三角形的证明试题

..三角形的证明

〔本试卷满分：150分,时间：120分钟一、选择题〔每小题4分,共48分1.

具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是〔A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等2.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是〔A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断3.

如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于〔A．30°B．40°C．45°D．36°4.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有〔A.1个

B.2个

C.3个

D.4个5.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为〔A.8或10

B.8C.10D.6或126.如图,已知∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF,下列结论：①EM=FN

②CD=DN

③∠FAN=∠EAM

④△ACN≌△ABM其中正确的有〔A.1个

B.2个

C.3个

D.4个7.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最短边BC=4cm,则最长边AB的长是〔A.5cmB.6cmC.cmD.8cm8.如图,已知∠BAC=∠DAE=90°,AB=AD,下列条件能使△ABC≌△ADE的是〔A.

∠E=∠C

B.AE=AC

C.BC=DE

D.ABC三个答案都是9.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有〔A.2个B.3个C.4个D.5个10.已知一个直角三角形的周长是,斜边上的中线长为2,则这个三角形的面积为〔A.5

B.2

C.D.111.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是〔A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm12.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B．下列结论中不一定成立的是〔A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP二、填空题〔每小题4分,共24分13.如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,

∠BAC=50°,

∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,点

C沿EF折叠后与点O重合,则∠OEC的度数是.

14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是______三角形.15.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=________°.16.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,CM=20cm,则点M到AB的距离是_______.17.如图,在等边△ABC中,F是AB的中点,FE⊥AC于E,若△ABC的边长为10,则AE=_________,AE:EC=_________.18.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.三、解答题〔共78分19.如图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点〔M与A不重合,MD⊥BC,且交∠BAC的平分线于点D,求证：MA=MD.20

已知：如图,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF是等腰三角形．21.

如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E.求证：AD=CE.22.

如图所示,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边△DCE,B,E在C,D的同侧,若AB=,求BE的长.23.

如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想．24.

如图,在△ABC中,AB=AC,DE是边AB垂直平分线交AB于E,交AC于D,连结BD．〔1若∠A=40°,求∠DBC的度数．〔2若△BCD的周长为12cm,△ABC的周长为18cm,求BE的长．25.

联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例：如图〔1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.<1>应用：如图〔2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.<2>探究：已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探PA的长.26.

如图：在△ABC中,∠C=90°

AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF；说明：〔1CF=EB．〔2AB=AF+2EB．27.△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．〔1说明OF与CF的大小关系；〔2若BC=12cm,点O到AB的距离为4cm,求△OBC的面积．参考答案一、选择题1.D．2.B.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.D.9.D.10.B.11.D.12.D.

二、填空题13.100°；14.直角；15,15°；16.20cm；17.；1:3；18.4:3；三．解答题19.

证明：∵MD⊥BC,∠B=90°,∴AD∥MD,∴∠BAD=∠D

.又∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠MAD,∴∠D=∠MAD

,∴MA=MD

.20.

∵AB=AC,∴∠B=∠C．∵DE⊥BC于点E,∴∠FEB=∠FEC=90°．∴∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴∠EFC=∠EDB．∵∠EDB=∠ADF,∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.21.∵

AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB.∵

AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠EAC=∠B.又∵∠BAD=∠ACE=90°,∴△ABD≌△CAE〔ASA.∴

AD=CE.22.

因为△ABD和△CDE都是等边三角形,所以AD=BD,CD=DE,∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB,即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中,因为AD=BD,CD=DE,

∠ADC=∠BDE所以△ADC≌△BDE,所以AC=BE.又AC=BC,所以BE=BC.在等腰直角△ABC中,AB=,所以AC=BC=1,故BE=1.23.,BE⊥EC.证明：∵

,点D是AC的中点,∴

.∵∠∠45°,∴∠∠135°.∵

,∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.24.<略>25.

应用：若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC.∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°,∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PBN=2PD∴∴与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC.若PA=PC,连接PA,同理,可得PA≠PC.若PA=PB,由PD=AB,得PD=BD,∴∠BPD=45°,∴∠APB=90°.探究：若PB=PC,设PA=x,则x2+32=<4-x>2,∴

x

=,即PA=.若PA=PC,则PA=2.若PA=PB,由图〔2知,在Rt△PAB中,这种情况不可能.故PA=2或.26.

证明：〔1∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC,∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,,∴Rt△CDF≌Rt△EBD〔HL．∴CF=EB；

〔2∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE．在△ADC与△ADE中,∵∴△ADC≌△ADE〔HL,∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．27.

〔1OF=CF．理由：∵BE=EO,∴∠EB