换元积分法与分部积分法

§2换元积分法与分部积分法教学目的：换元积分法与分部积分法．教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．一.第一类换元法——凑微法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2，使成为cos2xdx1

cosx2xdx

cos2xd2x令2xu则上述右端积分

cos2xd2x

cosudu sinuCxcos2xdx1sin2xC更一般的，若函数Fx是函数fx的一个原函数，x是可微函数，定积分的定义，有由于fuduFuCfuduux 133x4dx3x41d3x4，令u3x4有所述，可得如下结论【定理8.4】（第一换元积分法

）设fu是连续函数，F

是fu的一个原函数.又f 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分gxdx的被积表达式gxdx能够写成fuduFu 容易求得，那么再将ux代入F，便求出原不定积分分法为“凑微分法”.凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如

f(axb)dx

1a

f(axb)d(axb)

1a

f(u)du.【例１】利用dx

1daxba

a,bR,a0，求下列积分33x4dxuduaa2x2 a1uaaarctanuC如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换u

1334 14u3Cu3C再将u3x4代入，有

3

3x4dx1

C2

a2x2

a1()2a

1()2ad()a

a0令ux，有a

a2x2a1u2

a2x2

arcsinxCa3

a2x2

a2[(1()2)]a

a

d()a1()2a令uxa

du

再将ua

a2x2

aarctanxC就可以了22111x21dxdxdfxdxxln55 x7＝ C 15X27Cee1 12 11

1 xk1f(xk)dx f(xk)d(xk) f(u)du.特别地,有 1 1 f(x) f(x2)xdx f(x2)d(x2) f(u)du和 dx2f2 2

dx.

a1

ax1b

a,b,R,a0,1，求下列积分

71

5x2710

5x27 10

20

3

dx

dx

4 1x2

x0 【解】x2 1x2

1x2

11

1

d1

121122

C112

３】若被积函数

x,利用f

xx，有如下公式xdxx

dx

xa 1ex1ex11ex xxln 1 e列积分

dlnx

lnlnxC2tanxdx

sinxdx

dcosx

lncosxC3cotxdx

cosxdx

dsinx

lnsinxC以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分.【例４】将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

a2x2

111dx2aax ax dxa2a

dxa

2a

2

1exex

dx

1ex

1exex1ex

1ex

1ex1ex

1ex

1sin2xdx

1

dcotx2cot2x

x

cotx1 2

12

arctan

cotx 2【例５】对于【例５】对于sinxdx与cosxdxnN形式的积分，当n是偶数时，可利用三角恒等式sinsinx11cos2x 1 sinxdx12cos2xcos2xdx＝coscosxdxsinxdsinxsinxsinxC 1

f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinxf(u)du;f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosxf(u)du;f(tgx)sec2xdxf(tgx)dtgxf(u)du.n 2

cos2x11cos2x来降低三角函数的幂，当n是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分.

1cos4xdx sin4xC＝ 1342

2 【例６】对于sinxsinxdx,cosxsinxdx和cosxcosxdx形式的积分，可利用三角函积化和差公式1cosxcos2xdx1cos12xcos12xdx 1sin12 1

【例７】

2xsi 2 n2cos2

2tx2an

costax

cot 2tanx2cos22

lntx

lxncsxcCcot2secxdx

2

C＝lnsecxtanxC８】

arcsinxdx2

arcsinx1x

dx2arcsinx

dx＝2arcsinxdarcsinx

f(ex)exdxf(ex)dexf(u)du..【例9】

dt2et

f(lnx)dx

f(lnx)dlnxf(u)du.【例】

ddx21xdx1sin2tdsint

dxf(arcsinx)darcsinxf(u)du;f(arctgx)dxf(arctgx)darctgxf(u)du.【例】

arctgx

dx2

arctgx

tx

arctgt

dt2arctgtdarctgt(arctgt)2c(arctgx)2c.其他凑法举例【例】

exexexex

d(exex)exex

ln(exex)c.【例】

lnx1(xlnx)2

dx(xlnx)2

【例】

secxdx

secx(secxtgx)dx

sec2xsecxtgx

d(secxtgx)ln|secxtgx|c.【例】

【例】

cosx5sinxdx.sinxcosx【例】

dx1

dx 12x2

【例】

x5x22x2

[1]P188—1891⑴—(24)；例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换.因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用.二.第二类换元法——拆微法：从积分cos2tdt出发，从两个方向用凑微法计算，即xsint t=cos2tdt=

