2020年中考数学专题突破一：抛物线中的面积问题铅垂高

专题一：抛物线中的面积问题(铅垂高)【导例引入】1223导例：抛物线y-x~^~x3交x轴正半轴于点A(3J3,0),交y轴于点B(0,333),且这个抛物线的顶点为C.连接AB、AC、BC,则抛物线的对称轴为直线,线段CD的长为,△ABC的面积为.【方法指引】如图，过^ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫4ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SAABC=yah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：Sapab=-|PQfe-XB|根据二次函数解析式设出点P的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q的坐标，从而转化为S与点P横坐标之间的二次函数解析式，再卞据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ最大时，S/xPAB取得最大值.导例答案：x=J3234.【例题精讲】类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值

例1在平面直角坐标系中，直线y=_Lx-2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y2=/x2+bx+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,连接DC,DB,设^BCD的面积为S,求S的最大值；(3)如图2,过点D作DMLBC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于/ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据题意得到B【分析】(1)根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y=-^-(x-4)(x-2m),将点C的坐标代入求得m的值即可;(2)过点D(2)过点D作DF^x轴，交BC与点F,设D(x,x2x2+2x,然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可;(3)根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以/ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E,EA=EC=EB=2),则DR=x,CR=——x22,过D作Y轴的垂线，垂足为R,E,EA=EC=EB=2),则DR=x,CR=——x22+^x,最后，分为/DCM=2/BAC和/MDC=2/BAC两种情况列方程求解即可.类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,且其对称轴l为x=-1,点P是抛物线上B,C之间的一个动点(点P不与点B,C重合).(1)直接写出抛物线的解析式;(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PBXNB,且PB=NB的关系，请求出点P的坐标;(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)过点P作PM^x轴于点M,设抛物线对称轴l交x轴于点Q.可证明△BPM^ANBQ,则可求得PM=BQ,可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；(3)连接AC,设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值.类型三：由已知面积来定未知面积类问题例3.如图1,在平面直角坐标系中有一RtAAOB,O为坐标原点，OA=1,tan/BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线l:y=-x2+bx+c经过A、B两点.(1)求抛物线l的解析式及顶点G的坐标.(2)①求证：抛物线l经过点C.②分别连接CG,DG,求^GCD的面积.(3)在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P,使^PCD与^CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标.【分析】(1)先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标(2)由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y=0,从而可证明点抛物线l经过点C;如图1所示；过点G作GE^y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD>△GED的面积，最后依据S»acdg=S梯形GEOC一$△OCD-S»aGED求解即可；(3)过点G作PG//CD,交抛物线与点P.先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可.类型四：与面积倍分有关的综合题2例4.如图1,抛物线y=ax+bx+c(aw0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴的交点为C,顶点为D,直线CD与x轴的交点为E,解析式为y=-x-3,线段CD的长为6.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,F是y轴上一点，且AF//CD,在抛物线上是否存在点P,使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)将(2)中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN(点M,Q,N分另与点A,O,F对应)，使点M,N在抛物线上，则点M,N的坐标分别为M,N【分析】(1)根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C,顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；(2)作OHLCE,交AF于点G,交CE于H,取GH的中点M,求出BM的解析式,找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；(3)找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN,M,N在抛物线上，求出与AF垂直的点M,N的坐标即可.【真题精炼】A(T,0),B(3,0),(2018?青海)如图，抛物线y=axA(T,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD，x轴于点D,设点P的横坐标为t(0vtV3),求^ABP的面积S与t的函数关系式；(3)条件同(2),若^ODP与ACOB相似，求点P的坐标.(2017秋？吴中区期末)已知，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A,B的横坐标分别为1和2,与y轴的交点是C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点D是y轴上的一点，是否存在D,使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作CE//x轴，与二次函数y=-x2+bx+c的图象相交于点巳点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF//y轴，交线段BC于点F,试探究当点H运动到何处时，4CHF与4HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积.

(2018?阜新)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.(1)求这个二次函数的表达式;点P点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求4BCP面积的最大值;(3)直线(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当^BMN是等腰三角形时，直接写出m写出m的值.(2014秋？常熟市校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,一羊)，点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标；(2)当^BDM为以/M为直角的直角三角形时，求m的值.“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大？若存在，求出△(2013秋？苏州期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y=1■相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐(1)求A的坐标及抛物线的解析式;(2)若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;(3)过点B作直线BC//x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点.在抛物线上是否存在点D,使^ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在,请说明理由.(2019?虹口区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(-2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上，联结BC、BD.(1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；(2)点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与^BCD的面积相等，求点E的坐标；(3)点Q在抛物线对称轴上，如果△CDBs^CPQ,求点Q的坐标.

