湖北省九师联盟2022-2023学年高三上学期8月开学起点考试数学试题（解析版）

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知集合但小2f-5<0},叼*1中2+1)},则()A.(—1,5) B.[0,5) C.(—l,+oo) D.[0,1)【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A,求函数值域可得集合8,进而可得4nB.【详解】解不等式得4={x|x2-4x-5<0)=(1,5),又f+121，所以y=ln(x2+l"。，即集合B=[(),4w),所以Ap|8=[0,5),故选：B.已知复数z=3r」，则归+司=()1-iA.5/2 B.5/3 C.-\/6 D.5/5【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简Z,可得5与区+3i|.3+i(3+i)(l+i),-【详解厂=口=^^=1+2'z=l-2i»z+3i=l+i,所以区+3i|=J『+]2=夜,故选:A..已知平面向量万，万满足同=2,6=。』)，|+夕=屈，则。在5上的投影向量的坐标为(122)C.(-1,-1)122)C.(-1,-1)B.(1,1)D."2,~【答案】B【解析】【分析】根据卜+司及相关公式可得限5,再根据投影向量的计算公式求解.【详解】\a+b\=\la2+b2+2ab=^\af+\b^+2a-b=布，忖=V12+12=近，所以2所以1在B上的投影向量为而,忖=B=。，1）,故选：B..在AABC中，“tanAtan3<l"是"AABC为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】推出tanAtanBcl的等价式子，即可判断出结论.,'辽 . "八， ，sinAsinB八cos（A+B）八-cosC八【详解】tanAtanB<1=1 >0= >0<=> >0cosAcosB cosAcosB cosAcosB<=>cosAcosBcosC<0<=>aABC为钝角三角形....在AASC中，“tanAtanB<1”是“MBC为钝角三角形”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.Q.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且4生%=27,%一生=一§，则44…%的最大值为（）A.9 B.8 C.3 D.27【答案】D【解析】【分析】设等比数列｛《,｝的公比为4（4>0）,由已知求出4、则4a2・一%=9" 转化为求指数的最值可得答案.Q【详解】设等比数列｛勺｝的公比为4（4>0）,则由44%=27,4-生=一§得kv=27\ /2,\ 8，解得q=T，4=9,-）=一§ 3/1、1+2--1 5n-n2 L—fn--Y所以的2…%=9"； =3^=32L412”，当且仅当〃=2或〃=3时4a2…%的最大值为33=27.故选：D.fy26.已知双曲线C:[-2=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，咒，过好作直线/与。的左、右两支分别ab交于M,N两点，且aMNK是以NMNK为顶角的等腰直角三角形，若C的离心率为e,则e?=（）5+373 B.5+3血 C.5+2& D.5+273【答案】C【解析】【分析】设|MN|=|NKI=n|M61=3m，求出m=2&a，再根据1%耳「+|代用『=|6人『得解.【详解】解：^\MN\=\NF2\=i7j,\MF2\=y/2m,由双曲线的定义得|肛|= 2a，又|NKI-INF]|=2a,m+V2w—2a—m=2a> m=2-J^a-^\NF^+\NF2^=\FlF1^,所以（2缶+2a）2+（2缶）2=4c2,2所以二=5+2&,.・.e2=5+2行.a'故选:C7.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（A.支出最高值与支出最低值的比是8：14至6月份的平均收入为50万元C.利润最高的月份是2月份D.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图即可判断各选项，此类问题属于容易题.【详解】由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1,故A错误，由图可知，4至6月份的平均收入为』(50+30+40)=40万元，故B错误，由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，故选D.【点睛】本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题.8.若不等式e*T-如一2〃一3..0对也€11恒成立，其中mw(),则'"的最大值为()mln3e , ，一 In3eA. B.-In3e C.In3e D. 2 2【答案】A【解析】【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数不同的取值，分类讨论，求得函数的最小值，再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.【详解】令/(x)=e*T-尔一2”一3,求导得I<x)=e*T-/n,当“<0时，易知函数/(力单调递增，函数值域为R,则不合题意；当机>0时，令/'(x)=0,解得x=lnm+l,可列下表：