12

1 (1cos2t)dt tsin2tc,2 引出拆微原理 ，则式（2）右端的不定积分fu

第二换元积分法可以确切的叙述如下【定理8.5】（第二换元积分法）设fx是连续函数，x是连续可微函数，且x定号，复合运算ft有意义.设F是ftt的一个原函数，即

fxdx

Ft1x=1

3其中1 【证明】有定理假设x定号，，故函数t存在反函数dFtftt

u，又

d

F

dFtdt dt

1x

ftt

1t

t1xf

22taaxdx=acost.acostdtacostdt3x容易求出，那么再代回原来的变量t1x，便求出原不定积分

dxF

1由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换xt，从而使式（4）的不定积分容易求出.那么如何选择变换xt呢？这往往与被积函数的形式有关.例如，若被积分容易求出常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1.三角代换:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如a2x2(a0)的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令xasint,(a0),则a2x2acost,【例19】计算a2x2dx

dxacostdt,a0

tarcsin

x.a【解】令xasint,

,则tarcsin,axa，且aa2x2acostacost,dxacostdt,从而

a2

a2 1 tsin2tC2 2

a2

t

a2

sinta

cost

a2x2a所以

a2x2dx=

a2 a2 xa2x2arcsin a 2a a

C=a2 a

a2x2C（2）正割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如x2a2 (a0)的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式sec2t1tg2t, 令xasect,有x2a2atgt,dxxsecttgtdt.变量还愿时,常用辅助三角形法.【例20】计算x2a2

a0 2t时，xasetc存在反函数tarcsinx.这里仅讨论0t2的情况，同法可讨论2t的情况.由于0t

，x2a2atantatant,dxatantsectdt，从而a2x2

atantsectdtsectdtlnsecttantCsecta

tant

x2a2a

a2x2

a

x2a2a

Clnxx2a2C这里CClna（3）正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如a2x2(a0)的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式sec2ttg2t1,即1tg2tsec2t,令xatgt,

dxasec2tdt.此时有

a2x2asect,

tarctgxa.

变量还原时,

谓辅助三角形法【例】计算

a2x2

（a0）x2a2asectasect,【解】令xatant, 2t2,则xatant存在反函数.且x2a2asectasect,dxasec2tdt，从而a2x2

=

asec1tasect2dtsectdtlnsecttantCct=

x2a2a

tantxaa2x2

=ln

x2a2a

xClnxx2a2a

这里CClna.总结例2.192.21，有如下规律：（1）若被积函数含有a2x2，一般令xasint或xacost（2）若被积函数含有x2a2，一般令xasect或xacsct作代换作代换txx,有xtn11t6(1t)dt66 若被积函数中只有一种根式若被积函数中只有一种根式naxb或cxcxe,可试作代换taxaxb或22xx1 1 2(t21)t2tdt (t4t2)dtt5 3c155t31（3）若被积函数含有x2a2，一般令xatant或xacott2.:若被积函数是n1x,n2x,,nkx的有理式时,设n为ni(1ik)的最小公倍数,n ,dxntn1dt.可化被积函数为t的有理函数.x12xdx【解】为了去掉被积函数的根式，令t12x，即作变量代换x1

t21,t0则dxtdt，从而x12xdx=1

t21ttdt1

t3

1

C【例】

x3x2

t6x

dt

x

xln16xc.axbn tn.

axbcxe.从中解出x来.【例】

x3 x21dx13(x21)2c.本题还可用割换计算但较繁.3.双曲代换:利用双曲函数恒等式ch2xsh2x1,令xasht,可去掉型如a2x2的根式.dxachtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如:2a2x2dx2 ux 1 (1t)2c 12ch2t1(ch2t1),sh2t1(ch2t1),sh2t2shtcht.sh12

xln(xx21).:参阅复旦大学(陈传璋等)编,数学分析,上册P24. asht achtachtdta2ch2tdta2

(ch2t1)dt 4sh2t2tcxa2x2a2ln(xa2

x2)c.本题可用切换计算,但归结为积分sec3tdt,该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.【例】

(可用切换计算过该题.现用曲换计算).

2cht2cht

dtdttclnx

ln(xx22)c. ccln2.【例】

.(曾用割换计算过该题.现用曲换计算).

ashtdtdttclnxa

x2a2

1cln|xx2a2|c. ccln|a|.4.倒代换:当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用

dx1

dt.【例】

xx4x2

uu2u

u1t01dt t2t

c

|x|

5.万能代换:万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261).令ttgx2，

sinx2sinx 2cos2sec2

22sec2d(x 2)tgx 2c.

