第二章测评-人教B版高中数学选择性必修第一册练习【含答案】

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知直线/过点(2,-)且在y轴上的截距为3,则直线I的方程为( )A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0 D.x-2_v+6=0.已知点P(-2,4)在抛物线炉=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)TOC\o"1-5"\h\z.已知直线/i：xcos2a+J%+2=0,若AJJ*则6倾斜角的取值范围是( )rzr57taI疆 bMrzr57tcl；』.设抛物线产=4x的焦点为尸,准线为/,则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程为( )A.(x-l)2+j^=4 B.(x-1)2+^2=16C.(x-2)2+俨=16 D.(x+2)2+y2=4.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行，它在行进过程中到经过点4-10,0)与仇0,10)的直线的最近距离为( )A.8也8 B.8a/2+8C.8艰 D.12#4.设尸是双曲线a?后=1(40力＞o)上的点尸I、&是焦点，双曲线的离心率是3,且/8尸产2=90°,△F\PFz的面积是7,则a+b等于( )

A.3+4B.9+4C.10D.16A.3+4B.9+4C.10D.16.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）.平面直角坐标系中，设4（-0.98,0.56）,8（1.02,2.56）,点M在单位圆上，则使得△M48为直角三角形的点M的个数是（）A.l B.2 C.3 D.4二'多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分..己知圆。|状2+/=~圆。2：。・〃）2+。/）2=/位＞0）交于不同的J1）,8（X2㈤两点，下列结论正确的有（）A.a(xi・X2)+b&]f)=02oyi+2加=。2+枚C.X]+X2=4D.yi+j2=2b10.若尸是圆C:(x+3)2+(y-3)2=l上任一点，则点P到直线y=Ax-l距离的值可以为()A.4 B.6 C.3#+1 D.811.在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点义-2,0)和点8(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆/+炉=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>212.已知尸是椭圆E:不了=1上一点，尸1,&为其左右焦点，且尸2的面积为3,则下列说法正确的是 ()A.P点纵坐标为3C.AFiPF2的周长为4(V2+i)[2□ 的内切圆半径为23-1)三'填空题:本题共4小题,每小题5分洪20分..经过点尸(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是..已知直线/:mx+(l-My-l=0(meR)与圆O:x2+y2=8交于两点,C,Q分别为OA^4B的中点，则|4用-|8|的最小值为.

.如图，过抛物线产=4x的焦点厂作直线,与抛物线及其准线分别交于48,C三点，若元=3而,则直线AB的方程为,|J5|=..已知点0(0,0)4(4,0),8(0,4).若从点尸(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点0(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点”(矶0),胆6(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M则光线所经过的路程是(结果用m表示).四'解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤..(10分)已知三个顶点的坐标分别为4(2,4)网0,-5)。(10,0),线段＞^的垂直平分线为/.(1)求直线/的方程;(2)点P在直线I上运动，当|ZP|+|BP|最小时，求此时点P的坐标.18.(12分)已知直线/:ox-y-3a+l=0恒过定点尸，过点P引圆C:(x-l)2+y=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线48的一般式方程；(2)求四边形PNC8的外接圆的标准方程.♦y219.(12分)已知&分别是双曲线Ed必=lS>0力>0)的左、右焦点/是双曲线上一点尸2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当NQP&=60°时,的面积为48火,求此双曲线的方程.20.(12分)已知抛物线炉=2px(p>0)的焦点为尸〃点在抛物线上，且4的横坐标为4,必尸|=5.(1)求抛物线的方程；(2)设I为过(4,0)点的任意一条直线，若I交抛物线于B,C两点，求证:以8c为直径的圆必过坐标原点21.(12分)在平面直角坐标系X0P中有曲线ry;2+y2=l(y>0).⑴如图1,点8为曲线厂上的动点，点4(2,0),求线段48的中点的轨迹方程；(2)如图1,点8为曲线厂上的动点，点4(2,0),求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标;(3)如图2,点8为曲线厂上的动点，点42,0),将△048绕点A顺时针旋转90°得到△ZMC,求线段OC长度的最大值.22.M（12分）如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的。②③三个区域面积彼此相等.（已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆（1）求椭圆的离心率的值；（2）已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.第二章测评（时间:120分钟满分:150分）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线/过点（2,-1）,且在y轴上的截距为3,则直线/的方程为（ ）

