《正弦定理》优品教学北师大版1课件

解三角形解三角形1

定义：ABCabc解三角形就是：定义：ABCabc解三角形就是：2

定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。ABCabc解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做3正弦定理正弦定理4请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：a+b>c,a+c>b,b+c>a（1）三边：（2）三角：（3）边角：大边对大角ABCabc请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：a+b>c,5课前检测在中，求b,c?ACBcba课前检测在中，求b,c?6问题1：在中，设证明：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1问题1：在中，设7ACBcba1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1ACBcba1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定8所以AD=csinB=bsinC,

即同理可得DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有2.若三角形是锐角三角形,如图1,《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图9由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D3.若三角10（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角11

＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R求证:4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R求证:4.有没有其他的12证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC13AcbCBDa向量法利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.在直角三角形中《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1AcbCBDa向量法利用向量的数量积，产生边的14BAC在锐角三角形中由向量加法的三角形法则《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1BAC在锐角三角形中由向量加法的三角形法则《正弦定理》优品教15在钝角三角形中ABC具体证明过程马上完成!《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1在钝角三角形中ABC具体证明过程《正弦定理》优品教学PPT北16Youtry《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1Youtry《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定17Youtry解：∵正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1Youtry解：∵正弦定理应用一：《正弦定理》优品教学P18例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°19例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°20例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°21例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°22例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°23课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优24点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,

此时的解是唯一的.课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,课堂练习:《正弦25《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP26《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP27《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP28.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学P29点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内30《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP31《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP32拓展延伸：已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1拓展延伸：已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解33探索发现已知两边和其中一边对角解斜三角形

CCABAbabaaa=bsinA

一解bsinA<a<b

两解CAbaa<bsinA

无解CABbaa≥b

一解作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1探索发现已知两边和其中一边对角解斜三角形CCABAba34归纳总结：

已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或无解三种情况CCABAbabaaa=bsinA

一解bsinA<a<b

两解CAbaa<bsinA

无解CABbaa≥b

一解aｂbsinA一解一解一解两解无解作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1归纳总结：已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或35（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinA<a<bAbaBCa≥bbsinAa

=(一解）(两解）(一解）案例小结！《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinA<a<b36（2）A为直角或钝角a>b(一解）baABCbaCBAa>b(一解）《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（2）A为直角或钝角a>b(一解）baABCbaCBAa>b37若A为锐角时:若A为直角或钝角时:已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1若A为锐角时:若A为直角或钝角时:已知a,b和A,用正弦定理38判断满足下列的三角形的个数:

(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1判断满足下列的三角形的个数:练习：《正弦定理》优品教学PPT39判断满足下列的三角形的个数:

(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1判断满足下列的三角形的个数:两解一解两解无解练习：《正弦定理40练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::1自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰直角三角形D、不能确定《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝41练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::1自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰直角三角形D、不能确定CCB《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝42（3）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（3）在中，若43（3）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形D《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（3）在中，若44四、课堂练习：

《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1四、课堂练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定45B四、课堂练习：

《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1B四、课堂练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦46通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角一边;已知两边和其中一边的对角.小结:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的47二种——平面几何法向量法定理应用方法

课时小结二个

——已知两角和一边（只有一解）

已知两边和其中一边的对角

（有一解，两解，无解）

一个

——正弦定理CcBbAasinsinsin==《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1定理应用方法课时小结二个——已48作业:P习题1,2,4思考题:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1作业:P习题1,2,4思考题:《正弦49解三角形解三角形50

定义：ABCabc解三角形就是：定义：ABCabc解三角形就是：51

定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。ABCabc解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做52正弦定理正弦定理53请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：a+b>c,a+c>b,b+c>a（1）三边：（2）三角：（3）边角：大边对大角ABCabc请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：a+b>c,54课前检测在中，求b,c?ACBcba课前检测在中，求b,c?55问题1：在中，设证明：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1问题1：在中，设56ACBcba1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1ACBcba1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定57所以AD=csinB=bsinC,

即同理可得DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有2.若三角形是锐角三角形,如图1,《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图58由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D3.若三角59（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角60

＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R求证:4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R求证:4.有没有其他的61证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC62AcbCBDa向量法利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.在直角三角形中《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1AcbCBDa向量法利用向量的数量积，产生边的63BAC在锐角三角形中由向量加法的三角形法则《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1BAC在锐角三角形中由向量加法的三角形法则《正弦定理》优品教64在钝角三角形中ABC具体证明过程马上完成!《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1在钝角三角形中ABC具体证明过程《正弦定理》优品教学PPT北65Youtry《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1Youtry《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定66Youtry解：∵正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1Youtry解：∵正弦定理应用一：《正弦定理》优品教学P67例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°68例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°69例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°70例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°71例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°72课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优73点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,

此时的解是唯一的.课堂练习:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,课堂练习:《正弦74《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP75《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP76《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP77.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学P78点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内79《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP80《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PP81拓展延伸：已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1拓展延伸：已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解82探索发现已知两边和其中一边对角解斜三角形

CCABAbabaaa=bsinA

一解bsinA<a<b

两解CAbaa<bsinA

无解CABbaa≥b

一解作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1探索发现已知两边和其中一边对角解斜三角形CCABAba83归纳总结：

已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或无解三种情况CCABAbabaaa=bsinA

一解bsinA<a<b

两解CAbaa<bsinA

无解CABbaa≥b

一解aｂbsinA一解一解一解两解无解作三角形《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1归纳总结：已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或84（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinA<a<bAbaBCa≥bbsinAa

=(一解）(两解）(一解）案例小结！《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（1）A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinA<a<b85（2）A为直角或钝角a>b(一解）baABCbaCBAa>b(一解）《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1（2）A为直角或钝角a>b(一解）baABCbaCBAa>b86若A为锐角时:若A为直角或钝角时:已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1若A为锐角时:若A为直角或钝角时:已知a,b和A,用正弦定理87判断满足下列的三角形的个数:

(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1判断满足下列的三角形的个数:练习：《正弦定理》优品教学PPT88判断满足下列的三角形的个数:

(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解练习：《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1判断满足下列的三角形的个数:两解一解两解无解练习：《正弦定理89练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::1自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰直角三角形D、不能确定《正弦定理》优品教学PPT北师大版1《正弦定理》优品教学PPT北师大版1练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝90练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或