TOC\o"1-5"\h\z一/口 1I J可得—W—Intn ,m2 2mi 3 i3 3-tn令8（3）=一彳111加一丁，求导得g'（x）=一丁+『=力-2 2m 2m2m 2m故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在长方体ABCO-ABiGA中，A8=AA1=6,AD=2,则（ ）A.平面A81G。，平面ABC"JTB,直线4片与CR所成的角为万C.A到平面BDD\B\的距离为3五D.直线A3与Aj所成的角为二3【答案】AB【解析】【分析】设4与048=£,CD,nClD=F,连接EE，由二面角的定义可得乙4,£耳即为平面A4G。与平面ABC2二面角的平面角，根据四边形田为正方形贫困的A；因为CR〃8A，所以直线与64所成的角即为直线与CR所成的角，由四边形A4瓦8为正方形，可判断B；做AO_L8£＞交8。于。，根据线面垂直的判定定理得AO_L平面〃与8。，求出AO的长度可判断C；连接48,AG，BgAD,,直线AB与BG所成的角即为直线48与AQ所成的角，利用余弦定理得可判断D.【详解】对于选项A,设A4nA3=E,CDinClD=F,连接平面人与6。0平面ABCR=EF,所以RE分别是平面ODCC、平面44,54的中心，FE//A,D,,因为4〃，平面AA,B,B,所以庄平面44,耳B,A,E,与Eu平面A448,所以EF±\E,EF1B.E,即乙4,后4即为平面AB]C}D与平面A8C.二面角的平面角，因为4B=AA=6,所以四边形44,8田为正方形，所以NAEB1=90,故A正确；对于选项B,因为CR//BA,,所以直线AB1与所成的角即为直线A片与C。所成的角，由四边形AA8乃为正方形，所以NAE4=90,所以直线AB1与C2所成的角为T，故B正确；

对于选项C,做AO_LBD交8。于0，因为与B_L平面ABC。，AOu平面ABC。，所以BtBlAO,又B[Bp\DB=O,BADBu平面\8出。,所以AO_L平面R与8。，所以AO的长度即为A点到平面D.B.BD的距离，因为ADxAB=AOxBD,I: r ।——r<e ADxAB3jl0BD=\lAD2+AB2=2V10-可得ao=—BD5故C错误；对于选项D,连接AB,AG，BCeADt,因为BC//AA，所以直线48与BG所成的角即为直线A/与A£)|所成的角，A.B2=A,A2+AB2=12,C®= =40,AC：=AB；+C[B；=40,由余弦定理得

故D错误.72+故D错误.2x6V2x2>/i0-20cosZ/^BC]=2ABxC、B故选：AB.10.已知函数/(x)=cosx[ln(2乃一x)+lnx],cosZ/^BC]=2ABxC、B故选：AB.A.八外的图象关于点(①0)对称/(x)的图象关于直线X=7对称/(T+x)是奇函数D.八幻有4个零点【答案】BD【解析】【分析】根据对称性，利用公式，可得A,B的正误，根据函数的图象变换，构造新的函数，利用奇偶性的定义，可得C的正误，根据零点的定义，三角函数与对数函数的性质，可得D的正误.【详解】对于A,-/(-x-I-2/r)=-cos(—X+2^)[in(2^+x—2/r)+In(-x+2^)]=-cosx[lnx+ln(2^-x)]=-/(x)^f(x),故错误；对于B,/(-x4-2^)=cos(-x4-2^)[in(2^+x-2^)+In(-x+2^)^|=cosx[lnx+ln(2万一= ,故正确；对于c,/(%+x)=cos(%+x)[ln(2%—%—4)+ln(4+x)]=—cosx[ln(万一x)+ln(4+x)],令g(x)=—cosx[ln(;r—x)+ln(;r+x)],则g(r)=_cos(-x)[ln(4+x)+ln(万一x)]

