2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件

第七节二次函数的综合应用第七节二次函数的综合应用考点一线段、周长问题例1(2017·东营中考)如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点．考点一线段、周长问题(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．(1)求A，B两点的坐标；【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时，△DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值．【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角【自主解答】(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)．∵∠ACO＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO.∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴点A的坐标为(－1，0)．

【自主解答】(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，∴∴抛物线的解析式为y＝(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，(3)由题意知，△DMH为直角三角形，且∠M＝30°，当MD取得最大值时，△DMH的周长最大．(3)由题意知，△DMH为直角三角形，且∠M＝30°，∴△DMH周长的最大值为∴△DMH周长的最大值为1．(2017·东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标．(2)求二次函数的解析式．(3)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标．1．(2017·东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果1．解：(1)A(1，0)，B(7，0)．(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－7)．∵过点(0，)，∴代入得7a＝.解得a＝，∴二次函数的解析式为y＝(x－1)(x－7)．1．解：(1)A(1，0)，B(7，0)．(3)∵点A，B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB，PA＋PD＝PB＋PD≥DB，∴DB与对称轴的交点即为所求点P.如图，设直线x＝4与x轴交于点M.∵PM∥OD，∴∠BPM＝∠BDO.又∵∠PBM＝∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴(3)∵点A，B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB，PA＋PD2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件(4)存在．由(2)可得出点C的坐标为(4，－)．∵AM＝3，∴在Rt△AMC中，tan∠ACM＝，∴∠ACM＝60°.∵AC＝BC，∴∠ACB＝120°.(4)存在．由(2)可得出点C的坐标为(4，－)．①如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QN⊥x轴于点N.如果AB＝BQ，由△ACB∽△ABQ得BQ＝6，∠ABQ＝∠ACB＝120°，则∠QBN＝60°，∴QN＝3，BN＝3，ON＝10，此时点Q的坐标为(10，3)．①如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QN⊥x轴于点N.如果AB＝AQ，由对称性知Q的坐标为(－2，3)，经检验，点(10，3)与(－2，3)都在抛物线上．②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，－)．综上所述，存在这样的点Q，使△QAB与△ABC相似，点Q的坐标为(10，3)或(－2，3)或(4，－)．如果AB＝AQ，由对称性知Q的坐标为(－2，3)，考点二图形面积问题例2(2016·东营中考)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.考点二图形面积问题(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，求点P的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为(x，－x2＋3x＋4)，继而可得△AMA′的面积，求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°【自主解答】(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)．∵点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，抛物线过点C，A，A′，【自主解答】(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，(2)如图，连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，(2)如图，连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，∴直线AA′的解析式为y＝－x＋4.设点M的坐标为(x，－x2＋3x＋4)，则S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4－(－x＋4)]＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，∴当x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′＝8，∴M的坐标为(2，6)．∴直线AA′的解析式为y＝－x＋4.(3)设点P的坐标为(x，－x2＋3x＋4)．当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，∴点B的坐标为(1，4)．点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点．(3)设点P的坐标为(x，－x2＋3x＋4)．①当BQ为边时，PN∥BQ，PN＝BQ.∵BQ＝4，∴－x2＋3x＋4＝±4.当－x2＋3x＋4＝4时，解得x1＝0，x2＝3，∴P1(0，4)，P2(3，4)；当－x2＋3x＋4＝－4时，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN＝BQ.②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP＝QN，此时P与P1，P2重合．