2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x+bx+c经过A(0,3),B(1,0)两点，顶点为M.(1)求b、c的值;(2)将4OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式;(3)设(2)中平移后所得的抛物线与y轴的交点为Ai,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1Ai,顶点为M1,若点P在平移后参考答案例1【解答】解：(1)把x=0代y=-x-2得y=—2,2.•.C(0,-2).把y=0代y=—x-2得x=4,2[B(4,0)设抛物线的解析式为y=Jj-(x-4)(x-m),将C(0,-2)代入得：2m=-2,解得:.•.A(-1,0).，抛物线的解析式(x+1),即，抛物线的解析式(x+1),即y=(2)如图所示：过点D作DF^x轴，交BC与点F.x-2)=-lxx-2)=-lx2+2x.设D(x,—x2-^x-2),贝UF(x,—x-2),DF=(—x-2)2222••SaBCD=—OB?DF=—X4X(-_1_x2+2x)=-x2+4x=-(x2-4x+4-4)=-(x-2)222+4.・•・当x=2时，S有最大值，最大值为4.(3)如图所示：过点D作DR^y垂足为R,DR交BC与点G.A(—1,0),B(4,0),C(0,-2),・•.AC=芯,BC=2Vj,AB=5,••ac2+bc2=ab2,..△ABC为直角三角形.取AB的中点E,连接CE,贝UCE=BE,・./OEC=2/ABC.•.tan/OEC=T=圭OE3当/MCD=2/ABC时，则tan/CDR=tan/ABC=停.设D(x,1.x2-Ax-2),则DR=x,CR=—?x2+|x4克1铲/日仝土一=—,解得：x=0(舍去)或x=2.|I2.••点D的横坐标为2.当/CDM=2/ABC时，设MD=3k,CM=4k,CD=5k..tan/MGD=.•.GM=6k,GD=3^k,•.GC=MG—CM=2k,・•.GR・•.GR=&&,CR=&Xk.x=0,解得：x=02911.••点D的横坐标为2911.••点D的横坐标为*综上所述，当点D的横坐标为2或符.【例2】解：(1);A(1,0),对称轴l为x=-1,•••B(—3,0),a+b-3=0ia+b-3=0i9a-3b-3=0••・抛物线的解析式为y=x2+2x-3;(2)如图1,过点P作PM^x轴于点M,图1设抛物线对称轴l交x轴于点Q.••PBXNB,•./PBN=90°,./PBM+ZNBQ=90°../PMB=90°,./PBM+ZBPM=90°../BPM=/NBQ.又・./BMP=/BNQ=90°,PB=NB,.△BPM^ANBQ.PM=BQ.••抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A（1,0）和点B,且对称轴为x=-1,・•点B的坐标为（-3,0）,点Q的坐标为（-1,0）.BQ=2.PM=BQ=2.•・•点P是抛物线y=x2+2x-3上B、C之间的一个动点，，结合图象可知点P的纵坐标为-2,将y=—2代入y=x2+2x-3,得—2=x2+2x—3,解得xi=-1-V2,x2=-1+72（舍去），，此时点P的坐标为（-1--2）;（3）存在.如图2,连接AC.图2可设点P的坐标为(x,v)(-3vxv0),则y=x2+2x-3,••点A(1,0),OA=1.•・•点C是抛物线与y轴的交点，「•令x=0,得y=-3.即点C(0,-3)..•.OC=3.由(2)可知S四边形PBAC=SaBPM+S四边形PMOC+SaAOC=—bm?pm+^(pm+oc)?om22OA?OC=—bm?pm+^(pm+oc)?om22OA?OC=—(x+3)(—y)2(—y+3)(—x)3'A一万（x友）当3'A一万（x友）当x=-二时，S四边形pbac有最大值2.此时，y=x2+2x-3=-，当点p的坐标为（--2）时，四边形pbac的面积最大，最大值为75

