2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案

2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案PAGE92007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2007年9月16日上午8：00-10：30)一、选择题(共6小题，每小题6分，满分36分，以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得零分)1．一个直角三角形的两条直角边长为满足不等式，则这个直角三角形的斜边长为()A．5B．C．6D．答案：B解：原不等式化为，而，所以．于是，斜边长为．2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有()个．A．336B．360C．432D．答案：C解：在1，2，3，4，5，6中插入7，有6种放法，然后插入8和9，分别有8种和9种放法，所以，共有个满足性质的九位数．3．一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为()．A．B．C．D．2答案：B解：该三角形不是直角三角形．不妨设．则，又，所以．非直角三角形中，有恒等式，即、是方程的一组正整数解．所以=2，=3．易解得最长边为(另外一条边长为)．4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为()．A．18B．36C．72D．14答案：D解：设正三棱锥P－ABC的底面边长为，高为，为三角形的中心，为侧面的重心，GH垂直底面ABC，垂足为H．ABCDABCDPHOGah第4题答题图由得，故，由平均不等式得，所以，，于是．当时等号成立．故体积的最大值为144．5．对每一个正整数，设，则等于（）A．－1025B．－1225C．－1500D．－2525答案：B解：＝＝＝＝．6．集合的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是（）A．80B．84C．100D．168答案：B解：显然中间数只能是3，4，5．以3为中间数的子集有个，以4为中间数的子集有个，以5为中间数的子集有个．所以，这些中间数的和为．另解：对某个子集，用8－表示中每个元素被8减所得的集合，这个集合也是一个满足要求的5元子集．这是一个1－1对应．且这两个集合中中间数之和为8，平均为4．故所有的中间数的和为．二．填空题（共6小题，每小题6分，满分36分．请直接将答案写在题中的横线上）7．函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是．答案：1＜＜4解：依题意知，时，＜2恒成立．所以时，－2＜＜2恒成立，即＜＜恒成立．由于时，＝的最大值为3，最小值为2，因此，3－2＜＜2＋2，即1＜＜4．8．在直角坐标平面上，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B、D的坐标分别为．（A、B、C、D依逆时针顺序排列）答案：（9，25）、（6，16）解：设线段AC的中点为M，则点M的坐标为，利用复数知识不难得到顶点B和D的坐标分别为（9，25）、（6，16）．（或者利用向量知识）9．已知、分别是椭圆（0＜＜3）的左、右焦点．若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段的垂直平分线过点，则的取值范围是．答案：解：线段的垂直平分线过点，等价于．设椭圆的右准线交轴于点，则在椭圆的右准线上存在一点P，使得，等价于．所以，．因此故的取值范围是．10．方程的正整数解有组．答案：4解：由题设可知，．两边模3，知，所以，＝1，4，7，10，对应的分别为301，201，101，1．故满足方程的正整数解有4组．11．设，则不等式＜的解集为．答案：解：原不等式即为＜．因为的定义域为（－1,1），且为减函数．所以．解得12．设函数，如果方程恰有两个不同的实数根，满足，则实数a的取值范围是．答案：解：因为当a＞3时，无解；当a＝3时，只有一个解．当时，直线与和有两个交点，故此时有两个不同的解；当a＜时，直线与和有两个交点，故此时有两个不同的解．对于上述两种情形，分别求出它们的解，然后解不等式，可得实数a的取值范围是．三、解答题：（共4小题，每小题20分，满分80分．要求写出解题过程）13．已知，，若对任意恒有，试求的最大值．解：因为，＝所以．又，所以．当时，上述各式的等号成立，所以的最大值为．14．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过且与垂直的直线交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．（1）求的取值范围；（2）设点P是直线、的交点为，求证：＞；（3）求四边形ABCD面积的最小值．解：（1）由条件知，、的方程分别为、．由，得．由于交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，所以＜0，解得＜3．由，得．由于交双曲线的左、右两支分别于D、B两点，所以＜0，解得＞．因此，＜＜3，的取值范围是．（2）由条件知，，点P在以为直径的圆上．所以．因此＞＝．（3）由（1）知，．．∴四边形ABCD的面积．由于＝．当且仅当，即时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为18．ACBOIHPQA1B1第15题图15．如图，在锐角三角形ABC中，，是两条角平分线，I，O，H分别是的内心，外心，垂心，连接HO，分别交AC，BC于点ACBOIHPQA1B1第15题图（1）求证：；（2）求证：．证明：（1）因为C，，I，四点共圆，所以ACBOACBOIHPQA1B1第15题答题图所以，．（2）因为，，所以，四点共圆，于是，又，所以，于是，同理可得故，16．已知两个整数数列和满足（1）对任意非负整数，有；（2）对任意非负整数有证明：数列中最多只有6个不同的数．证明：首先，一个整数若是4的倍数，则它一定能表示成，其中是非负整数．事实上，由便得．若（＞）的奇