②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP＝QN，此时P与P1，P综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3(，－4)，P4(，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为(0，0)或(3，0)．综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3(2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线B解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，∴－＝3，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(8，0)．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3(2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴点C的坐标为(0，4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得(2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.假设存在，设点P的坐标为(x，－x2＋x＋4)．如图，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.则点D的坐标为(x，－x＋4)，∴PD＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x，∴S△PBC＝PD·OB＝×8(－x2＋2x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.∵－1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.则点D的坐标为(x，－x＋4)，(3)设点M的坐标为(m，－m2＋m＋4)，则点N的坐标为(m，－m＋4)，∴MN＝|－m2＋m＋4－(－m＋4)|＝|－m2＋2m|.又∵MN＝3，∴|－m2＋2m|＝3.(3)设点M的坐标为(m，－m2＋m＋4)，则点N的当0＜m＜8时，有－m2＋2m－3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为(2，6)或(6，4)．当m＜0或m＞8时，有－m2＋2m＋3＝0，解得m3＝4－2，m4＝4＋2，当0＜m＜8时，有－m2＋2m－3＝0，∴点M的坐标为(4－2，－1)或(4＋2，－－1)．综上所述，M点的坐标为(4－2，－1)，(2，6)，(6，4)或(4＋2，－－1)．∴点M的坐标为(4－2，－1)或(4＋2，－考点三动点、存在点问题例3(2018·东营中考)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；考点三动点、存在点问题(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，【分析】(1)令y＝0，求出x的值，确定出OA与OB的长度，根据已知相似三角形的比例，求出OC的长即可；(2)根据C为BM的中点，求出OD的长度，利用待定系数法确定出直线BM的解析式，把点C坐标代入抛物线求出a的值，即可确定出二次函数解析式；(3)四边形ABPC面积最大即△BPC面积最大，向下平移BM与抛物线有唯一公共点时，△BCD面积最大，构造一元二次方程，求得Δ＝0时m的值，进而求得P点坐标．【分析】(1)令y＝0，求出x的值，确定出OA与OB的长度【自主解答】(1)令a(x－1)(x－3)＝0，可得x1＝1，x2＝3，∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OBC，∴＝，∴OC2＝OA·OB＝1×3＝3，∴OC＝.【自主解答】(1)令a(x－1)(x－3)＝0，可得x1＝(2)如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则CD∥OM.∵点C是BM的中点，∴OD＝OB＝，(2)如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则CD∥OM.设直线BM的解析式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标代入得设直线BM的解析式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标代入得2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件(3)存在．如图，∵S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPC，S△ABC是常量，S△BPC的面积随点P的位置变化而变化，∴向下平移直线BM，当平移后的直线B′M′和抛物线(3)存在．如图，∵S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPC2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件0000003．(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；3．(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若解：(1)由题意可得∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋6.解：(1)由题意可得(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直线解析式为y＝－x－2.如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H.(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直线解设D点坐标为(x0，－x02－x0＋6)，则F点坐标为(x0，－x0－2)，则DF＝－x02－x0＋6－(－x0－2)＝－x02－x0＋8.又∵S△ADE＝S△ADF＋S△EDF，∴S△ADE＝·DF·AG＋DF·EH＝×4DF设D点坐标为(x0，－x02－x0＋6)，则F点坐标＝2×(－x02－x0＋8)＝－(x0＋)2＋，∴当x0＝－时，△ADE的面积取得最大值.(3)P点的坐标为(－1，1)，(－1，±)，(－1，－2±)．＝2×(－x02－x0＋8)考点四二次函数综合题百变例题(2018·济宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；考点四二次函数综合题(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AM⊥BC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵抛物线经过点C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.