SV—一y2将y=x2+2x—3代入可得S四边形pbac=——(x2+2x-3)———V0,—3<x<0,2例3:【解答】解：（1）••OA=1,.•.A(1,0).又..tan/BAO又..tan/BAOOBOA3,.•.OB=3.B(0,3).将A（1,0）、B（0,3）代入抛物线的解析式得:ro-1+b+c-0,解得：b=-2,c=3.，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.「y=-x-2x+3=-(x+1)2+4,，抛物线的顶点G的坐标为(-1,4).(2)①证明：由旋转的性质可知；OC=OB=3,.•.C(-3,0).0,当x=-3时，y=-(-3)2-2X(-3)+3=-9+6+3，点抛物线l经过点C.0,②如图1②如图1所示；过点G作GE^y轴..「GE^y轴,G(T,4),.•.GE=1,OE=4.••S梯形geoc=2(GE+OC)?OE=Ix(1+3)X4=8.回国••由旋转的性质可知；OD=OA=1,DE=3.••SaOCD=—OC?OD=ix3X1=-^,SaGED=—EG?ED=「__•SaCDG—S梯形GEOCSaOCDSaGED—85.22(3)如图2所示：过点G作PG//CD,交抛物线与点P.•••PG//CD,・•.△PCD的面积=△GCD的面积..OD=OA=1,D（0,1）.设直线CD的解析式为y=kx+b.••・将点C(―3,0)、D(0,1)代入得：「血斗产。，解得：卜=二，b=1,\b=l|3，直线CD的解析式为y=J-+1.3n・.PG//CD,,・直线PG的一次项系数为1.\3\设PG的解析式为y=—x+b1.•・将点G的坐标代入得：,+b1=4,解得：b1=—,TOC\o"1-5"\h\z33•・直线PG的解析式为y=ix+-1i.3x3「4拈1I12^2……日,「将y==』+F与y=-x2—2x+3联立.解得：(cl3n335y1例4:【解答】解：（1）作DW^x轴，CW^y轴交于W点.CW=V2?cosZDCW=1.DW=&?sin/DCW=1.・•.C点坐标为（0,-3）,D点坐标为（1,-4）,由顶点式可得抛物线的解析式为：y=x2-2x-3;(2分)图1图？(2)作OHLCE,交AF于点G,交CE于H,取GH的中点M,根据二次函数解析式可得：A(-1,0),

由直线CD的解析式可知：E(-3,0),-C(-3,0),••.ZAEH=45°,・•.△OEH是等腰三角形,•.OHXEC,二.H点的坐标是(-1.5,-1.5)•••AF//CD,OAF=45・•.G(—0.5,—0.5),.M是GH的中点,M(-1,-1),求出BM的解析式y=Ax-ll,44叵).(3分)16(3)AAOF叵).(3分)16(3)AAOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN,则直线MN的解析式为y=x+b,•••MN=AF,M(1,-4),N(2,-3).(4分)【真题精讲】a-b+e=01、【解答】解：(1)把A(—1,0),B(3,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c得:^a+3fe+c=0,解得：a=-b=-^-,c=2,••・抛物线的解析式为y=-Zx2+上x+2.33(2)设点P的坐标为(t,-=t2+三t+2)..A(T,0),B(3,0),AB=4.-t2+t+4(0vtv3);.•.S=—AB?PD=—X4X(—二t-t2+t+4(0vtv3);22337