A.2x+y+3=0 B.2x+y・3=0C.x-2y-4=0 D.x・2y+6=0庭明由题意直线过(2,-D,(0,3),3+1故直线的斜率左=百5=・2,故直线的方程为y=-2x+3,即2r+y-3=0.莪B.己知点P(・2,4)在抛物线产=210>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)丽因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上，P所以工=・2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).馥C.已知直线/i：XCOs2q+J^x+2=0,若则，2倾斜角的取值范围是( )D13,6.cos2a6F Qj触折|因为/i：xcos2a+Wy+2=0的斜率ki=-FI3，J,当cosa=0时序“i=0时,％不存在，此时倾斜，此时倾斜角的取值范围为［rz).，此时倾斜角的取值范围为［rz).角为由瓦和时，可知直线12的斜率k=*i一.综上可得b倾斜角的取值范围为卜吆〕.答案C.设抛物线y=4x的焦点为尸,准线为/,则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程为()

A.(x-l)2+y=4B.(x-1)A.(x-l)2+y=4B.(x-1)2+/=16C.(x-2)2+炉=16 D.(x+2)2+炉=4|解析［根据题意,抛物线1y2=4x,其焦点在x轴正半轴上，且p=2,则其焦点尸(1,0),准线方程为x=-l,以尸为圆心，且与/相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1>+炉=4.翦A.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行，它在行进过程中到经过点4-10,0)与8(0,10)的直线的最近距离为()A.8a/2-8 B.8#+8C.8>/2 D.12>/2腰画机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变,.：机器人的运行扰迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示；：2(-10,0)与5(0,10),三+工.：直线18的方程为-1。 1。=1,即为x-y+10=0,|3+3+10|则圆心C到直线AB的距离为d=Ji+1=8#>8」：最近距离为8#-8.答案A.设尸是双曲线a?后=1(40力>0)上的点尸1、&是焦点，双曲线的离心率是3,且/8尸产2=90°,△FiPF2的面积是7,则a+b等于(C.10D.16A.3+/ B.9+。