【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N，∴∠BAM＋∠ABM＝90°.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90°，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90°，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．设直线AM的函数解析式为y＝kx＋b，把A(3，0)，N(0，－1)代入得又∵∠BAM＝∠BCO，解得∴直线AM的函数解析式为y＝x－1.同理可求直线BC的函数解析式为y＝－3x－3.解方程组得∴切点M的坐标为(－，－)．解得(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．设Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．解得m＝1±.当m＝1＋时，m2－2m－3＝8＋2－2－2－3＝3，即P(1＋，3)；当m＝1－时，m2－2m－3＝8－2－2＋2－3＝3，即P(1－，3)．解得m＝1±.当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.当m＝0时，P(0，－3)(舍去)；当m＝2时，P(2，－3)．综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．当四边形BCPQ为平行四边形时，变式1：若点D是抛物线的顶点，求△ACD面积与△ABC面积的比．解：如图，连接AC，AD，CD，作DL⊥x轴于点L.变式1：若点D是抛物线的顶点，求△ACD面积与△ABC面积的∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC＝×(3＋4)×1＋×2×4－×3×3＝＋－＝3，S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，∴S△ACD∶S△ABC＝3∶6＝1∶2.∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EF∥BC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EF∥BC交抛物线于解：存在．理由如下：①如图，当点F在x轴下方时，作FR⊥x轴于点R.∵四边形BCFE为平行四边形，∴EFBC，∴△ERF≌△BOC，∴RF＝OC＝3，∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(与C点重合，舍去)，∴F(2，－3)．解：存在．理由如下：②如图，当F在x轴上方时，作FS⊥x轴于点S.∵四边形BCEF为平行四边形，∴EFBC，∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，解得x1＝1＋，x2＝1－.综上所述，F点为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．②如图，当F在x轴上方时，作FS⊥x轴于点S.变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GH∥y轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长．变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G解：设直线AC的解析式为y＝kx－3，则有0＝3k－3，解得k＝1，故直线AC的解析式为y＝x－3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0<m<3)．解：设直线AC的解析式为y＝kx－3，则有0＝3k－3，解得变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使△WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由．变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使△WB解：存在．点W的坐标为(1，0)或(1，－)或(1，)或(1，－1)．提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC＝，解：存在．点W的坐标为(1，0)或(1，－)或(1，2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件第七节二次函数的综合应用第七节二次函数的综合应用考点一线段、周长问题例1(2017·东营中考)如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点．考点一线段、周长问题(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．(1)求A，B两点的坐标；【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时，△DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值．【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角【自主解答】(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)．∵∠ACO＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO.∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴点A的坐标为(－1，0)．

【自主解答】(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，∴∴抛物线的解析式为y＝(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，(3)由题意知，△DMH为直角三角形，且∠M＝30°，当MD取得最大值时，△DMH的周长最大．(3)由题意知，△DMH为直角三角形，且∠M＝30°，∴△DMH周长的最大值为∴△DMH周长的最大值为1．(2017·东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标．(2)求二次函数的解析式．(3)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标．1．(2017·东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果1．解：(1)A(1，0)，B(7，0)．(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－7)．∵过点(0，)，∴代入得7a＝.解得a＝，∴二次函数的解析式为y＝(x－1)(x－7)．1．解：(1)A(1，0)，B(7，0)．(3)∵点A，B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB，PA＋PD＝PB＋PD≥DB，∴DB与对称轴的交点即为所求点P.如图，设直线x＝4与x轴交于点M.∵PM∥OD，∴∠BPM＝∠BDO.又∵∠PBM＝∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴(3)∵点A，B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB，PA＋PD2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件(4)存在．由(2)可得出点C的坐标为(4，－)．∵AM＝3，∴在Rt△AMC中，tan∠ACM＝，∴∠ACM＝60°.∵AC＝BC，∴∠ACB＝120°.(4)存在．由(2)可得出点C的坐标为(4，－)．①如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QN⊥x轴于点N.如果AB＝BQ，由△ACB∽△ABQ得BQ＝6，∠ABQ＝∠ACB＝120°，则∠QBN＝60°，∴QN＝3，BN＝3，ON＝10，此时点Q的坐标为(10，3)．①如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QN⊥x轴于点N.如果AB＝AQ，由对称性知Q的坐标为(－2，3)，经检验，点(10，3)与(－2，3)都在抛物线上．②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，－)．综上所述，存在这样的点Q，使△QAB与△ABC相似，点Q的坐标为(10，3)或(－2，3)或(4，－)．如果AB＝AQ，由对称性知Q的坐标为(－2，3)，考点二图形面积问题例2(2016·东营中考)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.考点二图形面积问题(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，求点P的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为(x，－x2＋3x＋4)，继而可得△AMA′的面积，求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°【自主解答】(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)．