安徽大学07-08-1B《量子力学》试题及答案

20072007下学期《量子力学》B卷4页第22页2007—20081学期卷） （120分钟）--题得题得号分一二三四总分阅卷人得分-一、简答题（得分--线-1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。号 --学 订-订 ---装超订-勿业 --专 -

2.一质量为 的粒子在一维无限深方势阱V(x)中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

,

0x2ax0, x2a-- 3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。装系-- 4.电子自旋假设的两个要点。系--/-/院-院得分二、填空题得分5.用球坐标表示，粒子波函数表为r,,，则粒子在立体角d中被测到的几率为。6.（L2,

）的共同本征函数是 ，相应的本征值分别得分zr r,得分zr r,/ 是 和 。 7.,p

， L,L x z

y,L ，z,y x

，L,py z

。,sz

(r,/2))

，则r,/

(r,/2)2 表示 ，d3r

2表示 。三、证明题（每小题10分，共20分）ip 2 d

Hp22m

V(x)，证明：d①x,H m

mdx；

②p,Hi V(x。dx 在直角坐标系中，证明：[L,p20Lp 四、计算题（共40分）设粒子处于一维无限Vx

0,

得得分0xax0 或xa中，求处于定态

x中的粒子位置x的平均值。（10分）n一质量为m的粒子在一维势箱0xa中运动，其量子态为321 x x3(x) sin sin a2 a 2 a ①该量子态是否为能量算符H的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？（15分）0a2a一维无限深势阱(0x0a2aH

x/a, xa/xa), a/xa的作用，求基态能量的一级修正。（15分）PAGE2008学年第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准一、简答题束缚态、非束缚态及相应能级的特点。答：束缚态：粒子在一定范围内运动，r时，0。能级分立。非束缚态：粒子的运动范围没有限制，r时，不趋于0。能级连续分布。一质量为 的粒子在一维无限深方势阱V(x)中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

0, 0x2a, x0, x2a解： n

(x)

1asin 1a2a0,

0x2a,x0,x2an,E n,

n1,2,3,写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

)A2x2/2n n

xA 。2nn!En1, n 2

n0,1,2,电子自旋假设的两个要点。电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2；（2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即自旋回转磁比值 g

e2取e 为单位，内禀磁矩自旋s 内禀磁矩自旋

2mc 轨道回转磁比值 gl

e轨道磁矩轨道角动量2mc轨道磁矩轨道角动量

1。二、填充题r,,，则粒子在立体角d中被测到2的几率为Pdr,,2rdr20（L2,L）的共同本征函数是球谐函Y ，相应的本征值分别是L2Ylm7.

z(,)l(l1)2Ylm

lmLY(zlm

(,)。lmz,p iz , y x

,L iL L,pi y z

y,Lixzr,srz

(r,/2))(r,/2) r,/

2表示电子自旋向上（s

2、位置在r处的几率密度；d3r

r,/2

2表示电子自旋向下（sz

2）的几率。三、证明题

Hp22m

V(x)，证明：ip 2 d dx,H

mmdx，p,Hi V(x)。dx dx ipd证： x,

mx,p m ip m

，mdxp,Hp,V(x)

dV(x)。dx [Lp20Lp为动量算符。证：

,p2][L,p2p2p2][L,p2][L,p2]x x x y z x y x zpy[Lx,py][Lx,py]pypz[Lx,pz][Lx,pz]pz同理，

pppppp0；y z z y z y y z[L,p2]0，y所以 [L,p2]0四、计算题设粒子处于一维无限深势阱Vx0,,

[L,p2]0z0xax0 或xa中，求处于定态x中的粒子位置x的平均值。n解：

x

2asin 2aa

0xa ，n 0 x0 或xa2a ax sina0

xdx 。a 2一质量为m的粒子在一维势箱0xa中运动，其量子态为321 x x3(x) sin sin a2 a 2 a ①该量子态是否为能量算符H的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为 sinnx n a a

xa ,E n222n 2 a2

x或xan1,2,3,对波函数的分析可知

(x)12

(x)

3(x)2 3即粒子处在1

(x)和

(x)的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。3②由于(x是能量本征态1

(x)和

(x)的线性组合，而且是归一化的，3因此能量测量的可能值为其出现的概率分别为

E221 2a2

E3 2a2312 1 2 3324, 2 4 ③能量测量的平均值为1 3 1 3 22 722E E E

2a24 1 4 3

2a2一维无限深势阱(0xa中的粒子，受到微扰Hx/a, xa/x, a/xa的作用，求基态能量的一级修正。 0 a2 aa解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为aE()n

, ()n

sin

nxa

,n,,,()

xa(a基态， E基态能量的一级修正为

a

sin 。 aE(1)H

a(0)(x)

2Hdx12

11a2sina

0x

112xdx

2

xsin2

21xdx。a a

a a a0 a2 u, xau, dxadu；作变换：

a vx, xaav, dx