2dt

x2arctgt.【例】1cosx.解法一(用万能代换)

dtdttc

tg2c.解法二(用初等化简)

I1

cos2

解法三(用初等化简,并凑微)

ctgx【例30】

sin1xccscxctgxctg2xc.d1sincos.

1t21t2

dtdtt1ln|t1|c=ln|tgx21|c.代换法是一种很灵活的方法Ex[1]P1891(25)(27)(28)—(30);分法设u(x)与v(x)均为x的连续可微函数.于是，由函数乘积的求导公式，有[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)或u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)不定积分的定义及线性性质，有u(x)v(x)dx{[u(x)v(x)]u(x)v(x)}dx[u(x)v(x)]dxu(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx

5或u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式.一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分u(x)v(x)dx转变成容易求的不定积分u(x)v(x)dx，起到化繁为简的作用.对于给定的不定积分f(x)dx作分部积分运算，通常要把被积函数f(x)分解为两个因子的乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作u(x)也会有多种选择.选择不同，效果不一样的.例如，在积分xsinxdx中，若选择u(x)sinx，v(x)x，则2

并没有达到简化积分计算的目的.若选择u(x)x，v(x)sinx，则由此可见，u(x)与vx的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部积分技巧一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数xn与指数函数或三角函数的乘积时，应选择u(x)xn；若被积函数是幂函数xn与对数函数或反三角函数的乘积时，应选择v(x)xn.⑴⑴xedxxxdexeee2xdxxdxxdxxe2(xeedx) dxdxxarcsinx1d 21x2 1.幂X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂X”型的积分,使用分部积分法可使“幂”降次,或对“X”求导以使其成为代数函数.【例31】计算下列不定积分2x 2 2x x2ex 2x ex(x22x2)C

xcos2xdx

4x2⑶lnx

1

1xlnxx2

1⑷arcsinxdxxarcsinxxdarcsinx

1x2

1x22(1x2)2Cxarcsinx1x2C⑸(16x2)arctanxdxarctanxd(x2x3)x2x3arctanxx2x31x2

esinbxdx, ecosbx I2,

x2x3arctanxx212建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是:对被积函数两因子之一求导,进行分部积分若干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来.【例32】exsinxdx.【例33】求I1

2

ax

(a0).I1 a a1 sinbxbaeax aI1.

a2b2a2b2

eaxc,eaxc.【例34】 a2x2dx, (a0).

Ixa2x2xa2x2

xa2x2a2x2a2x2

dx

a2a2x2

xa2x2Ia2ln(xa2x2)c1,

Ixa2x2a2ln(xa2

x2)c.【例35】cos2xdxcosxdsinxcosxsinxsin2xdx=cosxsinxxcos2xdx，=secxtgx(sec2x1)secxdxsecxtgxsec3xdxsecxdx=secxtgxln|secxtgx|sec3xdx,

sec3xdx1 2secxtgx2ln|secxtgx|c.⑴⑴设设IIIxx2a2dxxx2a2xxxasinsinxdx和coscosxdx【解】【解】esinxdx=sinxdeecosxesindxdxxxaxaxxaIaxx2a2dx=lnxxaCee= ==esinx 分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分【例37】计算下列不定积分x2a2dx.x2a2dx，则xdx2a2

x2a

2 2 2

a2x2a2 x2a2

x2a2

a2

lnxx2a2C这里CC

1

exsinxexcosxdx

exsinx2x

1 ex

exsinxdxsinsinxdx=coscosxdx= =（（nN，a0)xlnxnI xx2a2xx2a2，整理，有2222在含有自然数n的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式. lnx xdlnxxdxx=xlnxnIn1 n n1这就是递推公式.例如n3时有lnx3dxxlnx

3Ixlnx

2I n【解】设In

n

x2a2xx2a2 xx2a2 2na22a2 xx2a2 xx2a2xx2a2xx2a2xx2a2xx2a2

n

n1

a2

n1n

2nI

n

2na2I

n1

n1

2n1I

7）特别当n1时，有x2a2于是利用递推公式（2.7

1

I

1 2a2x2a21 2a2 x2a2+2a3a+C这里C=

C2a3分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳【例39】计算arcsinx1x2 1x2

【解】

arcsinx1x2 1x2

arcsinx

arcsinx 1x2

arcsinxdarcsinxsin2ucosucosudu

作变量代换xsinu=arcsinxudcotu arcsinx