新教材北师大版高中数学必修第一册-第一章预备知识-教学课件

2常用逻辑用语P1523不等式P2214一元二次函数与一元二次不等式P2881集合第一章预备知识2常用逻辑用语P1523不等式P2214一元二次函数与一1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念第2课时集合的表示1.2集合的基本关系1.3集合的基本运算第2课时全集与补集第1课时交集与并集1集合1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念第2课时集合的一、集合的概念一般地,我们把指定的某些对象的

称为集合.通常用大写英文字母A,B,C,…表示.

集合中的

叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.

名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.3.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.全体

每个对象一、集合的概念全体每个对象微思考是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.微思考提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉二、元素与集合的关系

点析1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立.2.符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.a∈Aa∉A二、元素与集合的关系点析a∈Aa∉A微练习已知集合A中的元素x满足x-1<,则下列各式正确的是(

)A.3∈A,且-3∉AB.3∈A,且-3∈AC.3∉A,且-3∉AD.3∉A,且-3∈A答案:D

微练习答案:D

三、集合中元素的三个特性

确定性

互异性无序性三、集合中元素的三个特性确定性互异性无序性点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一定相同,但不一定依次对应相等.点析微练习1已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是(

)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形微练习2已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是

.答案:D

解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.

a≠2解析:根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.微练习1答案:Da≠2解析:根据集合中元素的互异性可知

四、几种常用的数集及其记法

四、几种常用的数集及其记法点析常用数集之间的关系

实数集R点析常用数集之间的关系实数集R微练习用符号“∈”或“∉”填空:(1)1

N+;

(2)-3

N;

∈

∉∈

∉∈

∈

微练习∈∉∈∉∈∈探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的概念例1给出下列各组对象:①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥

的近似值的全体.其中能够组成集合的有(

)A.1个

B.2个 C.3个

D.4个分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.答案:B

解析:①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的概念答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟一般地,确认一组探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是(

)A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数答案:AC

解析:选项A,C中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(多选题)下列各探究一探究二探究三素养形成当堂检测元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是(

)①π∈R;②

∉Q;③0∈Z;④|-1|∉N*.A.1 B.2C.3 D.4(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值.③若1∉A,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测元素与集合的关系(2)我们探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析(1)首先判断给出的数探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)答案:C

解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟判断元素与集合的探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)下列关系正确的是(

)(1)

答案D探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)下列关系正探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合中元素的特性及其应用例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合中元素的特性及其应用探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-

,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟先根据集合中元素探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究(1)本例中集合A探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类整合思想、函数方程思想——由集合相等求参数典例已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.分析要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.解:根据题意,分两种情况进行讨论:当a=0时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故a≠0.∴c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素均为a,∴c≠1,∴此时无解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类整合思想、函数方程思想探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟①解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所以解题后需要进行检验和修正.②有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟①解决集合相等的问探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列给出的对象,能组成集合的是(

)A.很大的数B.无限接近零的数C.聪明的人D.方程x2=2的实数根答案:D

解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能组成集合;选项D中方程x2=2的实数根为x=-或x=,具有确定性,所以能组成集合.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列给出的对象,能组成探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.a∈A,且b∉A B.a∉A,且b∈AC.a∈A,且b∈A D.a∉A,且b∉A答案:B

探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.a∈A,且b∉A B.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是(

)A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.菱形答案:C

解析:因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知集合S中的元素a,探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.用符号“∈”或“∉”填空:(1)1

A,2

A,3

A(其中A表示由所有质数组成的集合);

∉∈

∈

∉∈

∈

解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1∉A,2∈A,3∈A.探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.用符号“∈”或“∉”填探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知集合M中含有3个元根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?根据集合的概念,我们知道:一、集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素

出来写在花括号“{

}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为

.

名师点析用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间必须用“,”隔开;(2)集合的元素必须是明确的;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)集合的元素不能重复;(5)集合的元素可以表示任何事物;(6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.一一列举

第2课时集合的表示一、集合的表示方法一一列举第2课时集合的表示2.描述法描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.2.描述法名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.2.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合

.3.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D=可以表示为D=.4.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如

中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.5.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x微练习用列举法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解组成的集合;(2)不大于100的自然数组成的集合.答案:

(1){-3,3}.(2){0,1,2,3,…,100}.微练习答案:(1){-3,3}.微思考下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?提示:它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.微思考提示:它们是互不相同的集合.微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.(

)(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(

)(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.(

)(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.(

)提示:

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√微判断提示:(1)×(2)×(3)√(4)√

二、集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有

的集合叫作有限集,含有

的集合叫作无限集.

