人教版高中数学必修一复习资料

数学必修一复习提纲第一章集合及其运算.集合的概念、

.集合的特征:.表示方法：分类：正整数集N*或N+⑴确定性⑴列举法从属关系：对象⑵无序性⑵描述法整数集Z有理数集Q实数集R⑶互异性⑶图示法⑷区间法、云集合集合；包含关系：集合六.运算性质:四.两种关系:五.三种运算:aUaaH空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.ABAAB;ABABA集合的所有子集的个数为2n,所有真子集的个数为2n1,所有非空真子集的个数为22,函数相等(相同)：定义域相同;第二章函数

对应关系可化为相同。函数相等(相同)：定义域相同;指数与对数运算分数指数哥与根式:如果xna,则称x是a的n次方根，0的n次方^为0,若a0,则当n为奇数时，a的n次方根有1个,记做正,当记做正,当n为偶数时,负数没有n次方根，正数a的n次方根有2个,其中正的n次方根记做4a.负的n次n二方根记做,•a负数没有偶次方根;2.nn两个关系式：(a)a2.nn两个关系式：(a)a;an为奇数|a|n为偶数3、正数的正分数指数骞的意义:nm7a4、正数的负分数指数哥的意义:分数指数哥的运算性质：4、正数的负分数指数哥的意义:分数指数哥的运算性质：_1_nm,am、n均为有理数,m\m、n均为有理数,m\n⑶(a)mna;(4)(ab)ma,b均为正整数.对数及其运算.定义：若abN(a0,且a1,N°),则blog,N.两个对数：⑴常用对数：a10,blogi°NlgN..定义：若abN(a0,且a1,N°),则blog,N.两个对数：⑴常用对数：a10,blogi°NlgN.⑵自然对数：ae2.71828,blogeNlnN.三条性质:(1)1的对数是0,即10ga10⑵底数的对数是1,即l0gaa1；⑶负数和零没有对数..四条运算法则:⑴loga(MN)logaM，M.一，一logalogaMlogaN⑵N⑶logaMnnlogaM..其他运算性质：loganM(4)1.一logaMn⑴对数恒等式:logabalogabb；⑵换底公式:logcalogcb.logablogbClogac.logablogba1.nn

logamblogab(4)m函数的概念.映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则f,对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射..函数：在某种变化过程中的两个变量x、y,对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应，则称y是X的函数，记做yf(x),其中X称为自变量，X变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域.三.函数yf(x)是由非空数集a到非空数集b的映射.函数是一种特殊的映射。四.函数的三要素：解析式；定义域；值域.函数的解析式一.根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知[&1)x,求函数f(x)的解析式.二.已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3,函数f(x)的解析式.函数的定义域一.根据给出函数的解析式求定义域：⑴整式：xR⑵分式：分母不等于0⑶偶次根式：被开方数大于或等于0(4)含0次哥、负指数哥：底数不等于0⑸对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0二.根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知yf(x)定义域为[2,5],求yf(3x2)定义域；已知yf(3x2)定义域为[2，5],求yf(x)定义域；三.实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.函数的值域一.基本函数的值域问题：二.求函数值域(最值)的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、单调性法、换元法(代数换元与三角换元)、反函数一.反函数：设函数yf(x)(xA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x(y).若对于c中的每一y值，通过x(y),都有唯一的一个x与之对应，那么，x(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x(y)(yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作11xf(y),习惯上改写成yf(x).二.函数f(x)存在反函数的条件是：x、y一一对应.三.求函数f(x)的反函数的方法：⑴求原函数的值域，即反函数的定义域⑵反解，用y表示x，得xf(y)⑶交换x、y,得yfi(x)(4)结论，表明定义域1四.函数yf(x)与其反函数yf(x)的关系：1⑴函数yf(x)与yf(x)的定义域与值域互换.11⑵若yf(x)图像上存在点(a，b),yf(x)的图像上必有点(b，a),即若f(a)biUf(b)a.1⑶函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线yx对称.函数的奇偶性：一.判断函数,他)奇偶性的步骤：.判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；.验证f(x)与f(x)的关系，若满足f(x)f(x),则为奇函数，若满足f(x)f(x),则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数.二.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称..若奇函数f(x)的定义域包含0,则f⑼°..一次函数ykxb(k0)是奇函数的充要条件是b0；2二次函数yaxbxc(a0)是偶函数的充要条件是b0,函数的周期性:.定义：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x),则f(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期.函数的单调性一.定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值时满足：⑴f(xi)f(x2),则称函数f(x)是增函数；⑵f(xi)f(x2),则称函数f(x)是减函数..判断函数单调性的常用方法：.函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：d任取xi,xzCD,且xi<x2；(2)作差f(xi)-f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(xi)-f(x2)的正负)；⑤下结论(指出函数f(x)在给定白^区间D上的单调性)(B)图象法(从图象上看升降).复合函数的单调性：对于复合函数yf[g(x)],设ug(x),则yf(u)，可根据它们的单调性确定复合函数yf[g(x)],具体判断如下表：yf(u)增增减减ug(x)增减增减yf[g(x)]增减减增3.奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同.函数的图像一.函数图像自身的对称关系图像特征f(x)f(x)关于y轴对称f(x)f(x)关于原点对称f(ax)f(xa)关于y轴对称f(ax)f(ax)关于直线xa对称f(x)f(ax)ax-关于直线2轴对称f(ax)f(bx)abx大h直线2对称f(x)f(xa)周期函数，周期为a

三、二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)b一...b4acb2..二次函数f(x)=ax2+bx+c(aw0)的图象是一条抛物线，对称轴x——,顶点坐标(——,)2a2a4a.二次函数与一元二次方程关系元二次方程ax2bxc0(a0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(aw0)y0的x的取值。元二次不等式ax元二次不等式ax2bxc0(0)的解集(a>0)二次函数Y=ax2+bx+c(a>0)图象Mpr△情况二次函数Y=ax2+bx+c(a>0)图象Mpr△情况△=b2-4ac△>0△二0△<0一元二次不等式解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0(a>0)(a>0)xxx1或xx2xx1xx23、闭区间上二次函数的最值问题：是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。2设f(x)axbxc(a0),求f(x)在x[m,n]上的最大值与最小值。将f(x)配万，得顶点为b2ab4acb2b2a(——，)、对称轴为x2a4a当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值:指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,awi)互为反函数名称指数函数对数函数一W式Y=ax(a>0且aw1)y=logax(a>0,aw1)定义域(-oo,+oo)(0,+°°)值域(0,+8)(-8,+OO)过定点(0,1)(1,0)图象指数函数y=ax与对数函数y=l()gax(a>0,aw1)图象关于y-x对称.一XyI泡工(QD[y=ioga^(c<a<i)单调性a>1,在(-00,+8)上为增函数0<a<1,在(-°°,+8)上为减函数a>1,在(0,+°0)上为增函数0<a<1,在(0,+°°)上为减函数2、比较两个哥值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。哥函数1、哥函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为哥函数，其中为常数.2、哥函数性质归纳.(1)所有的哥函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点(1,1)；0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间［0,)上是增函数.特别地，当1时，哥函数的图象下凸；当01时，哥函数的图象上凸；0时，哥函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3、函数零点的求法：(代数法)求方程f(x)0的实数根；