(3)当^(3)当^ODP^ACOB时,整理得：4t2+t-12=0,解得：t=Tr19口或1=-"Jig](舍去).SI|8|・•.OD=t=一收193,dp=1Lod=3+sV1938216•・•点P的坐标为（上等'"四）.当^ODPs^BOC,嚼嚼当^ODPs^BOC,嚼嚼整理得t2-t-3=0,解得：t=1'T*或t=1-仃^（舍去）.TOC\o"1-5"\h\z|22，OD=t=,DP=-2OD=14V13233.・•点P的坐标为（工:近114V13）23综上所述点P的坐标为（士旗，卫幽）或（工WH）.815232.【解答】解：（1）,•,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A,B的横坐标分别为1和2,•A(1,0),B(2,0),~l+b+c=0~l+b+c=0-4+2b+c-0，，二次函数的表达式c--2y=-x2+3x-2;(2)二•二次函数的表达式y=-x2+3x-2,C(0,-2),，OC=2,.A(1,0),B(2,0)OB=2,OB=OC--.ZOBC=ZOCB=45°,・•/BAC<135°,即：点D只能在点C上方的y轴上，DCB=/ABC=45••设D(0,d),d>-2,.A(1,0),B(2,0),C(0,-2),•.AB=1,BC=272,CD=d+2,•・以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似，・•.①aDCBs^ABC,••・崇嗡■二工,.-.CD=AB=1,.1.d+2=1,d=-1,..D(0,T)②△BCDsMBC,BCCD—-=②△BCDsMBC,BCCD—-=-AB比'12V2,d=6,D(0,6);(3)如图，---CE//轴，，令y=-2,.--2=-x2+3x—2,x=0(舍)或x=3,E(3,-2),.B(2,0),C(0,-2),••・直线BC的解析式为y=x-2,设H(m,-m2+3m-2),F(m,m-2),,一点F是线段BC上的点，，0Vm<2,HF=-m2+3m-2-(m-2)=-m2+2m,二，此时，H(1,0).2••Sachf+S»aehf=~^~HFx3=4(-m2+2m)=-/(m2-2m+1)+^.•.m=1时，△CHF与二，此时，H(1,0).23.【解答】解：(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式，得ja+bja+b+3=019a+3b+3-0,这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；(2)当x=0时，y=3,即点C(0,3),设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得kyo,解这个方程组，得：；故直线BC的解析是为y=-x+3,过点P作PE//y轴，交直线BC于点E(t,-t+3),PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,Sabcp=Sabpe+Scpe=—(-t2+3t)x3=-—(t--)2+^-,2228.•.一」＜0,.•.当t=旦时，SaBCP最大=红228(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)MN=|m2-3m|,BM=ny^|m-3|,当MN=BM时，①m2—3m=y2(m—3),解得m=C，②m2-3m=-\fm(m-3),解得m=-^2当BN=MN时，/NBM=/BMN=45°,m2-4m+3=0,解得m=1或m=3(舍)当BM=BN时，/BMN=ZBNM=45°,一(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍)，当△BMN是等腰三角形时，m的值为才I-他1,2.4.【解答】解：(1)由题意可得：y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1),.mw0,•.当y=0时，0=m(x—3)(x+1),解得：x1=-1,x2=3,A(-1,0),B(3,0);(2)如图1,1.-y=mx2-2mx-3m=m(x—1)2—4m,顶点M坐标(1,—4m),当x=0时，y=-3m,D(0,-3m),B(3,0),DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1,MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4,BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9,当48口”为Rt^,/M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2=BD2.DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9,解得m=-返(m=父2舍去).22.时，△BDM为以/M为直角的直角三角形;(3)设Ci：y=ax2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:a-b+e=O9a+3b+c-03c二一9a+3b+c-03c二一2lb=-l，故Ci：y=x2-x-3C-J2~2如图2:过点P作PQ//y轴，交BC于Q,由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=Lx-刍22设P(x,_!x2-x--),贝UQ(x,-Lx--L),2222SaPBC=SaPCQ+SaPBQ=SaPBC=SaPCQ+SaPBQ=当x=j■时,S”bc有最大值，Smax=-1Z-,则—x(上)2-.l-iL=-H,故P(L,2222828则—x(上)2-.l-iL=-H,故P(L,2222828国1I图25.【解答】解：(1)•••抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y—相交于点A、B,点B的坐标为(1,-4),4•.xy=k=ix(—4)=—4,•.双曲线y=——,•・•点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内,，可设A点坐标为：(-m,m)(m>0),代入双曲线解析式得;m=2,•・•点A(―2,2),:抛物线y=ax2+bx+c(av0)过A(―2,2),B(1,4a-2b+c=2a+b+c=_4,解得::c-0a--l+b=-3，，抛物线的解析式为:Lc=0-4),O(0,0),y=-x2-3x;(2)由A(-2,2),B(1,-4),代入y=kx+d得：一/"‘，解得：『一一匕，.・・直线AB的解析式为：y=-2x-2,k+b=-4[d=-2设E(n,-n2-3n),过E作EF//y轴，交AB于点F,则F点坐标为(n,-2n-2),EF=(-n2-3n)-(-2n-2)=-n2-n+2,SaABE的最大-1•Saabe=Saaef+Sabef=—x(—n2SaABE的最大22值为：工二，8此时，n=~―,—n2—3n==，E(--L,—);4243)B(1,-4)且直线BC//x轴，一人2.・令—x—3x=-4,斛彳#:xi=1,x2=—4,..C(-4,-4),SaABC=5X6xJ_=15,过点C作AB的平行线CD,交抛物线于点D,设直线CD对应的一次函数解析式为y=-2x+t,则一4=—2X(