C.10D.16解析I解析I由题意，不妨设点P是右支上的一点尸尸，则/ 1 *7-mn=7,m-n=2a,

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m+n=4c,c__4,a=3)."=&2-层=j..；a+b=3+*.答案|a.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为人跨径为则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()解机根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如右图所示的平面直角坐标系，该抛物线方程可写为x2=-2py(p>0).:•该抛物线经过点G 代入抛物线方程可得彳=2仞，解得P=疏.：桥形对应的抛物线的焦点到q2准线的距离即为P=砺.答案A.平面直角坐标系中，设力(・0.98,0.56)/(1.02,2.56),点“在单位圆上,则使得^朋>18为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4A.1B.2C.3D.4|解析|根据题意，如图，若△M48为直角三角形，分3种情况讨论：①NMAB=90"，则点M在过点4与AB垂直的直线上，设该直线为2.56-0.56又由4-0.98,0.56),8(1.02,2.56),则^s=1.02-(-0.98)=i)k,则直线/,的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,|0.42|_21yli此时原点。到直线/1的距离丽<1,直线人与单位圆相交，有2个公共点，即有2个符合题意的点"；②NM8/=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上，设该直线为以同理可得，直线h的方程为y-2.56=-(x-L02),即x+y-3.58=0,|3.58|_179。此时原点。到直线，2的距离d=^~=100>1,直线，2与单位圆相离，没有公共点，即没有符合题意的点M；③N4VfB=90°,此时点〃在以48为直径的圆上，又由4-0.98,0.56),8(1.02,2.56),设48的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),[4/="内彳4=2的,则1以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=2|J5|=A此时|OC|=7(。.。2)2+(1.569=(2.4340,则有两圆相交，有2个公共点，即有2个符合题意的点M综合可得，共有4个符合条件的点M.莓D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分..已知圆。3+y=户,圆(72：(》・。)2+什・6)2=/0>0)交于不同的4(%0),8(切而两点，下列结论正确的有( )A.a(xrX2)+b(yry2)=0B.2ax]+26乃=。2+〃C.X]+X2=〃D.y]+j2=26|解析|两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2・2or・2by=0,即2ax+2如=02+",故B正确；分别把4(修加),8a2咫)两点代入2ax^-2by=a2+b2得20rl+2勿1=/+62,2ax2+2"2=/+6，两式相减得2。8-工2)+26&1-»2)=0,即《(芍-必)+6(力少2)=0,故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段CXC2互相平分，・：xi+x2=aji+«y2=b,故C正确,D错误.客剽ABC.若尸是圆C:(x+3)2+(y-3)2=l上任一点，则点P到直线尸H-1距离的值可以为()A.4 B.6 C.3#+1 D.8解前直线。=如-1恒过定点4(0,-1)点，当直线与AC垂直时，点P到直线y=Ax-l距离最大，等于4C+r,圆心坐标为(-3,3),所以为J(-3/+(3+1产+1=6,当直线与圆有交点时，点尸到直线的距离最小为0,所以点P到直线尸"1距离的范围为[0,6].|答案,BC.在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点N(-2,0)和点8(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+/=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2嬴I设P(xy),则电1+砧=2,即4+/1=2(*上2),整理存x2为=4(/上2),所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确,A错误；由X2-孙=4>2=x2+/,所以曲线C上所有的点都在圆N+y=2外，故B正确;由x2-xy=4可知xdR且存0*±2,故D错误.客照BC.已知P是椭圆+T=i上一点内方2为其左右焦点，且的面积为3,则下列说法正确的是A.P点纵坐标为3B.N尸1尸尸2>5C.△尸1尸&的周长为4(72+1)D.△居PF2的内切圆半径为式"-1)Hl 1 3 3设P点坐标为。支),5=2乂2。乂小|=2乂4、明=3,得》=2或》=-2,故A错误;椭圆中焦点三角形面积为S=/>2tan2(0为焦点三角形的顶角),S=4tan5=3,得tan2-4则24,nNQP&v5,故B错误；C△F】PF2=2a+2c=4(#+1),故C正确;1 。(泛设△尸1PB的内切圆半径为凡市(4/+4)=3,得尺=八*-1),故D正确.

答案CD答案三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分..经过点P(l,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是.丽根据题意，分2种情况讨论：①直线经过原点，则直线/的方程为y=4x;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(l,4)代入可得l-4=a,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得，直线的方程为y=4x或y=x+3.|答案卜=4x或y=x+3.已知直线/:mx+(l-m)y-l=0(mGR)与圆O:x2+j^=8交于A,B两点,C,D分别为OA^B的中点，则|48|•|CD|的最小值为.|解析|直线/的方程可化为m(x-y)+y-\=0,(x-y=0,由(y-1=0,得x=y=l,即直线/恒过定点尸(1,1),1_:,CQ分别为O/M8的中点,.：|C£>|=2|O8|M,当OP1AB时,最小，此时|48|=2yj(2yj2)2-(^/2)2=2依，.：\AB\\CD\=^\AB\x2m=4火.空］4、巧.如图，过抛物线户=4x的焦点厂作直线,与抛物线及其准线分别交于4,8,C三点，若正=3而,则直线AB的方程为,\AB\=|解析|抛物线的焦点坐标为尸(1,0),准线方程为x=-l,设C(-l,M,8(a,b),_1 1 142^3:・FC=3FB,,：(-2,⑼=3(。・1力)=(3a-3,36),则3。-3=-2,加=3"即 此时62=4乂3,得6=/^=-3,即加=・2邪，3―/0则C(・1,・2a/3),则力8的斜率％=2-Y,则直线方程为y=G(x-l),10代入f=4x,得3/-10工+3=0,得乃+、2=3,10 16即|48|=式1+》2+2=3+2=3..已知点0(0,0)X(4,0)以0,4).若从点尸(1,0)射出的光线经直线力8反射后过点。(-2,0),则反射光线所在直线的方程为港从点Mm,。)"4。，)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M则光线所经过的路程是(结果用m表示).廨树根据题意，设点尸|(。力)与点P(l,0)关于直线AB对称，则P,在反射光线所在直线上，又由4(4,0)乃(0,4),则支线AB的方程为x+y=4,’—=1,a-1°+1,fc-4律=4,则有I2 2'解得W=3,即尸］(4,3),反射光线所在直线的斜率％=4-(-2)2贝4其方程为y-0=2(x+2),^Px-2y+2=0;

