上式变为称为一阶线性齐次微分方程。 ，上式变为39一、一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分方程，分离变量得两边积分得化简得这就是一阶线性齐次微分方程的通解。一、一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分40二、一阶线性非齐次微分方程前面以求出齐次方程

的通解为其中C为任意常数．由此猜想非齐次方程也有这种形式的解，但其中C不是常数，而是某个x的函数，问题归结为是否存在这样的函数u(x)，使得是非齐次方程的解。二、一阶线性非齐次微分方程前面以求出齐次方程 41现在假设

是方程

的解，则将y,y’代入方程

并化简，得现在假设 是方程 的解，则42两边积分，得于是，这样的u(x)存在，将上式代入

，得方程

的通解公式为即两边积分，得43式中右端的第一项为哪一项对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解〔取C=0〕。由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。上述将对应齐次方程通解中的为任意常数C换为待定函数u(x)，以求非齐次方程的方法，称为常数变易法。式中右端的第一项为哪一项对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次44例1解方程解法1〔常数变易法〕：对应的齐次方程的通解为将常数变为函数，得将y,y’代入原方程并化简，得于是例1解方程解法1〔常数变易法〕：对应的齐次方程的通解为将45例1解方程积分得所以原方程的通解为例1解方程积分得所以原方程的通解为46将

，代入非齐次方程的通解公式得例1解方程解法2〔公式法〕：将 ，代入非齐次方程的通解公式得例1解方47解由前面分析得微分方程例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。对应的齐次方程的通解公式为将常数变为函数，得解由前面分析得微分方程例2【曲线方程】求前面例如问题48将y,y’代入原方程并化简，得例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。于是积分得将y,y’代入原方程并化简，得例2【曲线方程】求前面例49所以方程的通解为例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。把初始条件

代入通解中，得故所求曲线方程为所以方程的通解为例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方50根据牛顿第二定律

，得微分方程解设降落速度为v=v(t)，降落时飞行员所受重力mg的方向与v(t)的方向一致，所受阻力 与v(t)的方向相反〔k为比例系数且大于0〕，从而在降落过程中飞行员所受的合力为例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系．即根据牛顿第二定律 ，得微分方程解设降落速度为v=v(51于是所求函数为将初始条件

代入得例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系．可以看出，当t充分大时，

越来越小，速度v(t)逐渐接近于匀速

，故飞行员跳伞速度不会无限增大，飞行员就会完好无损地降落到地面。于是所求函数为将初始条件 代入得例3【飞行员跳伞问题】52第四节

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多，特别是在电学、力学中遇到的时机更多。下面看一个实际问题。第四节

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程53引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作用力与质点到中心点的距离成正比（比例系数为4）；外界阻力与运动速度成正比（比例系数为3）．运动开始时，质点距中心点1厘米，速度为0．求质点的运动规律．分析设s表示路程，t表示时间，则

为速度，

为加速度。根据题意：因此引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作54由牛顿第二定律

得，即这个微分方程是二阶的，系数都是常数，且的幂次都是一次的。像这种类型的微分方程，就是我们本节将要学习的二阶常系数线性齐次微分方程。由牛顿第二定律 得，55一般地，形如的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中都是常数。一般地，形如56方程

的解有如下结论：若y1，y2是方程的两个特解，则（1）y1，y2的线性组合

也是方程的解，其中

是任意常数；（2）若

，则

是方程的通解。上述结论称为解的结构定理。方程 的解有如下结论：57由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成比例的两个特解y1，y2。根据方程的特点，可以看出方程中的y,y′,y″应具有相同的形式，而指数函数正是具有这种特点的函数。

因此，设

（r为待定常数）是方程的解。为此，求出

并代入方程得由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成比例的两个58因为

，因此r应满足即当r是代数方程

的根时，

就是齐次方程y″+py

′+qy=0的解。因此，我们称方程

是方程y″+py′+qy=0的特征方程，特征方程的根称为特征根.因为 ，因此r应满足59由于，特征方程

的特征根有三种情况，根据二阶常系数线性齐次微分方程解的结构，可以得到三种情况下方程y″+py′+qy=0的通解（见下表）。特征方程r2+pr+q=0的两个根r1,r2微分方程y″+py′+qy