=-cosx[ln(万一x)+ln(4+x)]=g(x),故错误；(2tt-x>0对于D,由/(x)=cosx[ln(2乃-x)+lnx],则〈 ，解得0<尤<2)，x>0则cosx=0有两个解，因为ln(27T-x)+lnx=0,ln(2)x-x2)=o,2ttx-x2=11令〃(力=£-2zrx+l,则〃(0)=1>0,〃(2乃)=24+1>0,_2乃由》=--1-=)€(0,24),*=4)2-4>0,则Irx-f=1在xe(O,2乃)内有两个根，故正确.故选：BD..有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6"，则()A.甲与丙相互独立 B.丙与丁相互独立 C.甲与丁相互独立 D.乙与丙相互独立【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为A及。,。，则有尸(A)=P(8)=1,P(C)=—,P(D)=—=-,v'25'"255对于A,显然甲丙不可能同时发生，即P(AC)=0hP(A)P(C),A不正确；对于B,显然丙丁不可能同时发生，即P(CO)=OhP(C)P(D),B不正确;对于C,P(AD)=—=P(A)P(D),甲与丁相互独立，C正确;对于D,P(BO=—^P(B)P(C),D不正确.故选：C.已知抛物线C:/=-8y的焦点为E，过F的直线/与抛物线C相交于两点，分别过A3两点作C的切线4,4,且44相交于点尸，则()A.\PF|=4APAB为直角三角形面积的最小值为16B.点pA.\PF|=4APAB为直角三角形面积的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】根据题意联立直线/与抛物线。的方程，得到石+%2=-84,x,x2=-16；再求出切线尸A和P8的方程，联立求得交点P(-4N2),然后分别对选项判断即可.【详解】由题可知，抛物线C:/=-8y的焦点R(0,-2),显然直线/的斜率存在，设直线方程为y=Ax-2,A(X|,yJ,B(x2,y2),P(x0,y0)y=kx-2联立《, ,消去y并整理得f+8日—16=0，x=-Syxt+x2=-8k,XyX2=—16,由C:x2=_8y得，y=--x2,Ay'=--x,"8 ' 4故切线24故切线24方程为:—%(x-%)①故切线PB的方程为：y+—X22=-1X2*-12)②o4联立①②得%=三产=^^,%=2对于A,•.•P(TZ,2),尸(0,-2),.•.|PF|=4不正确,故A不正确；对于B,•.•P(TA,2),显然点P在直线y=2上，故B正确；TOC\o"1-5"\h\z4十「W/八 3 ’ , 12 12对于C，PA=(x+4%,y-2)，PB=(x2+4k,y2-2),yI="gxi,%=一§/，丽•丽=(%+4幻(%+软)+(y—2)(%-2)=X[X?+4左(％+12)+16女2+凹,2—2(y+y2)+4将乂丫2=,工；%；，y1+y2=--((X)+x2)2-2x}x2),且％+工2=一版，xxx2=-16,代入上式化简64 8得：•••月屋/^=0，△%B为直角三角形，故c正确；4k2.4| ._-对于D,p到直线/的距离为：d=!, !=4，1+k2,ViTT7\AB\=J1+公J(%j+工2)2.4中2=8(1+攵2),i 2.•应印=544用=16(1+/)2,当k=0时，(S“AB)min=16,故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..已知圆C:(x-2)2+(y—l)2=4,则过原点且与。相切的直线方程为.【答案】x=0或3x+4y=0【解析】【分析】分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.【详解】圆。：。一2)2+。-1)2=4的圆心坐标。(2,1),半径厂=2，当切线/的斜率不存在时，l:x=0,显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线/的斜率存在时，设斜率为3l'.y=kx,\2k-\\ 3由圆心到切线的距离等于半径得'p—=2,解得后=一一，VF+1 4所以直线方程为3x+4y=0.故答案为：3x+4y=0或x=0..五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为.【答案】12【解析】【分析】根据特殊元素优先原则，结合捆绑法可得解.【详解】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，又张三站在最右边，只有1种情况，所以不同站法种数为lxA；xA；=12种，故答案为：12.

.在三棱锥P—ABC中，三条棱PA尸&PC两两垂直，且24=P8=PC=2,则平面ABC截该三棱锥的外接球所得截面圆的面积为.［答案］【解析】【分析】根据画图，可得平面48c截该三棱锥的外接球所得截面圆为aABC的外接圆，根据勾股定理,可得aABC为等边三角形及其边长，求其外接圆的面积.【详解】由题意，平面ABC截该三棱锥的外接球所得截面圆为aABC的外接圆，其圆心为点。，作CE1AB,连接50,作图如下：因为三条棱PAP8,PC两两垂直，所以在R/aPAC中，AC2=PA2+PC2=8^同理可得：AB=AC=BC=2垃，则aABC为等边三角形，即圆心。为中心,则CE=C8sin60="，易知。。=2。七=亚则O。则O。的面积5坐、28=一冗，3R7r故答案为：--3.已知"X)是定义域为R的函数，/(X—2)为奇函数，/(2x-l)为偶函数，则Z/(i)=.i=0【答案】0【解析】【分析】依题意可得了(X)关于直线x=—l对称、关于点(-2,0)对称且时周期为4的周期函数，再求出41)+〃3)=0、/(2)+/(4)=0,即可得解.