设点M(ao,bo)与点M关于直线AB对称，点%与M关于y轴对称,易得a/2(-w,O);线段陷峪的长度就是光线所经过的路程,,3=4,b0,3=4,b0=4-m,m+a0b0则有+5=&解得则有则|M/=J(4+ +(4-Tn/=^2m2+32|答案［x-2y+2=0J2m2+32四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(10分)已知△48C三个顶点的坐标分别为4(2,4),8(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为/.(1)求直线/的方程;(2)点P在直线/上运动，当MP|+|8P|最小时，求此时点P的坐标.4-0 1网⑴直线zc的斜率为自0=二元=2所以直线/的斜率为4i=2,直线AC的中点为(6,2),所以直线/的方程为夕-2=2。-6),即2x^-10=0.(2)由(1)得点A关于直线/的对称点为点C,所以直线8c与直线/的交点即为|/P|+|8P|最小的点.±+_y_由8(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为1° -5=1,即x-2y-10=0,10X=T,fx-2y-10=0, _io联立方程［2x-y-10=0,解得一手/10 10X所以点尸的坐标为［三’-9)18.(12分)已知直线/皿3-3〃+1=0恒过定点尸，过点尸引圆。:(工・1)2+产=4的两条切线,设切点分别为AB(1)求直线AB的一般式方程；(2)求四边形4cB的外接圆的标准方程.圜⑴：•直线hy-l=a(x-3)..：直线/恒过定点P(3,l).由题意可知直线x=3是其中一条切线，且切点为71(3,0).由圆的性质可知ABLPC,1-0_1:%PC=3-15,•"力6=・2,所以直线48的方程为y=・2(/3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=J(3-+(1-0)2=v'5VPA±AC,PB±BC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为(2吆),所以四边形PACB的外/口2_5接圆为(+2)2+1'-引一4x2y219.(12分)已知尸2分别是双曲线EdM=l(a>0炉0)的左、右焦点,P是双曲线上一点抵到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，(1)求双曲线的渐近线方程；⑵当///尸2=60"时，△抨'总的面积为48e,求此双曲线的方程.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=O,|bc±0|则点出到渐近线距离为了”=6（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知c+a=2也4又因为。2+/>2=。2,解得b=?a,故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.（2）因为/尸|尸尸2=60°，由余弦定理得|PQ|2+|尸尸2口_2俨居|.|p&|cos60°=|尸北2匕\PF}|2+|PF2|2-|PFiI-|PF2|Me2.又由双曲线的定义得| \-\PF2\\=2a,平方得|尸/针+|尸产2|2-21PBI•|PB|=4。2,相减得1PB\\PF2\=4c2-4a2=4b2.19根据三角形的面积公式得5=可尸尸|卜|尸尸2卜亩60°=44b2=\/^b2=48木，得b2-48.9由（1）得a2=16/>2=27,x2y2故所求双曲线方程是万一通=1.20.（12分）已知抛物线产=2外。>0）的焦点为尸〃点在抛物线上，且Z的横坐标为4,0尸|=5.（1）求抛物线的方程；（2）设/为过（4,0）点的任意一条直线，若/交抛物线于B、C两点，求证:以BC为直径的圆必过坐标原点.（1£抛物线产2Pxs>0）的焦点为需准线为x=£由抛物线的定义可得,[4尸|=4+，5,解得p=2,即抛物线的方程为炉=4x.代入抛物线方程y2=4x,可得y1-Amy-16=0,判别式为1652+64>0恒成立，%+%=4m4必=-16,x\x2=44=16,即有》用+以及=0,则而■>■而，则以8c为直径的圆必过坐标原点.21.(12分)在平面直角坐标系xQy中有曲线ry;2+y2=l(y>0).(1)如图1,点8为曲线r上的动点，点/(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程；(2)如图1,点8为曲线厂上的动点，点4(2,0),求三角形048的面积最大值，并求出对应8点的坐标；(3)如图2,点8为曲线厂上的动点，点4(2,0),将△048绕点力顺时针旋转90°得到△可(7,求线段OC长度的最大值.解1)设点8的坐标为(沏皿),则则>0,设线段AB的中点、为点Mxy),由于点8在曲线「上，则①因为点