解三角形大题归类-2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

专题04解三角形大题归类目录TOC\o"1-5"\h\z一、热点题型归纳 1【题型一】正余弦定理基本型1：角与对边 1【题型二】正余弦定理基本型2：分式型 3【题型三】正余弦定理基本型3：正切型 6【题型四】 正余弦定理基本型4：余弦定理型 7【题型五】解三角形最值型1：面积最值 10【题型六】解三角形最值型2：周长最值 12【题型七】解三角形最值型3：边长最值 14【题型八】 解三角形最值型4：系数不同型最值(非对称型) 15【题型十】 解三角形综合求值型：四边形(多边形) 20二、最新模考题组练 24‘柩拉曼熨型归的【题型一】正弦定理基本型1：角与对边【例1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,〃,c,已知2cosA(Z?cosC+ccos8)=.(1)求角A;(2)若a=l,AABC的周长为石+1，求AABC的面积.【答案】(1)A=J(2)2->/3【分析】(1)利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得cosA,结合Ae(O,乃)可得结果；(2)利用三角形周长得到b+c= 利用余弦定理构造出关于反的方程，解出炉的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理可得：2cosA(sin8cosC+sinCcosB)=J^sinA即：2cosAsin(B+C)=2cosAsinA=GsinA•jsinAwO /.cosA= <由Ae(0,乃)得：A=%(2)-.«=1,AABC的周长为J5+1 :.b+c=也由余弦定理可得：854=，+，'2父=伍三［2"女=5一次1=2一如=也2bc 2bc 2bcbe2

bc=4 8―4百2+V3...AA5C的面积：S=；bcsinA=；x(8-46)xg=2->/i【例2】在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为。，b,c, ccosB4-Z?cosC=2tzcosA.（1）求角A(2)若a=6，C=-9求Z?.4【答案】(I)g：(2)&+3 2【分析】(1)由正弦定理和两角和的正弦，化简得到sinA=2sinAcosA,进而求得cosA=,，即可求得A角的2大小；(2)由⑴和题设条件，求得3=2,进而求得sinB=C+&，结合正弦定理，即可求解.

12 4【详解】(1)P^ycCOs3+bcOsC=2tZCOSA,由正弦定理，可得5析。以)58+5111885。=20皿248824，即sin(5+C)=2sinAcosA,又因为3+C=7t-A,可得sin(3+C)=sinA,所以sinA=2sinAcosA,TOC\o"1-5"\h\z1 Ji因为Aw(0,乃)，则sinA>0,所以cosA=—,所以A=—.2 3. ,. __7L -- 7Z/r57*(2)由(1)知4=—,IlC=—t所以8=4 =—>3 4 3412r-r-।•n•57C/7C7t、 .冗17t.7t,^6+所以sin5=sin——=(——I——)=sin—cos——Fcos-sin—= ，12 46 4 6 4 6 4H卡+夜…，r.....ab,,asinB 4 夜+几又因为a=y/3>由止弦'定理 - >则b—；—— 7= = — .sinAsinBsinA，3 2~2【例3】在AABC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.(1)求角8的大小：⑵若b=币,a+c=4,求A48C的面积S.【答案】⑴8=60。(2)S=—4分析：(1)由(为一。)8S8=从05(7,利用正弦定理可得(2sia4-sinC)-cosB=sinB-cosC,结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得cos6=二：从而可得结果；（2）由余弦定理可得2

a~4-c**-b~（a+c）-2ac—bm殂 _0 01 .d35/^；丫:缶石cos3= = JLfac—3>所以S=—cic*s\i\B- •讣解:2ac 2ac 2 4（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC2sin4-cosB=sinB•cosC+sinCcosB2sinA•cosB=sin（B+C）=sinAcosB=—B=60°2z9x・・a2+c2—b2 （6/4-c）2—2ac-b".鼻.c1 .Q3、•cosB= = L ..ac=3・・S=—tzcsinB= 2ac lac 2 4【例4】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,S.acosB+bsinA=c.（1）求角A的大小；（2）若。=&,&4BC的面积为在二，求〃+c的值.2TT【答案】⑴A=：♦⑵b+c=2.4分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A的值;（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值.详解：（1）由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB.・.sinBsinA=cosAsinB，乃,/sinBw0/.sinA=cosA,/A£（0,乃）.二A=b5 i __（2）•/S.abc=/bcsinA=—=---：,bc=2-yj2又・・・。2=/?2+c2-2bccosA2=（/?+c）^一（2+夜）〃。所以，（b+c）~=4,h+c=2..【题型二】正余弦定理基本型2：分式型【例1】2c-acosA—2c-acosB在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知一 -cosB（1）求吟的值;（2）若cosB=：,aABC的周长为5,求b的长.【答案】（1）2（2）2试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得sinC=2sinA,即求解巴士的值；（2）由（1）可知——=2,sinA sinA：.c=2a,再由余弦定理和三角形周长，即可求解a,b的长.试题解析：（1）由正弦定理知，sinAsinBsinC（2分）cosA-2cosc_2-2/?sinC-2（2分）cosB2/?sinB即cosAsinB—2cosCsinB=2cosBsinC—cosBsinA，cosB即sin(A+3)=2sin(8+C), (4分)又由A+B+C=;r知，sinC=2sin 所以"一=2.(6分)sinA(2)由(1)可知任一=2,：.c=2a, (8分)sinA由余弦定理得从=a2+(2a)2-2a-2acosB=4a2:・b=2a, (10分)，a+2a+2a=5,**•a=1,.*./?=2.(12分)【例2】已知aABC的三个内角A，B,C的对边分别为a,b,c,a+c=3, ="二.cosBb(1)求Z?的最小值；(2)若a<b,b=2,求cos(A+三)的值.6【答案】(I)—■；(2)cos(A+—)= -2 6 4【分析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos5,进而可求3；TT(2)由已知结合正弦定理，和差角公式及辅助角公式进行化简可求sin(A+-),然后结合同角平方关系即6可求解.【详解】cos「2a—c(1)由^―= ,得阮osC=2ncosB-ccosB,由正弦定理可得，cosBbsinBcosC+sinCcos3=2sinAcos5，即sin(8+C)=2sinAcos8=sinA,又sinAwO,TOC\o"1-5"\h\z1 Jicos8=—,0<8v兀，即8=—,由余弦定理可得,2 3a। q 3b~=a2-vc2—ac=(a+c)2-3ac=9—3ac..9—3x( )2=—,当且仅当。=c=一时取等号，2 4 23故6的最小值;7；2(2)由(1)知8=工，乂6=2结合正弦定理可得，a=越sinA,c=生叵sinC;TOC\o"1-5"\h\z3 3 3r.3=a+c=4、sinA+)、sinC=‘3[sinA+sin(A+1)]，整理可得，sin(>4+—)=—；3 3 3 3 6 4由可得A<[,故g<A+J<g；'-cos(/l+—)=—-3 6 62 ' 6 4【例3】已知锐角三角形ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且网二2=史丝ccosC(1)求角。的大小.