2.把不含有任何元素的集合叫作

,记作

.

名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.有限个元素

无限个元素空集⌀二、集合的分类有限个元素无限个元素空集⌀微思考空集是有限集还是无限集?提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.微思考提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集三、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且

,我们作出规定:

这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称为

,(a,b)称为

,[a,b),(a,b]称为

.在数轴上表示区间时,用实心点表示

区间的端点,用空心点表示

区间的端点.

a<b半开半闭区间

半开半闭区间

闭区间

开区间

半开半闭区间

属于

不属于

三、区间及其表示这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“

”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为如下情况.

无穷大

2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“名师点析1.区间左端点的值小于右端点的值.2.有完整的区间外围记号.3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.名师点析1.区间左端点的值小于右端点的值.微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:微练习解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用列举法表示集合解:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.使用列探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1用列举法表探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-2<3的解组成的集合.分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合解:(1){(x,y)|y=-x}.(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用描述法表示集合分析探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.用描述探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2用描述法表探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测学生乙:问题转化为求探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:代表元素是点,所探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合表示方法的选择与转换例4用适当的方法表示下列集合:(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合表示方法的选择与探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)设集合的代表元探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟表示集合时探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.解:(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3用另一种方探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知集合中元素个数求参数范围例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知集合中元素个数求探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.解答与探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究1例5中,若探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即解得k>1.综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究2例5中,若探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第三次数学危机数学史上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第三次数学危机探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测罗素悖论使整个数学大探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.已知集合A=,则下列关系式不成立的是(

)A.0∈A B.1.5∉A

C.-1∉A D.6∈A

答案:D

解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.已知集合A=探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是(

)A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案:B

解析:N+为正整数集,所以集合{x∈N+|x<5}表示小于5的正整数组成的集合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.集合{x∈N+|探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.集合{-1,1}用描述法可以表示为

.

4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为

.

答案:答案不唯一,如{x||x|=1}答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.集合{-1,1}探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.(2)集合用描述法表示为{x|1<x<5,x∈Z};用列举法表示为{2,3,4}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.分别用描述法和列一、子集1.Venn图为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.1.2集合的基本关系一、子集1.2集合的基本关系2.子集

任何一个

A⊆B(或B⊇A)空集

A⊆C2.子集任何一个A⊆B(或B⊇A)空集A⊆C微思考在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?提示:不能.若A⊆B,则A有以下三种情况:①A=⌀;②A=B;③A是由B中的部分元素组成的集合.微思考提示:不能.若A⊆B,则A有以下三种情况:微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(

)A.P∈QB.P⊆QC.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A,则实数m=

.

解析:由B⊆A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.答案:(1)

C(2)1微练习解析:由B⊆A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,二、集合相等

名师点析1.因为A⊆B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B⊆A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.2.证明或判断两个集合相等,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可.A=B二、集合相等名师点析1.因为A⊆B,所以集合A的元素都是集微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为

.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.答案:

0微练习解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.答三、真子集

A⊆BA≠B

A⫋C三、真子集A⊆BA≠BA⫋C名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆B;②存在元素x,满足x∈B且x∉A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆微练习若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},则集合P与集合Q的关系是(

)A.P⫋QB.Q⫋PC.P=QD.不确定答案:B

解析:x<0⇒x<1,反之不成立.所以Q⫋P.微练习答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测写出给定集合的子集例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测写出给定集合的子集由探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分析(1)利用子集的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)由此猜想:含探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.分类讨探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5答案:B

解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1若{1,2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合之间关系的判断例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(

)A.A⫋B B.A=B

C.B⫋A D.A⊆B反思感悟

判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.答案:A

解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合之间关系的判断答探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究例2中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?答案:集合A与B之间不具有包含关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究例2中将集合探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A⫋B

反思感悟

将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A⫋B反思感悟探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.A=B⊆C B.A⊆B=CC.A⊆B⊆C D.B⊆C⊆A答案:B