∵点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，抛物线过点C，A，A′，【自主解答】(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，(2)如图，连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，(2)如图，连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，∴直线AA′的解析式为y＝－x＋4.设点M的坐标为(x，－x2＋3x＋4)，则S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4－(－x＋4)]＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，∴当x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′＝8，∴M的坐标为(2，6)．∴直线AA′的解析式为y＝－x＋4.(3)设点P的坐标为(x，－x2＋3x＋4)．当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，∴点B的坐标为(1，4)．点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点．(3)设点P的坐标为(x，－x2＋3x＋4)．①当BQ为边时，PN∥BQ，PN＝BQ.∵BQ＝4，∴－x2＋3x＋4＝±4.当－x2＋3x＋4＝4时，解得x1＝0，x2＝3，∴P1(0，4)，P2(3，4)；当－x2＋3x＋4＝－4时，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN＝BQ.②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP＝QN，此时P与P1，P2重合．②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP＝QN，此时P与P1，P综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3(，－4)，P4(，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为(0，0)或(3，0)．综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3(2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线B解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，∴－＝3，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(8，0)．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3(2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴点C的坐标为(0，4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得(2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.假设存在，设点P的坐标为(x，－x2＋x＋4)．如图，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.则点D的坐标为(x，－x＋4)，∴PD＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x，∴S△PBC＝PD·OB＝×8(－x2＋2x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.∵－1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.则点D的坐标为(x，－x＋4)，(3)设点M的坐标为(m，－m2＋m＋4)，则点N的坐标为(m，－m＋4)，∴MN＝|－m2＋m＋4－(－m＋4)|＝|－m2＋2m|.又∵MN＝3，∴|－m2＋2m|＝3.(3)设点M的坐标为(m，－m2＋m＋4)，则点N的当0＜m＜8时，有－m2＋2m－3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为(2，6)或(6，4)．当m＜0或m＞8时，有－m2＋2m＋3＝0，解得m3＝4－2，m4＝4＋2，当0＜m＜8时，有－m2＋2m－3＝0，∴点M的坐标为(4－2，－1)或(4＋2，－－1)．综上所述，M点的坐标为(4－2，－1)，(2，6)，(6，4)或(4＋2，－－1)．∴点M的坐标为(4－2，－1)或(4＋2，－考点三动点、存在点问题例3(2018·东营中考)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；考点三动点、存在点问题(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，【分析】(1)令y＝0，求出x的值，确定出OA与OB的长度，根据已知相似三角形的比例，求出OC的长即可；(2)根据C为BM的中点，求出OD的长度，利用待定系数法确定出直线BM的解析式，把点C坐标代入抛物线求出a的值，即可确定出二次函数解析式；(3)四边形ABPC面积最大即△BPC面积最大，向下平移BM与抛物线有唯一公共点时，△BCD面积最大，构造一元二次方程，求得Δ＝0时m的值，进而求得P点坐标．【分析】(1)令y＝0，求出x的值，确定出OA与OB的长度【自主解答】(1)令a(x－1)(x－3)＝0，可得x1＝1，x2＝3，∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OBC，∴＝，∴OC2＝OA·OB＝1×3＝3，∴OC＝.【自主解答】(1)令a(x－1)(x－3)＝0，可得x1＝(2)如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则CD∥OM.∵点C是BM的中点，∴OD＝OB＝，(2)如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则CD∥OM.设直线BM的解析式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标代入得设直线BM的解析式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标代入得2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件(3)存在．如图，∵S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPC，S△ABC是常量，S△BPC的面积随点P的位置变化而变化，∴向下平移直线BM，当平移后的直线B′M′和抛物线(3)存在．如图，∵S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPC2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件2020届中考数学第一轮复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件0000003．(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；3．(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若解：(1)由题意可得∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋6.解：(1)由题意可得(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直线解析式为y＝－x－2.如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H.(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直线解设D点坐标为(x0，－x02－x0＋6)，则F点坐标为(x0，－x0－2)，则DF＝－x02－x0＋6－(－x0－2)＝－x02－x0＋8.又∵S△ADE＝S△ADF＋S△EDF，∴S△ADE＝·DF·AG＋DF·EH＝×4DF设D点坐标为(x0，－x02－x0＋6)，则F点坐标＝2×(－x02－x0＋8)＝－(x0＋)2＋，∴当x0＝－时，△ADE的面积取得最大值.(3)P点的坐标为(－1，1)，(－1，±)，(－1，－2±)．＝2×(－x02－x0＋8)考点四二次函数综合题百变例题(2018·济宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；考点四二次函数综合题(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AM⊥BC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵抛物线经过点C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.

【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N，∴∠BAM＋∠ABM＝90°.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90°，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90°，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB