2021年整理自主招生数学试题及答案

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（第9题图）第11题图（第9题图）第11题图）（第12题图）(三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13、（本题共12分）如图，在^ABC中，/C=900,以AB13、（本题共12分）如图，在^ABC中，/BC相切于点D,分别交AGAB于点E、F。（1）若AC=qAB=10,求。。的半径;（2）连接OEEDDF、EF,若四边形BDEF是平行四边形，i3c判断四边形OFDE勺形状，并说明理由。14、（本题共14分）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且/DEC力DCE若/A=6C0（如图①）,求证：EB=AD（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若/A=60°”改为“若/A=90°”，其它条件不变，则里的值是多少？（直AD接写出结论，不要求写解答过程）

15、（本题共14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2—x+39金0）交乂轴于A、B两点，交y轴于点C,且对称轴为直线x=—2.（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0,t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1,设乙PAD的面积为S,令W=t?S,当0Vt<4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt^AOCf似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。2017年自主招生数学试题参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、C2、D3、A4、A5、D6、B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、L<k<1;8、-4或6;9、2或2。5或1.4;210、m>—6且mW-4;11、2;12、6点6。三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13、解：（1）连接OD,设。。的半径为r,=BC切。。于点D,「.ODLBC,・•/C=90，・二OD//AC・・・△OBM△ABC,；y=(2)四边形OFDE1菱形,•••四边形BDE支平行四边形,DEFWB,丁/DEF=/DOB/B=ZDOBvZODB=90,/DOB+B=90°,/DOB=60，=DE//AB,/ODE=60,•.OD=OE「.4ODE^等边三角形，OD=DE•.OD=OF••DE=OF一•四边形OFDEt平行四边形，.「OE=OF」.平行四边形OFDE®菱形14、(1)证明：作DF//BC交AC于F,如图1所示:贝U/ADF4ABC/AFDWACB/FDCWDCE,V△ABC是等腰三角形，/A=60,「.△ABC是等边三角形，ABC4ACB=60,・./DBE=120,/ADF之AFD=60=/A,・.△ADF是等边三角形，/DFC=120,aAD=DFvZDEC?DCE/FDC士DECED=CD在△DBEfflACFD中，由/DECWFDC/DBE=TDFC=120,ED=CD..△DB草△CFD(AAS,•.EB=DF..EB=AD;(2)EB=AD£立；理由如下:作DF//BC交AC的延长线于F,如图2所示：同(1)得:AD=DF,/FDC4ECD/FDC力DEC,ED=CD又.•/DBE4DFC=60,•・在△DBE和4CFD中，由/DECWFDC/DBE4DFC,ED=CD..△DB草△CFD(AAS,•.EB=DF..EB=AD;(3)-EB=V2;理由如下:15、解：(1)二.抛物线y=at2-x+3(0)的对称轴为直线x=(3)-EB=V2;理由如下:15、解：(1)二.抛物线y=at2-x+3(0)的对称轴为直线x=-2,卜二二父一x+3,

4m-zo；(2)探究一:当Ou<4时，W有最大值,•.•抛物线y=——/―交x轴于A、B两点,I4|交y轴于点C,4-40)5(270),c(aa),0<r<4时，作dm_L卫轴于m,则m/二i,0n二4,P(ar),»尸二乙九出二Q1F-0P二4一1.,•1P=S臂切小-S—8-S」mfp一L,二二：」」一一」一一一厂,—(2+6)x4——xfixf——x2x(4-^)—12—2f..W=r(12-2z)=-2C/-3)1+18.二当，二3时,W有最大值，/为==18AD作DF//BC交AC于F,如图3所示：同(1)得：△DB草ACFED(AAS,EB=DFV△ABC是等腰直角三角形,DF//BC,・•.△ADF是等腰直角三角形，•-DF=v12AD,•-DF=^2,=^=2~2.ADAD探究二：存在，分三种情况：①当/取M=90'时，作门e1/轴于E,则。E=2,口内=*"EW=90",•「三乙5卫三45\和三JIdE三4能,”其=4及-乙3=缈-45°=45°•・•n〃L2轴，。3Li轴，.•.OaUql——-...,,二，学”—..「af.5「寸j一b,百幺/三0£三2，册三五DM三2拒,,此时生=3"=庄，又因为4OC="5二90：wAD4LI.[RtZ^m/JsRtAaoc..。克二。“一月制二4一2二2,Y(0J),.•.当/月"=90”时，存在点pi,使民心凡碑6打44℃,此时Pi点的坐标为（0,2）;n