(2)求函数y=sin4+sinB的值域.【答案】(1)C=y；(2)ye(|,南.【分析】(1)由"叱=2阻利用正弦定理得2sinAcosC—sinBssC=sinCeos 根据两角和的正弦公式及ccosC诱导公式可得cosC="!■，可求出C的值；(2)对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公2式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【详解】2^7 cc^s(1)由 =---,利用正弦定理可得2sinAcosC—sinBcosC=sinCeosB，ccosC可化为2sinAcosC可化为2sinAcosC=sin{C+8)=sinA,2,7V TC7t•：A+B=—,0＜A＜一，，一＜4(一，3 2 6 2【例4】在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且垩4+上”=吧C.ahc(I)证明：sinAsinB=sinC；(II)若力z+C*-/=4人c,求tanB.【答案】(I)证明详见解析；(H)4.【分析】【详解】试题分析：(I)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.(H)由余弦定理求出A的余弦函数值，利用(I)的条件，求解B的正切函数值即可ahc试题解析：(1)根据正弦定理，设——二 二 =k(k>0).sinAsinBsinC则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.…cosAcosBsinC—cosAcosfisinC-“一口代入 +——=——中，有二一一r+ 变形可得abc%sinAksin8AsinCsinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中，由A+B+C=7t,有sin(A+B)=sin(7t-C)=“sin”C,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知，b2+c2-a2=—be,根据余弦定理，有cosA=-+’ -=—.5 2hc5 4所以sinA=71-cos2

由（I）,sinAsinB=nsin"AcosB+cosAsinB,所以一sinB二一cosB+—sinB,一sinB故tanB= =4.cosB【题型三】正余弦定理基本型3：正切型【例1】t'inAt'inA?在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2（S〃A+S〃B）=」——+-——.cosBcosA（1）证明：a+b=2c；⑵求cosC的最小值.【答案】（1）见解析；（2）试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2（sinAcos8+sin8cosA）=sinA+sin8,再根a+b据A+B+C=tf,即可得到sinA+sin3=2sinC,利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）c= ,2利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cosC的最小值.…二…广 、口一心c/SinAsin8、sinA sinB试题解析：(1)由题意知，2( + )= + cosAcosBcosAcosBcosAcosB化简得：2(sinAcos3+sin8cosA)=sinA+sinB即2sin(A+B)=sinA4-sinB,因为A+8+C=1，所以sin(A+B)=sin(i-C)=sinC,从而sinA-I-sinB=2sinC»由正弦定理得a+/?=2c.（2（2）由m知,"等'所以c°sC，+i/+从_(色也)2(2)-1>1,当且仅2ahSab4~2当a=b时，等号成立，故cost?的最小值为工.2【例2】已知aABC的内角A，B,C所对的边分别为。，b,c,tanfi+tanC=——AcosBcosC（1）求角A的大小；（2）若a=4,b+c=5,求aABC的面积.【答案】（1）A=f；（2）些.3 4【分析】（1）由tanB+tanC=-^c°s.,切化弦，再利用两角和差公式化简可求得角％；cosBcosC（2）由余弦定理可求得。c,再用三角形的面枳公式可求得aABC的面积.a,«z1xncV3cosAsinBsinC V3cosA解：⑴由tan8+tanC== 得 + =- cosBcosCcos3cosCcosBcosC**•sinBcosC4-cosBsinC=y/3cosA，:.sin（B+C）=>/3cosA即sinA=J^cosA，又以)§4显然不等于0,，1@114=6，；Ae(O,^)A=冗(2)由(1)知4=—,又。=4,Z?+c=53根据余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA={b+c)'-3bc16=25—3Z?c. be=3AS=-^csinAAS=-^csinA=-x3x—=2【例3】在AA5C中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足tanA=Ltan8=』tanC.2 3（1）求角A的大小；（2）若△A5C的面积为15,求a的值.【答案】（1）A=-；（2）a=5.4【分析】（1）根据题意可得到tan3=2tanA,tanC=3tanA,利用三角恒等变换，可知求解tanA=l,即可求解角A的大小.（2）利用正弦定理得出。=之”。，代入三角形的面积公式，即可求解。的值.sinAatanBtanC则tanB=2tanA,tanC=3tanA则tanB=2tanA,tanC=3tanA., —a tanfl+tanC在aABC中，tanA=-tan(B+C)= .1-tanfitanC" 42tanA+3tanA 7 .则tanA= ,解得tan~A=l，,tanA=-l或tanA=l,1—6tan〜A当tanA=-l时，tanB=-2,则4，区均为钝角，与A+3+C=7t矛盾，故舍去,TT故tanA=1,则4=一.4TOC\o"1-5"\h\zD 11kl 1(2)由tanA=l可得tanB=2,tanC=3,则cosB= =-,cosC= =-f=Vl+tan2BJ5 Jl+tan2cV102_,.„ 2 . 3 ,Jab,,sinBJ52-710所以sinB：—,sinC=-7=.在AA5C中有 =-——则6= 。=牛。= a,V5 V10 sinAsinBsinA也5V则Saam='a方sinC=」ax冬①•ax/==W-=15.得片=25，所以a=5.△*bc2 2 5JlO5【题型四】正余弦定理基本型4：余弦定理型【例1】在aABC中，角A、B、。的对边分别为“、b>c,3.（2b-c）（b2-a2+c2）=2abccosC.（1）求角A的大小.（2）若8=2，D为aABC外一点,BD=2,CD=\,四边形ABDC的面积是逑+2，求3 4【答案】（1）A=y.（2）q=j5+25【分析】（1）本题首先可以根据正弦定理以及余弦定理对（》一4（。2一合+。2）=%从以%。进行化筒,得出2sin8cosA=sin5,再根据sin8。0以及Ag（0,不）即可得出结果：

（2）首先可以结合题总绘出图像，然后在△88中根据余弦定理得出5c2=5-4cosO，内然后根据解三角形面积公式求出5,bc以及工»比，并根据四边形A8DC的面积是迫+2求出。=色，最后将4 657r。=—代入8C?=5—4cosO,即可得出结果.6【详解】（1）因为【详解】（1）因为（2人-0（62—/+c?）=2abecosC,所以(227c)W+c、2-a2hc=acosC,由余弦定理可得(»-c)cosA=acosC,由正弦定理可得2sin5cosA—sinCcosA=sinAcosC,因为A+B+C=i,所以2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(C+A)=sin3,因为sinB/O,所以cosA=因为sinB/O,所以cosA=—因为Ae2（0,万），所以A=g.（2）如图，结合题意绘出图像:在aBC。中，30=2，CD=1,由余弦定理得：BC2=12+22-2x1x2cosD=5-4cosD，因为所以0咤“加0为等边三角形'所以％此43内峭=¥-限皿因为SARncuLxBOxDCxsinOusinO,所以S四边形abdc=~~—FsinD-yJ?>cosD―———F2sinD——=———F2>所以sin(£)——)=1>因为。w(0,乃)，所以。=』，故Be?=5-4cosO=5-4cos-^=5+2x/5,BC=45+243'6 6即a=45+26•【例2】△A8C的内角4,B,C所对的边分别是a,b,c.已知（2sinA-JJsin =4sin?C—sii?8.（1）求角C的大小；（2）若b=T,c=y/19求cos（B-C）的值.【答案】⑴c=j⑵迫.6 14【分析】（1）将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；（2）利用正弦定理求出sin5,再根据b<c,可知B<C,进而可根据同角三角函数关系，求出8s5,再利用两角差的余弦公式可求得答案.【详解】（1）由（2sinA-石sin8尸=4sin?C-sin?8化简，得sin?A+sin"-sin2c=GsinAsin8，由正弦定理，得/+6-c?=百加，由余弦定理得cosC="2+"2-d=B，又Cw（O,乃），所以c=2.2ab2 6

(2)因为。=1,c=币,所以由正弦定理一J==j,得sin8=^"C=立,sinBsinC c14因为人<c,所以8<C,所以cos8=Jl—sin：8=3巴，14所以cos(3—C)=cos8cosC+sin8sinC=3后x虫+也x』=辿.14 2 142 14c万所以cos(8-C)=-^—.【例3】在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且6(4+c?一/)=»csin4.(1)求8；(2)若△ABC的面积是2遮，c=2a,求b.3TT【答案】(1)B=|；(2)2.【分析】(D根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可：(2)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：(1)由6(/+c2—b2)=2bcsinA,得6匕9立=史"4，laca得GcosB="sE",得73acosB=OsinA，由正弦定理得力sinAcosB=sinBsinA»a因为sinA。0,所以Geos8=sin8,所以tanB=JJ，TT因为OvBv4,所以3=—.3(2)若aABC的面积是友，则Lacsin8=Lxax2ax3=2^,解得“=空，3 2 2 2 3 3所以。=述.由余弦定理b2=a2+c2-2ac8sB，可得从=|＜毕］+(芈］-2x绰x峥二,所以b=2.【例4】在aABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,aABC的面积为S,且5=(1)求角C；(2)若3a=2b,求sinA.【答案】(1)C=W；(2)sinA=—.3 7【详解】(1)因为5=3(。2+尸一/)=_14加布。，所以4 2.厂>/3(a2+b2-c2)>/3x2a/?cosCq"lab2ahsinC= = =>J3cosC，解得tanC=Ji，又Ce(O,4)，故。=(.lab2ah(2)设。=2，"=3〃，>0)则。=行户工龈氤=历所以《114=竺巧£=2-巫=应.c\T7t2 7【题型五】解三角形最值型1：面积最值【例1】△ASC的内角AB,C的对边分别为"c,已知2bcosB=acosC+ccosA.(1)求DB的大小；(2)若b=2,求aA5c面积的最大值.【答案】(1)y;(2)V3.【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cosB=-,根据5G(0,%)可求得结2果；(2)利用余弦定理可得/+。2—℃=4,利用基本不等式可求得(ac)max=4,代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC4-sinCcosA=sin(A4-C)vA-\-B+C=tv» sin(A+C)=sinB,又8e(0,4)，...sin3w0,/.2cosB=l»即cos8=—27T由3£(0,乃)得：B=—.3(2)由余弦定理〃2=/+/-2accos5得：a?+c?-ac=4又/+c?22ac(当且仅当。=c时取等号),4=a2+c2-ac>2ac-ac=ac即(ac)1n=4二三角形面积S的最大值为：gx4sin8=百【例2】在aABC中，内角A，B,C的对边分别是“，b,c,已知从anA,ctanB,btanB成等差数列.（1）求A的大小：（2）设a=2,求aABC面积的最大值.【答案】（1）（2）6【分析】（1）htanA,ctanB,btanB成等差数列,把正切化成弦，结合正弦定理化简整理. （2）利用余弦定理和基本不等式，求be的范围.【详解】解：（1）由htanA,ctanB,〃tanB成等差数列，得）（tanA+tan8）=2ctanB.f csinAsinBsinAcosB+cossinBsin（4+8）sinC因为tanA+tan3= + = =—— L= .cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB八sinB bsinC2csinB„rt^sinC.八又tan8= ,所以 = ,即 =2csinBcos3 cosAcosB cosBcosA•D, -I由正弦定理，得任———=2sinCsinB,又sin/sinCwO,所以cosA=—.cosA 277因为OvAvn:,所以A=§.（2）由余弦定理，得"=>2+/-2Z?ccosA=+/->c.又〃+寸之2/（,所以/之征.又因为〃=2,所以。CW4,当且仅当。=c=2时，等号成立，1 n故S4abc=-^csinA=彳beWG，于是aASC面积的最大值为行.【例3】在AABC中，a,b,。分别为内角A，B,。的对边，且（acosC+c-cosA）tanA=J§Zj.（1）求角A的大小；（2）若a=&,求Ac的最大值.【答案】（1）j：（2）3［分析】（1）利用正弦定理边化角，再由两知和的正弦公式即可求出tanA,结合角A的取值范围即可求解;（2）由（1）知，结合余弦定理得到关于仇c的方程，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因为（acosC+ccosA）tan4=V^,利用正弦定理可得，（sinAcosC+sinCcosA）tanA=J5sin6,即sin（A+C）tanA=gsinB,因为4+（7=4一5,所以sin（乃一8）tanA=GsinB,即sinBtanA=>/5sin8，因为0<5</，所以sinBwO,tanA=6，因为0<A<乃，所以A=3（2）由（1）及余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA>BP3=ft2+c2-2/jccos—,所以3=^+c2-bcN2bc—bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，所以be的最大值为3.【例4】tanA.在aABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且1+ =—.tan8b（1）求角4（2）若。=Q,求aABC面积的最大值.【答案】（1）（2）些.3 4【分析】（1）利用切化弦、正弦定理边化角、三角恒等变换可得cosA=—,即可得答案；2（2）利用余弦定理可得3=从+。2一儿，再利用基本不等式得到所取最大值,面积取得最大值；【详解】tanA2c,sinAcosB2sinCrlItsinSeosA+sinAcosB2sinC（1）・・・1+ =—,/.1+ = 即 = ,tan8bsinSeosAsinB sinBcosA sin8

sin(A+B)2sinC^ 4 1八， 47t = ,整理得cosA=一・.・0vAv4,A=—.sinBcosAsinB 2 3(2),.•/=+/—2Z?ccosA<〃=>/3,(\/3)~=b~+c~-2bcx—=+c2-he»即3=/?2+c?-bcN2/?c-0c=0c,当且仅当力=c=Ji时，be取最大值，从而5八八”=^bcs\nA<^-^--所以aABC面积的最大值为迪.4【题型六】解三角形最值型2：周长最值【例1】.aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a=2,acosB=(2c-b)cosA.(1)求角A的大小；(2)求aABC周长的范围.【答案】(1)—；(2)(4,6].【分析】(1)将acosB=(2c—Z?)cosA利用正弦定理和两用和的正弦公式化简得sinC=2sinCeosA,从而可得A的值.(2)由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围.【详解】(1)由已知，得acos8+bcosA=2ccosA.山正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCeosA.即sin(A+5)=2sinCcosA,因为sin(A+8)=sinC.I Ji2(2)由余弦定理/=/?2+《2-2〃ccosA,得如+4=〃+c2所以sinC=2(2)由余弦定理/=/?2+《2-2〃ccosA,得如+4=〃+c2即(b+c)2=3反+4.因为加工所以(b+c)243s+c)2+4,即b+cW4即(b+c)2=3反+4.因为加工号成立).又,：b+c>a,即2<b+cW4,所以4<a+b+cW6,即周长的范围为(4,6]【例2】.已知a,b,c分别为A4BC三个内角A,8,C的对边，acosC+y/3asinC-Z?-c=0.(1)求，的大小；(2)若a=7,求AABC的周长的取值范围.【答案】(1)4=60°；(2)(14,21].试题分析：(1)根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系sinAcosC+JisinAsinC-sin5-sinC=0利用：A+8+C=万，得到sinB=sin(A+C),再利用两角和的正弦定理，化简为：百sinA—cosA=l，利用辅助角公式得到：sin(A-30°)=i,进而求得：4=60。：(2)根据余弦定理得到关丁Ac的关系式；49=/?2+c2-2/?ccosy=(/?+c)2-3Z?c,利用基本不等式得(b+cp44x49,所以三角形的周氏的取值范围为(14,21].试题解析：(1)由正弦定理得：acosC+>/3asinC-力-c=0osinAcosC->/3sinAsinC=sinB+sinC=>sinAcosC4-V3sinAsinC=sin(A+C)+sinC=>>/3sinA-cosA=1<=>sin(A-30°)=—2=>A—30=30<=>A=60(2)由已知：/?>0,c>0,b+c>a=7由余弦定理49=b2+c2-2bccosm=e+c)2-3bcN3+c)2-j(b+c)2=；(b+c)2(当且仅当〃=c时等号成立)A(b+c)2<4x49,又。+。>7,，7<6+。414.从而，13(7的周长的取值范围是(14,21]【例3】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设屉sin4=a(2+cos8).(1)求8；(2)若aABC的面积等于求△A5C的周长的最小值.【答案】(1)—：(2)4+25/3.【分析】(1)先利用边角互化将描sinA=a(2+cosB)转化为关于8的方程，求出NB.(2)因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得.【详解】(1)因为6〃sinA=a(2+cosB),由正弦定理得Gsin8sinA=sinA(2+cosB).因为Aw(0,乃)，所以siM>0,所以Jisin8-cosB=2，TT TTTT /TT所以2sin(3—一)=2,因为8£(0,万)，所以3——=-,即8=——.6 62 3(2)依题意叵£=6，即ac=4.所以a+cN24=4,当且仅当a=c=2时取等号.4又由余弦定理得=a2+c2—2accosB=cT+c2+ac>3ac=12.♦•622石，当且仅当。=。=2时取等号.所以△ABC的周长最小值为4+26.【例4】在aABC中，角A，B•C的对边分别为b,c,且JJsinA+cosA=2,«=4.(1)求角A的值；(2)求b+c的取值范围.TV【答案】(1)A=-；(2)Z?+ce(4,8J.3【分析】(1)利用辅助角公式化简题中式广，得到百sinA+cosA=2sin(A+2)=2,从而求得A+—=—,进而求得A=M；62 3TOC\o"1-5"\h\z(2)根据正弦定理得到2/?=-9一=号6=一—=—,从而可以求得b+c=§G(sinB+sinC),sinA3sin3sine 3能得到sinB+sinC=Gsin(8+^),结合角8的范围，求得sin(B+2卜(g,l,进而得到Z?+cg(4,8].【详解】(I)VV3sinA+cosA=2sin|A+—|=2AA+—=—,即4=工.I6J62 3(2)由正弦定理得2/?=1-=号石=，一=二，.•.b+c=§G(sin8+sinC),sinA3sin3sine 3:sin8+sinC=sin8+sin(g)一8)=gsin8+*cosB=>/3sin^S+^.又—j,/.sinf一—』，b+ce(4,8].【题型七】解三角形最值型3：边长最值1]a,b,c分别为A4BC三个内角A,B,C的对边，且满足2Z?cosC=2«-c.求成（2）若AA5C的面积为百，求》的取值范围.【答案】（1）y:（2）[2,-^0）.【分析】（1）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求8;（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可得。的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得2sin8cosc=2sinA-sinC在A45c中，sinA=sin（B-f-C）=sinBcosC+sinCcosB2sinBcosC=2sinBcosC+2sinCeosB—sinC即2sinCeos3=sinCTOC\o"1-5"\h\z1 7[•「OvCv4,sinCw0「.cos8=—,•/0<B,/.B=—2 3（2）三角形面积公式S=1acsin8=』acxN>=>/5,可得：ac=4.2 2 2由余弦定理得：tr=a2+c2-2accosB-cr+c2-ac.,ac=4当且仅当a=c=2时，“=”成立，.,2.・2.「2的取值范围是[2,yo）.【例2】在aA5c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知"+L-”=型118二1114.be sinC（1）求角C的值；（2）若a+8=4,当边c取最小值时，求aABC的面积.【答案】（l）C=g：（2）Sa4BC=>/3.【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值.（2）由余弦定理求得0?5"的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到ab的值，进而求得三角形面积.TOC\o"1-5"\h\z，2, 2_2【详解】(1)由条件和正弦定理可得一=2b—a，b1 7T整理得从+〃2一,2=4〃从而由余弦定理得COSC=二.又•・七是三角形的内角，・・・C=7.2 3(2)由余弦定理得，=a2+Z?2-2abcosC=a2 -ah»*/a+〃=4，:.c2=a2+b2-ab=(a+-3ah=\6-3ah,二，2=16-3。6216-3(等)=4(当且仅当a=b=2时等号成立).，c的最小值为2,故“=1碗。="【例3】cosC2a-c在^ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，——=——，且a+c=2.cosBb(1)求角B；(2)求边长b的最小值.n

B=-【答案】(1) 3(2)1cosC2sinA-sinC试题解析：(I)由已知8sBsinBgpcosCsinB=(2sinA-sinC)cosB,sin(B+C)=2sinAcosBzsinA=2sinAcosB,1ncosB=-B=—团ABC中，sinAwO,故2 3nB二一1 2 22 22 2 2(团)由(I) 3因此b=a+c-2accosB=a+c-ac(|^=(a+c)-3ac=4-3aca+c924-3(——)=4-3=12 故b的最小值为1.【题型八】解三角形最值型4：系数不同型最值(非对称型)[例1]已知aABC的内角A,5,C的对边分别为a,h,c,若2ccos8=2。+6.(1)求角C(2)若aABC的面积为4后，贝！)3/+。2的最小值.27r【答案】(1)c=—；(2)80.【分析】(1)根据2ccosB=2n+6,利用正弦定理可得2sinCcos3=2sinA+sinB，然后转化为2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,再利用两角和的正弦公式求解.(2)根据aABC的面积为4百，得到成=16,再利用余弦定理得到。2=/+。2+]6,代入为2+。2,结合=16利用基本不等式求解.【详解】(1)因为2ccos8=2tz+0,由正弦定理得：2sinCcos6=2sinA+sin/，所以2sinCcos8=2sin(3+C)+sin8,即2sinBcosC+sin3=0,又sin3>(),故cosC=-■-,故C=-.2 3(2)因为aA5c的面积为46，所以;HsinC=4ji,即g"x*=4ji，故cib=16"山余弦定理可得c"=ci+b—2abeosC-ci~+b—2xl6x1———u+h+16,所以3a2+=3。2++6+16=4。2+/+16N4a〃+16=80，当且仅当2。=b=4&时等号成立，故3a2+c2的最小值为80.【例2】已知aABC中，4c分别为角A,8,C的对边，且(2a-b)tan5=btanC(1)求角C;(2)若acos3+〃cosA=2,求q+2力的最大值.【答案】(1)C=9；(2)生旦.【分析】(1)根据正弦定理，将已知等式边化为角，并化切为弦，结合两角和正弦公式，求出cosC,即可得出结论；(2)由已知等式和正弦定理，求出c边，根据(1)的结论和正弦定理，将。+力化为角A的正弦型函数，结合A角范围，即可求解.【详解】(I)由正弦定理得(2sinA-sinB)任一=sin8号一，v0<5<^,.-.sinB>0,cosBcosC/.(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,TOC\o"1-5"\h\zvO<A<7T.:.sinA>0cosC=—,0<C<7rf/.C=—；2 3(2)设△ABC的外接圆半径为R，V6tcosB+/?cosA=2,27?(sinAcosB+sinBcosA)=2R•sin(A+A)=2R•sinC=c=2,c c 4 2/.a+2b=sinA +2sin8 =—j=(sinA+2sin(—tc-A))sinC sinCJ3 3=3(sinA+GcosA+sinA)=-^(2sinA+GcosA)=l^Hsin(A+/)，其中v3 v3 3g2sincp=[=,cos(p= ,24 2万 tc /oi*/0<A<—Y*, <A-\-cp< +cp»当A+e=5，B|JcosA=sin(p= 时，q+2。取最大值为472?【例3】在三角形ABC中，角A8,C所对的边分别为a,h,c,已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sin8).(I)求角C的大小；（n）若c=G且b..c,求的取值范围.「出马【答案】（।）（11）早6【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角。；（2）由正弦定理“J得b=2sin8,a=2sinA,将b-转化为关于3的三角函数，利用三角函数的性质2求出取值范围.【详解】解:（1）・.,（a-c）（sinA+sinC）=b（sinA-sin8）由正弦定理，（。-c）（〃+c）=力（。一/7）,即a1-c2=ab—b2由余弦定理，cosC=fl+b~C=--又•.•Ce（O,4）.•.C=生.TOC\o"1-5"\h\z2ab 2 3b_a_c_v3_（2）因为c=代IL力Nc，由正弦定理得sinBsinAsinCG»T27T 27r 7t 27r，b=2sin8,a=2sinA,B+A=——：.A= B：b>c：.B>C：.—<B<—3 3 3 3b—ci=2sinB-sinA—2sinB-sin（ 81=—sinB -cosB=>/3sin（B——）2 I3J2 2 6兀，c兀,1..fD7 1月份、—WB <一..-4sinB <1..b—ug—,>/36 622 （6） 2 |_2J【例4】在AABC中，a,b,c分别是角A8,C的对边（a+6+c）（a+b-c）= .（1）求角C的值；（2）若c=2,且A4BC为锐角三角形，求功-力的范围.【答案】（1）j；（2）（0,273）a_b_2J£TOC\o"1-5"\h\z【分析】（1）由题结合余弦定理得角C的值；（2）由正弦定理可知，sinAsinB乃3 ，得sin—32a-b=-^3sinA--43sinB,利用三角恒等变换得A的函数即可求范围3 3【详解】（1）由题意知（。+人+。）（。+〃一。）=3。〃，・・・/+〃2一/=48，由余弦定理可知，cosC=a+b~c=-,又：。€（0,4），，。=工.2ab2 3_£_=_±_=_2_=1JJ（2）由正弦定理可知，sinAsin3.乃3 ，sin——3即a=-6sinA,〃=一Gsin3,3 3

"nA:.2〃-h=»GsinA-qGsinB=-V3sinA-->/3sin(--A)=^^-sinA-2cos4-3 3 3 3 3 3"nA6G

亍巧6G

亍sinA-2cosA=4(—sinA——cosA)=4sin(A——)，

2 2 6八47r0<A<一又•.'△ABC为锐角三角形，•••〈 ； ,则一<A<一即0<A一-<-,八八2乃，乃6 2 6 3所以，0<sin(A—^)<‘即0<4sin(A-J)<2百,6 2 6综上2a—方的取值范围为(0,2JJ).【题型九】解三角形最值型5：无边长最值型【例1】.在AA5C中，角A&C所对的边分别为“,b,c,满足垩g+即+2=o.COSCCC(1)求NC的大小；(2)求sin?A+si/B的取值范围.【答案】(1)C=—(2)sin2A+sin2Be[-,-)3 241 2乃试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得cosC=-5,・・・。=§.⑵化简三角函数式sin?A+sin汨=1-'sin卜A+四],又0<A<二，sin2A+sin2Be2k6J 3 [_24,cos/?2ab解：(I) —■—+—+—=0, ccosB4-2acosC4-bcosC=0,:.cosCccsinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，TOC\o"1-5"\h\z. —1 _27rsinA4-2sinAcosC=0»VsinA工0,cosC=—,C=—.2 3.24 ,2n〔cos2A+cos2B. A A7t4ca4 5.(Il)sin-A+sin~B=l =1——sin2A+—,又0cAv—,，一<2A+—v—2 2I 3 6 6 (<sinf2A+j<1,即sin2A+sin2BG.【例2】在△ASC中，内角A8,C所对的边分别为 已知〃sinA=4Z?sinB,ac=y/5(a2-b2-c2).(I)求cosA的值;(II)求sin(23—A)的值.【答案】(I)一些(II)-毡5 5

试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系。=26,再根据余弦定理求出cosA,进而得到sinA,由a=2Z?转化为sinA=2sinB,求出sinB,进而求出cosB,从而求出23的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.ah试题解析：(1)解：由asinA=4加inB,及 = ,得a=2b.si"sinB由。。=石(。2-/一已2),及余弦定理，得_/?24-C2-a2_~~^ClC_5/5.2bcac5(II)解：由(I),可得sinA="\代入asinA=4^sinB,得$皿3=竺呸=好5 4b5由(I)知，4为钝角，所以cosB=Jl-sin*=冬叵.于是sin28=2sinBcosB=',5 5cos2B-1-2sin?B=—,故5sin(2B-A)=sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=-x舟3-2^ ?亚 X = 5 5 5【例3】口.2c.2B3bc在aABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且:sin-彳+csiirj=2 22(0+c+q)(1)求角A的大小；a-4-b(2)若c>a,求6=——的取值范围.c7T【答案】(1)A=-；(2)l<m<2.【分析】(1)利用降哥公式化简，再根据余弦定理即可求解；,小£2(2)根据正弦定理及三角恒等变换m=——可化为加=7—C+2，结合一<C〈——即可求出m的取c 2tanz3 32值范围.…2八,、、+ ,2BZ?(l-cosC)c(l-cosB)b+cbcosC+ccosB【详解】(1)由/?sin—+csin'—=— L+- L= 2 2 2 2 2 2cr+b2-c2+a2+c2-b-_b+c 2a 2a _b+ca_b+c—a~F 2 ―F--2~~2~1c 所以—2—=2(h+c+ay可得(6+。)2一〃=3儿，^b2+c2-a2=hc.TOC\o"1-5"\h\z>2. 2 2i]由余弦定理得cosA= 又Ae(O,7i),所以A=f.2bc2bc2 ' ) 3(2)由cin4-uc；nR骞+，亩(与-—+—COSC+-sinC^(1+COsC).(2)田smA+smB2 13 ) 2 2 2 _2 f,1lit~~ = — — ~sinC sinC sinC sinC2

7T因为C>。，所以C>—7T因为C>。，所以C>—»3ze>/3C[Tf'f—<tan—<y/3»3 2—C+2=0.c+2^V~C+2'2sin—cos— 2sin— 2tan2 2 2 2,八—2兀ULi、|兀c27tULi、|兀C兀又6+C=—,所以一<CV—,所以一<—<一,3 3 3 623<g所以3C，所以1<机<2.tan—【例4】设—46。的内角A,B.C的对边分别为,已知2bcosB=acosC4-ccosA.(1)求8；(2)若aABC为锐角三角形，求£的取值范围.a【答案】(1)B嗔(2)(；,2)【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosB的值，进而求得B的大小.TOC\o"1-5"\h\z(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得£的表达式，进而求得£的取值范围.a a【详解】(1)由题设知，2sinBcos/=sinAcosC+sinCcosA.即2sinBcosB=sin(A+C),所以2sinBcos3=sin3，I 7i即cos8=一,又・.・0v5V4所以3=一.2 3r](2)由题设知，csinCsin(120u-A)彳-人+^皿A,即£=且J+lt—==~T= ：-7 = ：—"7 a2tanA2asinAsinA sinAn i又AAbC为锐角三角形，所以300cA<90°,即tanA>$之所以0< <百，即3 tanA22-^—+-<2tanA2所以£22-^—+-<2tanA2所以£的取值范围是a【题型十】解三角形综合求值型：四边形[例1]TT 2女如图，扇形。MN的半径为石，圆心角为A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足/。84=号.⑴若OB=1,求AB的长；(2)求AABM面积的最大值.【答案】⑴1：(2)—.4【分析】(1)在AOAB中，利用余弦定理即可求48；(2)由题可知A8〃OM,则S,“ab=Sqb，设OB=x,AB=y,在aO48中利用余弦定理和基本不等式求事刈的最大值，再由Sqm=当孙即可求面积最大值.在△0A8中，由余弦定理得，OA2=OB2+AB2-2OB-ABcos^OBA,即3=1+AB2-2.AbUBPAB2+AB-2=0,BP(Afi+2)(AB-l)=O,；•AB=\-.TT 2乃•/NMOB=-,/OBA=——，/./MOB+ZOBA=万，：.OM//AB,S^MAB=SMAB,设OB=x,AB=y,则在aOAB中，山余弦定理得，0]=。用+a"-2。丛A8-cosNO8A,即3=x?+y2+刈厘2个+孙=>"1,当且仅当x=y=l时取等号，SOAB=—•OB-AB-sin^OBA=--x-y——=xy„——>当且仅当x=y=1时取等号.2 22 4 4...△ABM面枳的最大值为由.4【例2】如图，在凸四边形A8CO中，已知AB=A£>=4,BC=6.(1)若Z.ADB=—,C=~,求cosZ.BDC的值；6 3(2)若8=2,四边形A8C0的面积为4,求cos(A+C)的值.【答案】(1)五；(2)|,4 6【分析】(1)△中求出8£),在△BCE)中，由正弦定理求出sin/BDC,根据cosZBDC=Jl-sin?ZBDC即可求cosNBDC；(2)在△AB£>、△CBD'P,分别由余弦定理求出BQ?，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由§皿“=5小如+5白8“=去4£>A8.sin4+=C8.C£).sinC的silM与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求

出cos(A+C).⑴在^中，・・・A8=A£>=4，ZADB=—, BD=2ADcosZADB=2x4xcos^=4>/3.6 6在ABC。中，由正弦定理得，.=吟,••.皿28/^=吗¥=竺雅=1•sinZBDCsinC BD4G4BC<BD,：.0<NBDC<1,...cosZBDC=71-sin2ZBDC=Jl-甯=杏.(2)在4ABD、ACB£)中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA,BD2=CB2+CZy-2CBCDcosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC,从而4cosA-3cosc=T①，由 +SACB„=-x4x4xsinA+^x6x2xsinC=44sinA+3sinC=2②，(D2+②:得，16(sin2A+cos2A)+9(sin2C+cos2C)-24(cosAcosC-sinAsinC)=5, cos(A+C)=^.【例3】在aABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,已知2ccos8=2a-b.⑴求C；(2)若AB=AC,。是IBC外的一点，且AE>=2,CD=l,则当ND为多少时，平面四边形ABC。的面积S最大，并求S的最大值.【答案】(l)C=g(2)NO=苧时，S最大值为亚+23 6 4【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用两角和差公式进行化简即可.(2)将四边形面积分成两个三角形面积和来解决，设AC=x,则利用x分别表示aABCaADC的面积，然后在aADC中，利用余弦定理找到x与NO的关系，最后构造函数利用函数值域来求最值.:在aABC中，内角A8,c所对的边分别是a,b,c,已知2ccos8=2a-b.，由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA-sinB,又A=t-(B+C),2sinC-cosB=2sin(8+C)—sinB=2sinBcosC+2cosBsinC—sinB,2sinBcosC=sinB.vsinB^O,TOC\o"1-5"\h\zJicosC=—,0<C<乃，C=—.3TT•：AB=AC,NACB=《，.A4BC是等边三角形，设AC=x,NO=6,A ।\AD=2»CD=1,:.SARr=—x2»Sw=-xAOxCQxsinO=sin。，4 2—+2sinf0--L7T由余弦定理得AC?=x2=l+4-4cos^=5-4cos0,h /a s巧—+2sinf0--L7T:,S=SaABC+SaADC=—x2+sin0=-2-(5-4cos^)+sin0=--+sin0->/3cos0=nc冗27cQ0v8v冗,--y<—»・•.当sin(e-?J=l,即e=V时,平面四边形ABC。的面积S取最大值5,皿=基+2.【例4】如图，在圆。的内接四边形ABCD中，BC=12,AB=8,记aABC的面积为耳，zMC。的面积为邑,ZABC=a.\ /C(1)若A£>=4,CO=8,求Si+S2的值；(2)若a=60。，求邑的最大值：(3)若C0=8,求S-S2的最大值，并写出此时a的值.【答案】⑴326；⑵型叵；(3)32.3【分析】(1)利用同一圆内，相等弧长所对圆周角相等，得到四边形为等腰梯形，即可求出面积.(2)利用余弦定理和基本不等式，即可求解.(3)在aABC和ZL4CD中，利用AC?=AC?,即可解出AD,即可求出岳-昆的最大值.【详解】解：(1)因为AB=CD=8,根据同一圆内，相等弧长所对圆周角相等，得NBC4=NC4£).故。C〃4X所以四边形A8CZ)为等腰梯形，过点A作AF_LCD.AF=4AB^-BF2=J64—16=班.所以岳+邑=5.9=犷4+⑵、4指=32君所以N£）=12（1,所以在AAC£）中，112=AO2+OC2—2xA£）x£>Cxcosl2（r23xAZ）x£>C.（当且仅当AZ）=OC取等号）所以AOxOC4坐，所以s=J_xAOxOCxsinl20YLxL2x3="叵.所以星的最大值为空叵3 22 2 3 2 3 3（3）Sj-S2=：x8xl2xsina-；x8xADxsina=（48-4A£））sina在△ABC中，AC2=824-122-2x8xl2xcosa.在AACO中，AC2=82+AO2+2x8xAZ）xcosa,联立以上两式得：AD2+16cosaxAD+192cosa-144=0,（AD-12-1-16costz）（AD+12）=0,解得:AD=12—16cosa或4>=—12（舍去）所以S]-S2=[48-4（12-16cosa）]sina=32sin2a,ae（0,^）TT当a=:时，S1-S2取最大值32.4

建汽景新雄考强俎秣.aABC的内角4,B9。的对边分别为&b,C.已知2cosc(acos8+Z?cosA)=C.(1)求角c；(2)若C=J7，Smbc=当'求AABC的周长.【答案】(1)C=y(2)5+5/7试题分析：(I)根据正弦定理把2cosc(acosB+bcosA)=c,化成2cosc(sinAcos8+sin8cosA)=sinC,利用和角公式可得cosC=!，从而求得角C；(2)根据三角形的面积和角C的侑.求得必=6,由余弦定理2求得边。得到AABC的周长.试题解析:(1)由已知可得2cosc(sinAcos8+sin8cosA)=sinC1 Ji2cosCsin(A+B)=sinC=>cosC=—=>C=—(2)Saabc(2)Saabc=—6?Z?sinC=>—V3=-ab-=>ah=6又a2+Z?2-2a/?cosC=c2a2+〃=13，/.(a+b)2=252 2=>。+/?=5.•.AABC的周长为5+J7sinA=V3(sinA=V3(1-cosA),:.sin>4+>/3cosA=2sinIA+—l=>/3,/.sinfA+y=B"v.在AABC中，角A8,C的对边分别为a,b,c,且公血。=&1-cosA(1)求角A的大小：【答案】(I)A=g；(2)25/13.【分析】(1)把产三=瓜中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得sin(A+&)=0，进而可求得1-cosA 3 2A=y.(2)由％BC=46可得be=16,再由余弦定理可求得a=2jm.【详解】l-cos/4(I)由正弦定理及"smC=&得sinAsinC=，nC,sinC^O.l-cos/4，八 万,乃44 4424 品冗乂0VAv/,•*.-vAh—<—,AH—=—♦ A=.3 3 3 3 3 3