=0通解两个不相等的实根r1≠r2两个相等的实根r1=r2一对共轭复根r1,2=α±βi

由于，特征方程 的特征根有三种情况，根据二阶常系数线性齐60综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下:(1)写出微分方程的特征方程r2

+pr+q=0;(2)求出特征根r1,r2;(3)按表所示写出微分方程的通解;特征方程r2+pr+q=0的两个根r1,r2微分方程y″+py′+qy

=0通解两个不相等的实根r1≠r2两个相等的实根r1=r2一对共轭复根r1,2=α±βi

综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下:特征61例1求下列微分方程的通解：解〔1〕对应的特征方程为特征根为所以通解为例1求下列微分方程的通解：解〔1〕对应的特征方程为特62例1求下列微分方程的通解：解〔2〕对应的特征方程为特征根为所以通解为例1求下列微分方程的通解：解〔2〕对应的特征方程为特征63例1求下列微分方程的通解：解〔3〕对应的特征方程为特征根为所以通解为例1求下列微分方程的通解：解〔3〕对应的特征方程为特征64初始条件为解在引例1中建立的微分方程为例2求引例1中的问题。对应的特征方程为初始条件为解在引例1中建立的微分方程为例2求引例165所以通解为特征根为例2求引例1中的问题。于是所以通解为特征根为例2求引例1中的问题。于是66解得把初始条件

代入上面两式，得例2求引例1中的问题。因此，质点的运动规律是解得把初始条件 代入上面两式，得例2求引67由闭合回路上电压的代数和等于零可得解设任意时刻电容器上的电量为 ，那么电流 。因为例3【电容器放电问题】设有一个由电阻

、自感

、电容

组成的串联电路，如图所示，当开关闭合后，电容器开始放电，如果电容器上原有电量为0.01C，试分析电容器的放电规律。于是得由闭合回路上电压的代数和等于零可得解设任意时刻电容器上的68即初始条件例3【电容器放电问题】设有一个由电阻

、自感

、电容

组成的串联电路，如图所示，当开关闭合后，电容器开始放电，如果电容器上原有电量为0.01C，试分析电容器的放电规律。即初始条件例3【电容器放电问题】设有一个由电阻 、自69特征方程为特征根为例3【电容器放电问题】设有一个由电阻

、自感

、电容

组成的串联电路，如图所示，当开关闭合后，电容器开始放电，如果电容器上原有电量为0.01C，试分析电容器的放电规律。所以通解为于是特征方程为特征根为例3【电容器放电问题】设有一个由电70把初始条件

代入上面两式，得解得例3【电容器放电问题】设有一个由电阻

、自感

、电容

组成的串联电路，如图所示，当开关闭合后，电容器开始放电，如果电容器上原有电量为0.01C，试分析电容器的放电规律。因此，电容器的放电规律是把初始条件 代入上面两式，得解得例3【电容器放电问71ThankYou!ThankYou!72第六章微分方程第六章微分方程73本章内容第一节微分方程的概念第二节可别离变量的微分方程第三节一阶线性微分方程第四节二阶常系数线性齐次微分方程本章内容第一节微分方程的概念第二节可别离变量的微分方74在科学工程技术以及经济研究中，常常需要寻找实际问题中变量之间的函数关系。但在大量的实际问题中，却无法直接建立这种函数关系，而需要根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的等量关系式，然后从中解出所求函数，这种关系就是本章将要学习的微分方程。1676年伯努利在致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程在自然界及工程、经济、军事和社会等领域中有着广泛的应用。在科学工程技术以及经济研究中，常常需要寻找实际问题中变量之间75第一节微分方程的概念一、两个实例例1【曲线方程问题】曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点〔1，2〕，求此曲线方程。第一节微分方程的概念一、两个实例例1【曲线方程问题】76解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处的切线斜率为。例1【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。根据题意有对其两边积分，得解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处77又曲线经过点〔1，2〕，将 代入上式，得例1【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。于是，所求曲线方程为又曲线经过点〔1，2〕，将 代入上式，得例1【78解建立坐标系如图，设运动方程为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。即由于质点只受重力mg作用，且力的方向与运动方向相同，由牛顿第二定律，得质点满足方程解建立坐标系如图，设运动方程为例2【自由落体运动】设79对其两边积分，得例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。其中，C1,C2是两个独立的任意常数。上式两边再同时积分，得对其两边积分，得例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，80又因为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。于是，质点作自由落体的运动方程为将两个条件代入上式，得又因为例2【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时81一般地，凡含有未知函数的导数〔或微分〕的等式称为微分方程。微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。二、微分方程的概念一般地，凡含有未知函数的导数〔或微分〕的等式称为微分方程。微82如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性微分方程；否那么称为非线性微分方程。任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程解得过程称为解微分方程。如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性微分方83如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。通解中，利用附加条件确定任意常数的取值所得的解称为微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的84通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概念。微分方程在社会生产实践中，是我们解决许多实际问题的有力工具，现将解决实际问题的方法步骤归纳如下：（1）建立反映实际问题的微分方程；（2）按实际问题写出初始条件；（3）求微分方程的通解；（4）由初始条件确定所求的特解。通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概念。微分方程85例3函数

（C1,C2为任意常数）是微分方程

的通解吗？说明理由。解首先验证是微分方程的解，对

求导，得将

代入方程

得所以函数

是微分方程的解；又因为解中含有两个独立任意常数，二微分方程是二阶的，故函数是微分方程的通解。例3函数 （C1,C2为任意常数）是微分86例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？解

设列车制动后t秒行驶的距离为s米，由题意知，制动后列车行驶的加速度等于-0.4m/s2，即初始条件为方程两边同时积分，得速度为例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度87例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？再积分一次，得将初始条件

代入得，于是可得制动后列车的速度方程和运动方程，分别为例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度88例4

【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4m/s2，问开始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？令得列车制动后行驶的路程得所以列车从制动开始到停住所需的时间例4【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度89解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处的切线斜率为。例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。根据题意有初始条件为第二节可别离变量的微分方程解设曲线方程为y=f(x)，那么曲线在点M(x,y)处90这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有未知函数y，积分

解不出来．但如果将方程作如下变形写成例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。这时方程的左端只含有未知函数y与dy，右端只含有自变量x与dx。即变量y与dy已经别离在方程的两端，此时两边可以同时积分 ，得这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有91即例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。于是所求曲线方程为将

代入通解中，得即例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x,y)92在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx，那么就可以用两边同时积分的方法求出通解。这种求解方法称为分离变量法。变量能分离的微分方程称为可分离变量的微分方程。它的一般形式可表示为在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接93求解步骤如下：〔1〕别离变量求解步骤如下：94〔2〕两边积分〔2〕两边积分95（3）求出积分，得通解其中

分别是的

原函数，C为任意常数。（3）求出积分，得通解96例2求微分方程

满足初始条件

的特解。解别离变量，得两边积分，得即例2求微分方程 满足初始条件 的特解。解别离变97例2求微分方程

满足初始条件

的特解。令得通解为将

代入通解中，得于是所求特解为例2求微分方程 满足初始条件 的特解。令得通解为将98在解微分方程时，为方便起见，遇到如

等形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式不变。在解微分方程时，为方便起见，遇到如 等形式的积分，自然99例3解微分方程解别离变量，两边同乘以2，得两边积分，得即化简，得通解例3解微分方程解别离变量，两边同乘以2，得两边积分，100解

令t=0表示1999年，设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的增长率为例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？得微分方程别离变量，得解令t=0表示1999年，设第t年我国的GDP为P(t)101例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？两边积分，得化简，得通解将

代入通解中，得例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP102例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？所以从1999年起第t年我国的GDP为将 代入上式中，得2021年我国的GDP预测值是例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP103例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？解〔1〕设该材料在时刻t的质量为由题意知那么衰变率为其中k>0为比例系数，取负号是由于质量减少，衰变率例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断104例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？初始条件两边积分，得别离变量，得化简，得通解例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断105将

代入通解，得C=50，因此例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？故该放射性材料的衰变规律为将

代入通解，得

，将 代入通解，得C=50，因此例5【放射性元素的衰变】106〔2〕质量变成一半时m=25，将其代入上式，得例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．（1）试确定该材料的衰变规律；（2）预测经过多少年质量变成一半？那么即于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。〔2〕质量变成一半时m=25，将其代入上式，得例5【放射107第三节一阶线性微分方程在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程，它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称为一阶线性微分方程。第三节一阶线性微分方程在解决实际问题中，经常会遇到这样的108例如，某曲线上任意点M(x,y)的切线斜率是该点横、纵坐标之差，且曲线经过（1，0）点，求该曲线方程。分析