【详解】解：因为/(2x-l)为偶函数，所以/(一2%-1)=/(2》一1),所以/(-x-l)=/(x-l),即y(-x-2)=/(x),则〃x)关于直线x=—l对称，因为/(X—2)为奇函数，所以/(》-2)=一/(一X一2),所以/(x)的图象关于点(—2,0)对称，所以/(x_2)=_〃—x_2)=_/(x),则/(x_4)=_/(x_2)=/(x),所以〃x)是周期为4的周期函数，由"X—2)=—/(一％—2)=—/(4一％—2)=—/(2—力，B[J/(x)=-/(-x),所以为奇函数，又f(x)是定义域为R的函数，所以/(0)=0,在/G—2)=-/(x)中，令x=—l,所以/(一3)=—/(-1)=〃1)=一〃3),所以/(1)+〃3)=0，在“无一2)=/(—x)中，令x=—2,所以/(Y)=/(2)=—〃4),所以〃2)+/(4)=0,所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,所以£")="0)+4"⑴+”2)+〃3)+〃4)]=0/=0故答案为：0四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..已知等差数列｛《,｝的前〃项的和为Sn,a2+S3=20,4=14.(1)求｛4｝的通项公式；(2)求数列I」一]的前〃项和并证明7；＜L〔4A+J 6【答案】(1)an=3n-l.证明见解析.证明见解析.【解析】【分析】(1)利用基本量法以及等差数列的性质求解.(2)利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明.

【小问1详解】设｛/｝的公差为乩由题意得:4"i+4"i+4d=20…解得4=2d=3所以a“=q+(〃_l)d=3〃_l.【小问2详解】,I令"= ,由(1)有：bnbn= (3〃—1)(3〃+2) 3\3n-l3〃+2)所以7；=K+b2+/+...+22-5+5-8+-，+3n-l-3n+2v«eN+, 5—>0,：.-———<-3〃+2 23〃+2213〃+13〃+2.已知aABC的角A.8,c的对边分别为a,b,c,且sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+£>sinB,(1)求角A;(2)若A£)平分44c交线段8C于点O,且AD=2,8O=2C。，求aABC的周长.【答案】(1)A=-tt3(2)9+3J7【解析】【分析】(1)先利用余弦定理化简ccosB+hcosC,然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A,

2（2）由5,叱=5,。+5©。结合人。平分®。，A=§）可得bc=2b+2c，作于E，则§由甘这■结合已知条件可得：=2,解方程组可求得"c,再利用余弦定理可求出。，从而可求出三角形的'△ACD b周长.【小问1详解】2, 2_r2 2.f2_2由余弦定理得ccosB+Z7cosc=ex-—— + -=a2ac 2ah所以sinA（ccos8+Z?cosC）—csin8=csinC+Z;sin8可化为asinA—csin5=csinC+Z;sinB再由正弦定理，得/一仍=。2+〃，得。2+从—/=_儿,所以cosA所以cosA=h2+c2-a2_12bc~-~22因为A£（0,〃），所以A=-;r3【小问2详解】TOC\o"1-5"\h\z, 一71因为AO平分4AC,所以N8AO=NCAO=—.3| 2 1 71 1由Sar=Se八+SrAn=>一〃・csin-1=—c・AOsin—+—ADsin—，aAZJLt^DnLftty.nU2 3 2 3 2 3得be=2b+2c.作AE_L8C于E，11q —c,AZJsin——BD,AEDr.TOC\o"1-5"\h\ze34加 2 3 2 c BD则/BD_ =/ zz>—= S.acd IfeADsin- -CDAE b DC2 3 2be=2bbe=2b+2cc=2b解得c=6,b=3.由余弦定理，得储=》2+c2-2bccosA=63,所以a=3"故aABC故aABC的周长为9+3J719.某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学''闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关，某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的

6道题，且每位同学能否闯过第一关相互独立.(1)求8同学闯过第一关的概率；(2)求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望.2【答案】(D|(2)分布列见解析，—3【解析】【分析】(1)用等可能事件的概率公式可分别求出答对2题和答对3题的概率，随之相加即可.(2)列出X的所有可能取值，且X服从二项分布，对每个取值求出相应的概率，列出分布列，从而求出数学期望.【小问1详解】fl同学闯过第一关的情况有答对2fl同学闯过第一关的情况有答对2题和答对3题,故B同学闯过第一关的概率P=C：+C：C；

C：o【小问2详解】【小问2详解】由题意可知X的所有可能取值为0，1.2,3,4,5,且X服从二项分布，即X〜P(X=4)=C=—,P(X=5)=2432P(X=4)=C=—,P(X=5)=2433)~243X012345P12431024340243802438024332243……、cl , 10c 40c 80 , 80u所以E(X)=0x F1x F2x F3x F4x F5x243 243 243 243 24332243~故X的分布列为10~320.如图1,四边形ABC。是梯形，A8//C£>,A£>=OC=CB=,A8=4,M是AB的中点，将2△AZW沿ZW折起至aA'OM，如图2,点N在线段AC上.（1）若N是AC的中点，求证：平面£>NM_L平面4BC；（2）若A'C=2#，平面NVM与平面COM夹角的余弦值为2叵，求5NC【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，取中点，得垂直，再根据线面垂直，可得线线垂直，根据面面垂直，可得答案.（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，根据向量夹角公式，求坐标，可得答案.【小问1详解】证明：取中点。，连接A'O,CO,易证£>A/_L平面加8,所以。又因为OC=DA'=4,所以ON_LA'C，而DNCDM=D,所以ACJ_平面。MN,又A'Cu平面A'BC,所以平面ABC_L平面。MN.【小问【小问2详解】解:易求得OC=OA=2百，又AC=2指，所以OC2+OA'2=A'c2,可得OC_LOA',而a。，。。,co，。。.以。为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。——Z,则£)(2,0,0),M(-2,0,0),C(0,2a/3,0),A(0,0,2百).设诉=儿花(噫此1)，则彳讨=(0,264-26/1)，得N(0,2ji/l,2G—2百九),所以而=(-2,2局,2百一2扁),MD=(4,0,0).设平面DMN的一个法向量为4=(x,y,z),Jw.^=0,J 4x=0,山‘丽.1=o,=<_2x+2x/I<y+(2百_2&)z=0,令y=4—1,则)=(0,4-1,2);易得平面DMC的一个法向量为区=(0,0,1).设平面ZJAW与平面£>MC夹角为6,则cos6>==¥■，即/ %=之亚,H-H5 依-1)2+万52 .解得或2=2(舍去).AN-所以——=2.NC321.已知A(—2加,0),8(2加,0),直线PAPB的斜率之积为一^,记动点尸的轨迹为曲线C.(1)求。的方程；(2)直线/与曲线C交于M,N两点，。为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为-一，证明:4Z^MON的面积为定值.2 2【答案】(1)土+匕=1(xh±20)8 6(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设P（x,y），求出直线24的斜率、直线PB的斜率，相乘化简可得答案；（2）直线/的斜率存在时，可设其方程为y="+m,直线方程与椭圆方程联立，设利用韦达定理代入左-kON匹=（向+'"）化简化简得XxX2 XjX2诏=4公+3求出1世|,再求出。到MN的距离d，可得ZoMNuglMNH/为定值；当直线/的斜率a2 2不存在时，可设M（毛,%）,N（%一%）,利用分“/加=一4、y+^=b解得可得S&OMN■【小问1详解】设P（x,y）,则直线P4的斜率痣），直线心的斜率kpB=x；正。02立）,由题意k-k_- -=」一---由题意巴相》+2&x-2&产-8一4'2 2化简得工+二=1（xh±2&）；8 6【小问2详解】直线/的斜率存在时，可设其方程为丫=h+”,1y=Ax+机，Jy2 化简得（3+4K -24=0,1"+不=\设”（不,,）,/7（毛,%），则△=（8km）2-4（3+4/）（4利2-24）=48（8公+6-根2）>0,8km4〃5-24TOC\o"1-5"\h\zX,+Xj= T9XtXj= j-»- 3+4-12 3+4公所以kk"%（g+m）（仇+6）公工也+版（％+w）+/X]X-2 X]X[ X]X]女2—24&*—8女2〃/+3加2+4%2/〃2= 3+4公4m2-243+4公

-24r+3病—3W-24~~4化简得病=4公+3则|MN|=-J\+k~I%-司则|MN|=-J\+k~I%-司=J1+12,48例2+6—明4石Jl+/"F+34公+34瓜/1+公3+4公又0到MN的距离duuz0 1......,14uuz0 1......,14、J1+k，43+4储 r-所以sOMV=-\MN\-d=——. •. =2V3.为定值." 2 2VTmFV17F当直线/的斜率不存在时，可设M(毛,%),N,2o 2 2则总心=-色-了且会卷=1，解得%=4加=3,此时S-=2x-x2|%治|=26，综上，aOMN的面积为定值2G.22.已知函数/(%)=X2-(/+2)x+alnx(agR).(1)当a=l时，求f(x)的单调区间；(2)当xNe?时，/(*)