∵a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数;所以A⊆B=C.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.A=B⊆C B.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合相等关系的应用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合相等关系的应用探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟集合相等则探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由集合间的关系求参数的范围例5已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.分析(1)由a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其是否存在包含关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由集合间的关系求参数探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)由已知B⊆A.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然B⊆A.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B⊆A,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)若a=-1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起重视.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟由集合间的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且B⊆A,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究(1)例5(探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)不存在.因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.(2)①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B⊆A,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)不存在.因探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A⊆B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论;②因为集合中的元素是无序的,由A⊆B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论思想与数形结探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测特别提醒

此类问题易错点有三个:(1)忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;②所求参数能否取到端点值需要单独验证.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测特别提醒此类问题易探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测典例已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助数轴,求出a的取值范围.解:∵B={x|-1<x<1},①当a=0时,A=⌀,显然A⊆B.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测典例已知集合A={x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.集合{x,y}的子集个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案:D

解析:(方法一)集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4个.(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.集合{x,y}的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是(

)答案:B

解析:由N={-1,0},知N⫋M,故选B.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列正确表示集合探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C

D.(填“⫋”“⫌”或“=”)4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x=

,y=

.

解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C⫋D.解析:∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.答案:⫋答案:3

2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知集合C={x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知集合P={x|-2<x<3},Q={x|x-a≥0}.若P⊆Q,求实数a的取值范围.解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},由P⊆Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是a≤-2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知集合P={x一、交集

名师点析求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.所有

{x|x∈A,且x∈B}1.3集合的基本运算一、交集名师点析求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集微练习(1)已知集合A={1,3,5,6,7},B={2,4,5,6,8},则A∩B=

.

(2)(2019全国Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=(

)A.(-1,+∞)

B.(-∞,2)C.(-1,2) D.⌀(3)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|-2≤x≤2},那么A∩B=(

)A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3}D.{x|-2≤x≤2}答案:(1){5,6}

(2)C

(3)B微练习(3)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|二、并集

所有

或

或

二、并集所有或或名师点析1.并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用右图形象地表示.2.求A∪B时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}.名师点析1.并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种微练习(1)设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=(

)A.{1,3,1,2,4,5}B.{1}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}(2)已知集合A={x|x>-2},B={x|x≥1},则A∪B=(

)A.{x|x>-2}B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≤-2}

D.{x|x≥1}(3)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则实数m=

.

答案:

(1)C

(2)A

(3)2微练习答案:(1)C(2)A(3)2探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的交集与并集运算例1(1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=(

)A.{1} B.{1,3}

C.{-1,1,3} D.{-1,1}(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=(

)A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1} D.R分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.解析:(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.(2)在数轴上表示出集合A,B,则则A∪B=R.答案:(1)C

(2)D

探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的交集与并集运算解析:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=(

)A.{2,3} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{1,2,3,4,5}(2)设集合A={x∈N+|x≤2},B={2,6},则A∪B=(

)A.{2} B.{2,6}C.{1,2,6} D.{0,1,2,6}答案:(1)D

(2)C探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知集合A探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(

)A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}(2)设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=(

)A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3] D.[2,3](3)(2019天津)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(

)A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}答案:(1)C

(2)A

(3)D

探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2(1)已知集合A={1探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)直接由交集定义可得A∩B={3,5};(2)在数轴上表示集合M,N,如图:∴M∩N={x|1≤x<2}.(3)A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)直接由交集定义探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

求两个集合交集、并集的方法技巧当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求两个集合交集、探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=(

)A.{0} B.{-1,0}C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}答案:B

解析:N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3<x<1},则M∩N={-1,0}.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2若集合M={x∈探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知集合的交集、并集求参数例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为

.

分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得实数a的值为5或-3.答案:

5或-3探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知集合的交集、并集求参数探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知两个有限集运探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究例3中,将“9∈A探究一探究二探究三素养形成当堂检测例4集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.分析利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件，利用数形结合的方法列出关于参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例4集合A={x|-1<x探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,在数轴上表示出集合A,B,如图①所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴a的取值范围为a≤-1.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},在数轴上表示出集合A,B,如图②所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为-1<a≤1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)A={x|-1<探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

已知集合运算求参数的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的