3.在aABC中，三个内角为A，B,C且满足(tanA-sinC>(tan8-sinC)=sin2c.（1）如果C=—,求sinAsinB的值；4（2）求cosC的最小值，【答案】（1）sin4sinB=1；（2）2 2【分析】TT⑴先对已知条件进行化简得到：^^^^血而力必，代入条件C=:即可求出S讥AS力西的值；⑵山⑴得到2c=s加As/力8，根据正弦定理可得到c?="，再由余弦定理结合基本不等式可得到-ci~+b~-c~ci~+h~-ah2ab—ah1 ai1—r,., _,,,,।,土cosC= = > =一，即可求出cosC的最小值.2ab 2ab2ab2【详解】解：（1）由已知得：sinC-^tafiA+tanB^=tanAtanB即sinC^sinAcosB+cosAsinB^=sinAsinB,si〃C・si〃（A+8）=sinAsinB因为A+3=;r-C,所以s讥?c=s加4，山3.因为。=I,所以sinAsinB=Q（2）设三角形ABC的三边长分别为a,b、c则由（1）与正弦定理可得：c2=ab-a2+Z72-c2a2-^b2-ab2ab-ab1因为cosC= = > =—2ab 2ahlab2即COS。的最小值为y.4.已知a,b,c分别为AAbC内角A,B,C的对边，若同时满足以下四个条件中的三个：①—=2^~3C>②您与+£=竺，<^）a=底,④方=2及.（1）条件①©能否同时满足，请说明c3（a+b）cosAaa理由；（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应aABC的面积.【答案】（1）不能同时满足①②（2）若aABC满足①@©时，则aABC的面积为若aABC满足②©④时，则△A5C的面积为.【详解】（1）由①—二2、〃上3c得:3（。2+。2-从）=一2痘。由余弦定理c3（。+/?）cosB=cosB=a2+c2-b2_瓜

2ac3TOC\o"1-5"\h\z,cosCc2b七…一e小cosCsinA+cosAsinC2sinBorlsin(A+C)2sinB由②——7+—=——及正弦定理，得： —— =^—，即一一 因cosAaa cosAsinA sinC cosAsinA sinAj 九为A+C,A£(O,tt), sin(A4-C)=sinB^0,sinA^O,cosA=~,vAg(O,tf),：.A=—.因为cosB=—逅〈一工且3e(O,;r),所以8>主.所以A+8>4,矛盾.所以aABC不能同时满足3 2 3①②.⑵山(1)知，aABC满足①©④或②③④若aABC满足①@@因为b2=a~+c--2accosB所以8=6+c2+2xJ^xcx—9,即c2+4c—2=0，解得c=6―2或。=——2(舍去).3・•・aABC的面积S=—acsin3二百—正另：若aAbC满足②③©2TOC\o"1-5"\h\z, V62加~~~=~~y/3sin5，则sin8=l,所以8=彳，所以c=J/?2—片=,8—6= ，sinAsin8 — 22所以△ABC的面积S=—ac=—x\[6x>/2=>/3.2 2a hc5.&45。的内角为48,。的对边分别为兄儿。，已知——-——=，一+」—cosCsinBsinBcosC(1)求角8；(2)若b=&.，当AABC的面积最大值.【答案】(1)B=J(2)也±1.4 2qinAccsl-l.qin<试题分析：(1)利用正弦定理得：— =————,进而tanB=l,即可求出角5；(2)由0=&,cosCsinBcosC利用余弦定理建立等式关系，结合不等式的性质求解〃。的最大值，可得A48C面积的最大值.-“l，、c—eAERsinA cosC+sinC瓜题解析：(1)利用正弦定理得： = - cosCsinBcosCsinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinB又・・•sinB¥0・・・tan5=L5=—4(2)由余弦定理得：cosB—Z+l"="2+。22=也2ac2ac2二a2+c2-2=yf2ac>2ac-2<当且仅当"=c时取等号,ac<2+y[20 1 ♦Qs,B、66+1,« V2+1•Smbc=-acsinfi<-x(2+V2)x—=- Smax=——..已知a,b,c分别为aABC三个内角4,B,C的对边，cosC+Jisin。=」工.a(1)求A；(2)若a=JL求aA5c周长的取值范围.【答案】(1)A=y(2)(26,3百]【分析】(1)根据正弦定理得到cosC+J5sinC=^ —，化简得到sinA-g=彳，计算得到答案.sinA k6；2(2)根据余弦定理得到(6+c)2—3bc=3,利用均值不等式得到〃+cW26，得到周氏范围.【详解】(1)aABC中，cosC+6sinC=—由正弦定理得，cosC+x/3sinC=sinfi+sinCa sinA所以sinAcosC+GsinAsinC=sinB+sinC，即sinAcosC+V3sin4sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCeosA+sinC,

所以GsinAsinC=sinCcosA4-sinC：又Ce(0,乃)，所以sinCw0，所以6sinA-cosA=l，所以sin(A- 5，所以4一菅=看，所以A=(；(2)由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosAf则3=/+^一1：.(b+c)2-3bc=3,即3bc=S+c)2-3W3-(Z?+c)，化简得(b+c)2«12(当且仅当b=c时取等号)，则b+c42ji，又b+c>a=6所以aABC的周长a+b+c的取值范围是(26,3Ji]..已知aABC中，三个内角A，B,C所对的边分别为，，方，c,且cos（6+C）cos（6-C）=cos2A-sinfisinC.（1）求A的值；（2）求sin['—C）-2cos~万的取值范围.加「 3）【答案】（1）A=—：（2）-2,--I.,2 2 2 1【分析】（1）先根据•:用恒等变换化筒一知条件，再利用余弦定理求出cosA=一。=',即可得答2bc2