设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x,y)处的切线斜率为

。根据题意有即初始条件为

。这个方程未知函数及其导数都是一次的，是一阶线性微分方程。例如，某曲线上任意点M(x,y)的切线斜率是该点横、纵坐标109一阶线性微分方程的一般形式是其中

都是x的已知连续函数。一阶线性微分方程的一般形式是110

，上式变为称为一阶线性齐次微分方程。 ，上式变为111一、一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分方程，分离变量得两边积分得化简得这就是一阶线性齐次微分方程的通解。一、一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分112二、一阶线性非齐次微分方程前面以求出齐次方程

的通解为其中C为任意常数．由此猜想非齐次方程也有这种形式的解，但其中C不是常数，而是某个x的函数，问题归结为是否存在这样的函数u(x)，使得是非齐次方程的解。二、一阶线性非齐次微分方程前面以求出齐次方程 113现在假设

是方程

的解，则将y,y’代入方程

并化简，得现在假设 是方程 的解，则114两边积分，得于是，这样的u(x)存在，将上式代入

，得方程

的通解公式为即两边积分，得115式中右端的第一项为哪一项对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解〔取C=0〕。由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。上述将对应齐次方程通解中的为任意常数C换为待定函数u(x)，以求非齐次方程的方法，称为常数变易法。式中右端的第一项为哪一项对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次116例1解方程解法1〔常数变易法〕：对应的齐次方程的通解为将常数变为函数，得将y,y’代入原方程并化简，得于是例1解方程解法1〔常数变易法〕：对应的齐次方程的通解为将117例1解方程积分得所以原方程的通解为例1解方程积分得所以原方程的通解为118将

，代入非齐次方程的通解公式得例1解方程解法2〔公式法〕：将 ，代入非齐次方程的通解公式得例1解方119解由前面分析得微分方程例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。对应的齐次方程的通解公式为将常数变为函数，得解由前面分析得微分方程例2【曲线方程】求前面例如问题120将y,y’代入原方程并化简，得例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。于是积分得将y,y’代入原方程并化简，得例2【曲线方程】求前面例121所以方程的通解为例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程。把初始条件

代入通解中，得故所求曲线方程为所以方程的通解为例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方122根据牛顿第二定律

，得微分方程解设降落速度为v=v(t)，降落时飞行员所受重力mg的方向与v(t)的方向一致，所受阻力 与v(t)的方向相反〔k为比例系数且大于0〕，从而在降落过程中飞行员所受的合力为例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系．即根据牛顿第二定律 ，得微分方程解设降落速度为v=v(123于是所求函数为将初始条件

代入得例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系．可以看出，当t充分大时，

越来越小，速度v(t)逐渐接近于匀速

，故飞行员跳伞速度不会无限增大，飞行员就会完好无损地降落到地面。于是所求函数为将初始条件 代入得例3【飞行员跳伞问题】124第四节

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多，特别是在电学、力学中遇到的时机更多。下面看一个实际问题。第四节

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程125引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作用力与质点到中心点的距离成正比（比例系数为4）；外界阻力与运动速度成正比（比例系数为3）．运动开始时，质点距中心点1厘米，速度为0．求质点的运动规律．分析设s表示路程，t表示时间，则

为速度，

为加速度。根据题意：因此引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作126由牛顿第二定律

得，即这个微分方程是二阶的，系数都是常数，且的幂次都是一次的。像这种类型的微分方程，就是我们本节将要学习的二阶常系数线性齐次微分方程。由牛顿第二定律 得，127一般地，形如的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中都是常数。一般地，形如128方程

的解有如下结论：若y1，y2是方程的两个特解，则（1）y1，y2的线性组合

也是方程的解，其中

是任意常数；（2）若

，则

是方程的通解。上述结论称为解的结构定理。方程 的解有如下结论：129由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成比例的两个特解y1，y2。根据方程的特点，可以看出方程中的y,y′,y″应具有相同的形式，而指数函数正是具有这